初中数学九年级上册：用树状图或表格求概率教案

初中数学九年级上册：用树状图或表格求概率教案

引言

在当前以核心素养为导向的基础教育课程改革浪潮中，数学教育正经历着从知识传授向能力培养与思维发展的深刻转型。《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出，在“统计与概率”领域，学生需“经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，体验随机现象，发展数据意识与模型观念”。概率作为研究随机现象规律性的数学分支，其教学价值不仅在于掌握计算技能，更在于培养学生用理性的、结构化的思维方式去理解和应对世界的不确定性。

北师大版初中数学九年级上册第三章“概率的进一步认识”，是学生在七年级初步接触可能性基础上，对概率思想与方法的深化与系统化。“用树状图或表格求概率”是本章的核心枢纽，它首次为学生提供了系统化、程序化解决复杂等可能事件概率问题的通用工具。本教学设计立足于学科育人的高度，深度融合认知心理学、信息技术与问题解决理论，旨在构建一个既能深刻理解原理、又能灵活迁移应用的高效学习历程。设计强调从真实情境出发，经历完整的“情境抽象—模型构建—工具开发—应用反思”数学化过程，引导学生实现从直觉判断到理性分析，从枚举计数到策略优化的思维飞跃，最终培育其严谨的逻辑推理能力、有序的系统思维能力和创新的问题解决能力。

一、教学理念与设计思路

本教案的设计遵循以下核心理念：

1.基于标准，素养导向：严格对标《课标》要求，将“数据意识”、“模型观念”、“应用意识”和“创新意识”的培养贯穿教学始终。不满足于技能操练，而是追求对概率模型本质的理解。

2.跨学科整合，深化理解：借鉴计算机科学中的“算法思维”与“状态空间”概念，帮助学生理解树状图和表格作为“系统化枚举算法”的实质。联系心理学中的“决策分析”，让学生体会工具在理清复杂选项中的价值。

3.学生中心，探究生成：创设具有认知冲突和探索空间的问题链，让学生在“踮踮脚够得着”的挑战中，亲身经历工具的“发明”过程，实现知识的主动建构。

4.技术赋能，可视化思维：动态几何软件、随机模拟程序与交互式白板的融合运用，使抽象的思维过程具象化、动态化，支持猜想验证与深度探究。

5.评价嵌入式，促进学习：将诊断性、形成性、终结性评价有机融入各个环节，通过追问、作品分析、表现性任务等多维度评估学习成效，实现“教-学-评”一致性。

整体设计思路：采用“总-分-总”的螺旋式结构。首先，通过一个经典但学生原有方法难以简洁解决的复杂概率问题（如三次摸球）制造认知冲突，激发学习内驱力。其次，引导学生回归简单问题（两次摸球），从无序尝试中自主发现“有序思考”的必要性，自然生成列表法，并通过类比迁移“发明”树状图法，在此过程中深度比较两种工具的异同与适用情境。然后，将初步建构的模型应用于更复杂、更开放的真实情境（如比赛赛制、遗传概率、游戏公平性判定），在变式中深化理解，发展迁移能力。最后，引导学生从方法论层面进行总结升华，将具体工具上升为“系统化枚举”的数学思想，并展望其在更广阔领域的应用。

二、教材与学情深度剖析

（一）教材内容分析

本节课选自北师大版《数学》九年级上册第三章第1节。在本套教材体系中，概率学习呈现螺旋上升态势：七年级下册初步感受可能性大小，定性认识随机现象；九年级上册则定量研究等可能事件的概率计算。本节“用树状图或表格求概率”是承上启下的关键节点。

1.地位与作用：“承上”，它系统化了列举法求概率（直接枚举、列表法），为其提供了更为普适和强大的工具；“启下”，它是学习后续非等可能事件概率、频率估计概率以及高中学习条件概率、排列组合的重要思想和工具基础。教材通过“配紫色”、“掷硬币”、“摸球”等经典问题，循序渐进地引入工具，但本设计将在遵循教材逻辑的基础上，对问题的复杂度、开放度和现实关联度进行深化与拓展。

2.知识结构：核心是理解并掌握以下逻辑链条：复杂等可能事件→所有可能结果是有限个且等可能→关键是“不重不漏”地列出所有等可能结果→树状图（分步、层次清晰）和表格（涉及两步且结果有限时，矩阵式呈现）是系统化枚举的有效工具→利用概率公式P(A)=m/n计算。

（二）学情分析

认知基础：九年级学生已具备以下知识与能力：①概率的古典定义；②用直接列举法（如画“正”字）求简单等可能事件的概率；③初步的列表法经验（可能来自方程或函数学习）；④一定的逻辑推理能力和分类讨论思想。

认知障碍与发展点：

1.思维障碍：面对涉及两步以上、尤其是多元素的复合试验，学生容易陷入思维混乱，枚举时“重”或“漏”现象严重。他们需要从“凭感觉列举”过渡到“按策略枚举”。

2.工具理解障碍：容易将树状图和表格视为僵化的“步骤”或“图画”，而非理解其作为“有序思考的脚手架”和“所有可能结果的状态空间可视化”的本质。

3.迁移应用障碍：在陌生或经过伪装的情境中，难以识别出可以使用树状图或表格的模型结构（如分步、分类、组合）。

心理与兴趣特征：九年级学生抽象逻辑思维迅速发展，乐于接受挑战，对具有现实意义和探索空间的问题兴趣浓厚。但同时也存在注意力持久性方面的个体差异。因此，设计需要兼顾思维的深度与活动的节奏感。

三、教学目标与重难点

（一）教学目标

1.知识与技能：

1.2.理解用树状图或表格求概率的必要性和优越性。

2.3.掌握用树状图或表格不重不漏地列出一次试验中涉及两步或三步的所有等可能结果。

3.4.能根据树状图或表格，熟练计算简单事件发生的概率。

4.5.能初步根据问题特征（步骤数、对称性等）灵活选择适当的列举工具。

6.过程与方法：

1.7.经历从具体问题中抽象出数学模型，并自主构建解决问题工具（树状图、表格）的过程，体会数学建模思想。

2.8.通过对比、分析、归纳，发展观察、比较、概括和语言表达能力。

3.9.在解决实际问题的过程中，提升将复杂问题分解、有序化、系统化的能力（算法思维的雏形）。

10.情感、态度与价值观：

1.11.在探索和运用数学工具的过程中，获得成功体验，增强学习数学的自信心。

2.12.体会数学工具的简洁美、有序美和逻辑力量，培养严谨求实的科学态度。

3.13.认识概率在解释现实世界随机现象、辅助决策中的作用，发展应用意识。

（二）教学重点与难点

1.教学重点：学习用树状图或表格不重不漏地列出所有等可能结果，并计算相应事件的概率。

2.教学难点：

1.3.理解难点：理解树状图中每个“分支”与“路径”的对应关系，理解表格中每个“单元格”的完整结果意义。

2.4.应用难点：①辨别何时使用树状图或表格；②将现实情境（如比赛、游戏规则）准确地转化为适合用树状图或表格分析的概率模型。

3.5.思维难点：自觉运用“分步”、“分类”的思想来分析和构造树状图或表格。

四、教学准备

1.教师准备：

1.2.交互式多媒体课件（集成GeoGebra动画、随机数模拟程序）。

2.3.实物教具：不透明袋子两个，红、白、蓝色小球各若干个。

3.4.学习任务单（包含探索活动、例题、分层练习）。

4.5.课堂即时反馈系统（如希沃授课助手、答题器）。

6.学生准备：

1.7.复习概率的古典定义及直接列举法。

2.8.直尺、铅笔、彩笔（用于画树状图）。

9.环境准备：学生4-6人一组，便于合作探究。

五、教学过程

环节一：创设情境，引发认知冲突（预计时间：8分钟）

活动1：挑战“不可能”任务

教师呈现问题：“一个不透明的袋子中装有红、白、蓝三个除颜色外完全相同的小球。小明做三次摸球试验：每次随机摸出一个球，记录颜色后放回袋中并摇匀。请问：三次摸到的球颜色恰好是‘红、白、蓝’各一个（顺序不限）的概率是多少？”

学生初探：给予学生1-2分钟独立思考或与同伴简单交流，尝试解决。教师巡视，收集典型做法（如试图直接枚举但混乱、猜测答案等）。

制造冲突：请一两位学生分享他们的思路和遇到的困难。学生普遍会感到直接列举非常繁琐且易错，仅靠原有方法力不从心。教师追问：“面对这种‘多次’、‘多可能’的复杂情况，我们缺少一种什么样的工具来帮助我们‘清晰’、‘有序’、‘完整’地思考？”从而自然引出本节课的课题——我们需要一种系统化的列举工具。

设计意图：以高于学生现有认知水平的“三次摸球”问题开局，迅速制造强烈的认知冲突和求知欲。让学生深刻感受到学习新工具的必要性，明确本节课的学习目标。此为“总起”，定位问题。

环节二：回溯建模，自主生成工具（预计时间：18分钟）

活动2：回归基础，探索“有序化”路径

教师将问题简化为：“现在只摸两次（放回）。求两次摸到不同颜色球的概率。”引导学生小组合作探究。

探究步骤：

1.无序尝试：先让学生用自己想到的任何方式尝试列出所有可能结果。教师巡视，关注是否有学生开始自发地“排序”或“分类”。

2.引导有序化：教师提问：“怎样列，才能保证又快又准，不重复不遗漏？”启发学生从“第一次摸球的结果”出发，去思考“第二次摸球的结果”。

3.生成列表法：选择一组采用“先列第一次可能（红、白、蓝），再对每一种情况列第二次可能（红、白、蓝）”的小组进行展示。教师引导学生将这种思路规范为一个表格：

第一次\第二次

红

白

蓝

红

(红,红)

(红,白)

(红,蓝)

白

(白,红)

(白,白)

(白,蓝)

蓝

(蓝,红)

(蓝,白)

(蓝,蓝)

师生共同分析表格特点：行表第一次，列表第二次，每个单元格是一个完整的可能结果。共有3×3=9种等可能结果，其中“颜色不同”的有6种，故P=6/9=2/3。

4.类比生成树状图：教师引导：“表格是从‘矩阵’的角度看所有组合。我们能否换一种更‘生长’的方式来表示这个分步过程？”利用课件动态演示从“开始”点，分出三条线代表第一次的三种可能（红、白、蓝）；从每个分支的末端，再各自分出三条线代表第二次的三种可能。最终形成一棵“树”。教师规范树状图画法，强调“分支”、“节点”、“路径”等术语。引导学生理解：每条从“树根”到“树梢”的路径对应一个可能结果。数出路径总数（9条）和满足条件的路径数（6条），得到相同概率。

设计意图：这是知识建构的核心环节。通过降低问题难度，让学生在“最近发展区”内进行探究。从无序到有序的引导是关键，让学生亲历“有序思考”价值的发现过程。表格法与树状图法的并置呈现，不是为了同时灌输，而是展示数学表示方法的多样性，并为后续比较选择埋下伏笔。此为“分述”之始，聚焦工具生成。

环节三：辨析比较，明晰工具特征（预计时间：10分钟）

活动3：对比研讨，知工具亦知所以然

教师组织学生围绕以下问题展开小组讨论：

1.列表法和树状图法有什么共同点？（目标一致：不重不漏列结果；都体现了“分步”思想）

2.它们各自有什么特点和适用情况？

3.对于刚才的“两次摸球”问题，你更喜欢用哪种方法？为什么？

师生共同梳理与提炼：

特性

列表法

树状图法

直观体现

两步操作结果的所有组合，呈现为矩阵。

多步操作的过程与路径，呈现为树形结构。

优势

当两步操作且每步结果数有限且较少时，呈现非常清晰、紧凑。

能清晰展示两步及以上的操作过程，层次感强，尤其适合步骤多或每步结果多的情况。

局限性

对于三步或以上操作，画多维表格非常困难、不直观。

当每步结果很多时，图形会非常庞大，但逻辑依然清晰。

选择策略

“两步有限用表格，清晰简洁效率高”

“两步以上或步骤清，树状图是好路径”

教师强调：工具是思维的辅助，核心是“有序分步”的思想。两种方法并无绝对优劣，应根据具体问题灵活选择，有时也可结合使用。

设计意图：通过对比分析，避免学生机械记忆两种方法，而是深入理解其本质联系与差异，形成选择策略。这是将操作技能内化为数学认知结构的重要步骤。

环节四：应用迁移，解决初始问题（预计时间：8分钟）

活动4：利器在手，攻克堡垒

现在，让学生回归环节一提出的“三次摸球”挑战。请学生选择一种工具（绝大多数会选择树状图）独立尝试解决。

学生实践：学生在任务单上画树状图。教师巡视，指导规范画法（可使用省略号表示类似分支），重点关注学生是否理解“第三层”分支的添加。

展示与验证：

1.展示学生完整或部分树状图，共同确认所有可能结果数为3×3×3=27种。

2.分析事件“红、白、蓝各一个”：即三次摸球颜色的一种排列。引导学生思考，这等价于从红、白、蓝三种颜色中选出一个排列（A³₃=6种）。故有利结果数为6。

3.计算概率P=6/27=2/9。

4.技术验证：教师运行预设的随机模拟程序，模拟10万次“三次摸球”试验，统计事件发生的频率。展示频率稳定在2/9附近，从实验角度验证理论计算的合理性。

设计意图：让学生运用新工具成功解决最初认为困难的问题，获得强烈的成就感。同时，将排列的直观计数融入，建立不同知识间的联系。用计算机模拟进行验证，体现数学的严谨性与现代技术的力量。

环节五：变式拓展，深化模型理解（预计时间：20分钟）

活动5：一组多变，洞悉模型本质

本环节设计一组有梯度、有联系的变式问题，小组合作完成。

变式1（不放回模型）：“袋子中红、白、蓝球各一个，先后摸出两个（不放回），求颜色不同的概率。”

引导学生对比“放回”与“不放回”对树状图/表格的影响。关键点：第二次摸球时，可选的球少了。树状图第二层分支数发生变化，表格中（红,红）等对角线上的单元格不存在。计算结果P=1。

变式2（三步不等可能渗透）：“小明上学有A、B两条路线可选。选A路时，不堵车的概率是0.7；选B路时，不堵车的概率是0.5。他先随机选一条路，若堵车则立即改用另一条路（时间允许）。求他最终不堵车到校的概率。”

此问题虽涉及概率值，但决策过程是分步的，可以用树状图清晰表示所有行动路径及复合概率。引导学生将“概率枝”与“路径”结合，为高中学习条件概率做铺垫。

变式3（模型识别与应用）：“甲、乙、丙三人进行乒乓球单循环赛（每两人赛一场），采用三局两胜制。假设每局比赛双方获胜机会均等。求甲赢得所有比赛（即连胜乙、丙）的概率。”

引导学生将“甲对乙的三局两胜比赛”和“甲对丙的三局两胜比赛”作为两步。每一步内部又可以用一个小型树状图分析胜负序列。展示如何将复杂问题分解为多个可以用树状图分析的子问题。

设计意图：通过“不放回”变式，巩固对工具本身的理解；通过“决策”变式，拓宽工具的应用场景，感受其分析功能；通过“比赛”变式，提升将复杂实际问题转化为概率模型的能力。三个变式层层递进，旨在培养学生思维的灵活性和深刻性。

环节六：课堂小结，升华数学思想（预计时间：5分钟）

活动6：回顾与展望

教师引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

1.知识层面：我们学会了哪两种求概率的系统化列举工具？它们的适用情境是什么？

2.方法层面：解决一个复杂的等可能事件概率问题的一般步骤是什么？（①审题，判断是否等可能、有限结果；②分析步骤，选择合适的列举工具；③不重不漏列出所有等可能结果；④找出事件A包含的结果数；⑤计算概率。）

3.思想层面：树状图和表格背后共同的、更上位的数学思想是什么？（系统化枚举思想、分步计数思想、模型化思想）

教师进一步升华：“今天学习的不仅仅是一个计算概率的‘技巧’，更是一种处理复杂可能性的‘思维框架’。它不仅能解决摸球、比赛问题，未来在设计密码、分析算法复杂度、评估决策风险等众多领域，这种‘画出所有可能路径’的思想都将发挥巨大作用。”

设计意图：将具体知识、方法提升到数学思想的高度，帮助学生构建完整的认知体系，并建立与未来学习的联系，体现教学的生长性。

环节七：达标检测，即时反馈（预计时间：6分钟）

使用课堂即时反馈系统或任务单上的题目，进行限时检测。

基础题：

1.从甲地到乙地有3班汽车，从乙地到丙地有4班火车。某人从甲地到丙地，有多少种不同的走法？（考查分步计数原理的理解）

2.同时抛掷两枚均匀的骰子，用列表法求点数和为8的概率。

提高题：

3.一个密码锁的密码由0-9中的两个数字组成（可重复），输入密码时顺序无关（如12和21视为相同）。某人随机输入两个数字，一次解锁成功的概率是多少？（考查在理解题意的基础上灵活选择并调整工具）

教师当堂统计正确率，针对错误率高的题目进行即时点评和纠错。

环节八：布置作业，分层延伸

【必做作业】（巩固基础）

1.北师大版教材本节后练习题。

2.自编一个可以用树状图解决的概率问题，并写出完整解答过程。

【选做作业】（拓展挑战）

1.（跨学科联系）查阅资料，了解人类ABO血型遗传的简化规律（由IA,IB,i三个等位基因决定）。假设父母血型均为AB型，用树状图分析他们的子女可能出现的血型及概率。

2.（探究活动）“三门问题”（MontyHallproblem）是一个著名的概率悖论。请查阅该问题的背景和解答，尝试用树状图列出所有可能的情况，并分析“换门”与“不换门”策略的中奖概率。写下你的理解与思考。

六、板书设计

左侧为动态生成区，右侧为静态结构区。

树状图或表格求概率

——系统化枚举的利器

一、为何学？→复杂、多步问题，有序思考的需要

二、是什么？

1.列表法（矩阵式组合）

第一次\第二次|红|白|蓝

---|---|---|---

红|(红,红)|...|...

白|...|...|...

蓝|...|...|...

2.树状图法（树形结构路径）

开始→红→红→(红,红)

|→白→(红,白)

|→蓝→(红,蓝)

→白→...

→蓝→...

三、怎么选？

两步有限用表格，清晰简洁效率高。

两步以上或步骤清，树状图是好路径。

四、核心思想：分步思考→系统枚举→计算概率

七、分层作业设计（详细版）

A层（基础巩固）：

1.完成教材习题3.1中第1、2、3题。

2.一个转盘被分成红、黄、蓝、绿四个面积相等的扇形。连续转动两次转盘，用列表法求两次指针都落在红色区域的概率；用