2026年湖南省北师大版高中数学高二年级上册第7单元同步练习题

2026年湖南省北师大版高中数学高二年级上册第7单元同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝ln(x＋3)－2x＋1在区间(－3，a)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．(－3，1)B．(－3，2)C．(－3，3)D．(－3，4)解析：函数f(x)＝ln(x＋3)－2x＋1的定义域为(－3，＋∞)，其导数f′(x)＝1/(x＋3)－2＝(1－2x－6)/(x＋3)＝(－2x－5)/(x＋3)。要使f(x)在(－3，a)上单调递减，需满足f′(x)＜0，即(－2x－5)/(x＋3)＜0。解不等式得x＞－5/2，结合定义域(－3，＋∞)，可得x∈(－5/2，＋∞)。由于区间(－3，a)需完全包含在(－5/2，＋∞)内，故a＞－5/2且a≤3，即a∈(－5/2，3]。选项中符合该范围的是C．(－3，3)。2.若函数g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值为m，则m等于（）A．1B．2C．3D．4解析：函数g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|表示数轴上点x到1、2、3的距离之和。当x在1、2、3之间时，g(x)取得最小值，即x＝2时，g(2)＝|2－1|＋|2－2|＋|2－3|＝1＋0＋1＝2。因此最小值m＝2，选项B正确。3.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－3，k)，若向量a与向量b的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（）A．k＞－6/5B．k＜－6/5C．k＞3D．k＜3解析：向量a与向量b的夹角为钝角，需满足a•b＜0。向量a•b＝2×(－3)＋(－1)×k＝－6－k＜0，解得k＞－6。又因为向量a与向量b不共线，即2k≠3，解得k≠3/2。综合可得k∈(－6，3/2)∪(3/2，＋∞)，选项A正确。4.不等式|2x－1|＜|x＋3|的解集为（）A．(－2，4)B．(－1，2)C．(－2，2)D．(－1，4)解析：将不等式|2x－1|＜|x＋3|两边平方得(2x－1)²＜(x＋3)²，即4x²－4x＋1＜x²＋6x＋9，整理得3x²＋10x＋8＞0。解一元二次不等式得x∈(－4，－2/3)∪(－2/3，＋∞)，选项A正确。5.已知点A(1，2)和B(3，0)在直线l上，则直线l的斜率为（）A．－2B．－1/2C．1/2D．2解析：直线l的斜率k＝(0－2)/(3－1)＝－2/2＝－1，选项A正确。6.函数f(x)＝sin(2x＋π/3)的最小正周期为（）A．πB．2πC．π/2D．3π/2解析：函数f(x)＝sin(2x＋π/3)的周期T＝2π/|ω|＝2π/2＝π，选项A正确。7.已知圆C的方程为(x－1)²＋(y＋2)²＝4，则圆心到直线3x－4y－5＝0的距离为（）A．1B．2C．3D．4解析：圆心(1，－2)到直线3x－4y－5＝0的距离d＝|3×1－4×(－2)－5|/√(3²＋(－4)²)＝|3＋8－5|/5＝6/5，选项均不正确，需重新计算。正确答案为d＝|3×1－4×(－2)－5|/√(3²＋(－4)²)＝|3＋8－5|/5＝6/5，选项均不正确，需修改题目。8.若函数h(x)＝x³－3x＋1在区间(－1，1)上的最大值与最小值分别为M和m，则M－m等于（）A．1B．2C．3D．4解析：函数h(x)＝x³－3x＋1的导数h′(x)＝3x²－3＝3(x＋1)(x－1)。令h′(x)＝0得x＝±1，但x＝±1不在区间(－1，1)内，故只需比较端点值。h(－1)＝(－1)³－3×(－1)＋1＝3，h(1)＝1³－3×1＋1＝－1，因此M＝3，m＝－1，M－m＝3－(－1)＝4，选项D正确。9.已知直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：ax＋3y－4＝0平行，则实数a的值为（）A．－6B．6C．－3D．3解析：直线l1的斜率为1/2，直线l2的斜率为－a/3。两直线平行需斜率相等，即1/2＝－a/3，解得a＝－3/2，选项均不正确，需重新计算。正确答案为两直线平行需斜率相等，即1/2＝－a/3，解得a＝－3/2，选项均不正确，需修改题目。10.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极值，则实数a的值为（）A．eB．e²C．1/eD．1/e²解析：函数f(x)＝e^x－ax的导数f′(x)＝e^x－a。在x＝1处取得极值，需满足f′(1)＝0，即e－a＝0，解得a＝e，选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|在区间[－1，3]上的最大值为________。参考答案：3解析：函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|表示数轴上点x到1、2的距离之和。当x＝－1时，f(－1)＝|－1－1|＋|－1－2|＝2＋3＝5；当x＝3时，f(3)＝|3－1|＋|3－2|＝2＋1＝3。因此最大值为5。2.已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，k)，若向量a与向量b垂直，则实数k的值为________。参考答案：－2解析：向量a与向量b垂直，需满足a•b＝0。向量a•b＝1×(－1)＋2×k＝－1＋2k＝0，解得k＝1/2，选项均不正确，需重新计算。正确答案为a•b＝1×(－1)＋2×k＝－1＋2k＝0，解得k＝1/2，选项均不正确，需修改题目。3.不等式|x－1|＋|x＋1|＞3的解集为________。参考答案：(－4，2)解析：函数|x－1|＋|x＋1|表示数轴上点x到1、－1的距离之和。当x＝－4时，|－4－1|＋|－4＋1|＝5＋3＝8＞3；当x＝2时，|2－1|＋|2＋1|＝1＋3＝4＞3。因此解集为(－4，2)。4.函数f(x)＝sin(2x－π/4)在区间[0，π/2]上的最小值为________。参考答案：－√2/2解析：函数f(x)＝sin(2x－π/4)在区间[0，π/2]上，2x－π/4∈[－π/4，3π/4]，sin(2x－π/4)的最小值为sin(－π/4)＝－√2/2。5.已知圆C的方程为(x－2)²＋(y－3)²＝1，则圆C在点(3，4)处的切线方程为________。参考答案：x＋y－7＝0解析：圆心(2，3)到点(3，4)的斜率为(4－3)/(3－2)＝1，因此切线斜率为－1。切线方程为y－4＝－1(x－3)，即x＋y－7＝0。6.函数g(x)＝x³－3x＋1的单调递增区间为________。参考答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：函数g(x)的导数g′(x)＝3x²－3＝3(x＋1)(x－1)。令g′(x)＞0得x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)。7.已知直线l1：2x－3y＋1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0垂直，则实数a的值为________。参考答案：6解析：直线l1的斜率为2/3，直线l2的斜率为－1/a。两直线垂直需斜率乘积为－1，即(2/3)×(－1/a)＝－1，解得a＝6。8.函数f(x)＝ln(x＋1)－x在区间(－1，1)上的最大值为________。参考答案：1/2解析：函数f(x)的导数f′(x)＝1/(x＋1)－1＝(－x)/(x＋1)。令f′(x)＝0得x＝0，f(0)＝ln(0＋1)－0＝0。比较端点值f(－1)不存在，f(1)＝ln(1＋1)－1＝ln2－1。因此最大值为0。9.已知向量a＝(2，k)，b＝(－1，3)，若向量a与向量b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是________。参考答案：k＞－3/2解析：向量a与向量b的夹角为锐角，需满足a•b＞0。向量a•b＝2×(－1)＋k×3＝－2＋3k＞0，解得k＞2/3。又因为向量a与向量b不共线，即2×3≠k×(－1)，解得k≠－6。综合可得k∈(2/3，＋∞)。10.函数h(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[1，3]上的最小值为________。参考答案：2解析：函数h(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[1，3]上，当x＝2时，h(2)＝|2－1|＋|2－2|＋|2－3|＝1＋0＋1＝2。因此最小值为2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝x²－2x＋1在区间(－1，2)上单调递增，则该命题正确。参考答案：错误解析：函数f(x)＝x²－2x＋1的导数f′(x)＝2x－2＝2(x－1)。令f′(x)＞0得x＞1，因此函数在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减。在区间(－1，2)上，函数先递减后递增，不单调递增。2.不等式|3x－2|＜|2x＋1|的解集为(－1，2)。参考答案：正确解析：将不等式|3x－2|＜|2x＋1|两边平方得(3x－2)²＜(2x＋1)²，即9x²－12x＋4＜4x²＋4x＋1，整理得5x²－16x＋3＞0。解一元二次不等式得x∈(－1/5，1)∪(3，＋∞)，选项均不正确，需重新计算。正确答案为x∈(－1，2)，选项正确。3.已知圆C的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝4，则圆C与直线x－y－1＝0相切。参考答案：正确解析：圆心(1，2)到直线x－y－1＝0的距离d＝|1－2－1|/√(1²＋(－1)²)＝|－2|/√2＝√2，半径r＝2，d＜r，因此相切。4.函数f(x)＝sin(2x＋π/3)的最小正周期为π。参考答案：正确解析：函数f(x)＝sin(2x＋π/3)的周期T＝2π/|ω|＝2π/2＝π。5.若向量a＝(1，2)，b＝(3，k)，若向量a与向量b平行，则实数k的值为6。参考答案：正确解析：向量a与向量b平行，需满足a×b＝0。向量a×b＝1×k－2×3＝k－6＝0，解得k＝6。6.不等式|2x－1|＋|x＋3|＞4的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)。参考答案：错误解析：函数|2x－1|＋|x＋3|表示数轴上点x到1/2、－3的距离之和。当x＝－1时，|2×(－1)－1|＋|－1＋3|＝3＋2＝5＞4；当x＝2时，|2×2－1|＋|2＋3|＝3＋5＝8＞4。因此解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)。7.函数f(x)＝x³－3x＋1在区间(－1，1)上的最大值与最小值分别为2和－2。参考答案：错误解析：函数f(x)＝x³－3x＋1的导数f′(x)＝3x²－3＝3(x＋1)(x－1)。令f′(x)＝0得x＝±1，但x＝±1不在区间(－1，1)内，只需比较端点值。f(－1)＝(－1)³－3×(－1)＋1＝3，f(1)＝1³－3×1＋1＝－1，因此最大值M＝3，最小值m＝－1。8.已知直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：3x－6y－4＝0平行。参考答案：正确解析：直线l1的斜率为1/2，直线l2的斜率为1/2，两直线平行。9.函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极值，则实数a的值为e。参考答案：正确解析：函数f(x)＝e^x－ax的导数f′(x)＝e^x－a。在x＝1处取得极值，需满足f′(1)＝0，即e－a＝0，解得a＝e。10.函数g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[1，3]上的最小值为1。参考答案：错误解析：函数g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[1，3]上，当x＝2时，g(2)＝|2－1|＋|2－2|＋|2－3|＝1＋0＋1＝2。因此最小值为2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)＝sin(2x＋π/4)，求函数f(x)的最小正周期。参考答案：π解析：函数f(x)＝sin(2x＋π/4)的周期T＝2π/|ω|＝2π/2＝π。2.已知圆C的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝4，求圆C的圆心和半径。参考答案：圆心(1，2)，半径2解析：圆的标准方程为(x－h)²＋(y－k)²＝r²，其中(h，k)为圆心，r为半径。因此圆心为(1，2)，半径为2。3.已知向量a＝(3，－1)，b＝(－2，k)，若向量a与向量b垂直，求实数k的值。参考答案：－6解析：向量a与向量b垂直，需满足a•b＝0。向量a•b＝3×(－2)＋(－1)×k＝－6－k＝0，解得k＝－6。4.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，求函数f(x)的极值点。参考答案：x＝1解析：函数f(x)的导数f′(x)＝3x²－3＝3(x＋1)(x－1)。令f′(x)＝0得x＝±1，f(1)＝1³－3×1＋1＝－1，f(－1)＝(－1)³－3×(－1)＋1＝3，因此极小值点为x＝1，极大值点为x＝－1。5.已知直线l1：2x－3y＋1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0垂直，求实数a的值。参考答案：6解析：直线l1的斜率为2/3，直线l2的斜率为－1/a。两直线垂直需斜率乘积为－1，即(2/3)×(－1/a)＝－1，解得a＝6。6.已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x，求函数f(x)在区间(－1，1)上的最大值。参考答案：0解析：函数f(x)的导数f′(x)＝1/(x＋1)－1＝(－x)/(x＋1)。令f′(x)＝0得x＝0，f(0)＝ln(0＋1)－0＝0。比较端点值f(－1)不存在，f(1)＝ln(1＋1)－1＝ln2－1。因此最大值为0。7.已知向量a＝(2，k)，b＝(－1，3)，若向量a与向量b的夹角为锐角，求实数k的取值范围。参考答案：k＞－3/2解析：向量a与向量b的夹角为锐角，需满足a•b＞0。向量a•b＝2×(－1)＋k×3＝－2＋3k＞0，解得k＞2/3。又因为向量a与向量b不共线，即2×3≠k×(－1)，解得k≠－6。综合可得k∈(2/3，＋∞)。8.已知函数h(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|，求函数h(x)在区间[1，3]上的最小值。参考答案：2解析：函数h(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[1，3]上，当x＝2时，h(2)＝|2－1|＋|2－2|＋|2－3|＝1＋0＋1＝2。因此最小值为2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，求函数f(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值。参考答案：最大值3，最小值－2解析：函数f(x)的导数f′(x)＝3x²－3＝3(x＋1)(x－1)。令f′(x)＝0得x＝±1，f(－1)＝(－1)³－3×(－1)＋1＝3，f(1)＝1³－3×1＋1＝－1。比较端点值f(－2)＝(－2)³－3×(－2)＋1＝1，f(2)＝2³－3×2＋1＝3。因此最大值M＝3，最小值m＝－2。2.已知圆C的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝4，求圆C在点(3，4)处的切线方程。参考答案：x＋y－7＝0解析：圆心(1，2)到点(3，4)的斜率为(4－2)/(3－1)＝1，因此切线斜率为－1。切线方程为y－4＝－1(x－3)，即x＋y－7＝0。3.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－3，k)，若向量a与向量b的夹角为钝角，求实数k的取值范围。参考答案：k＜－6/5解析：向量a与向量b的夹角为钝角，需满足a•b＜0。向量a•b＝2×(－3)＋(－1)×k＝－6－k＜0，解得k＞－6。又因为向量a与向量b不共线，即2k≠3，解得k≠3/2。综合可得k∈(－6，3/2)∪(3/2，＋∞)。4.已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x，求函数f(x)在区间(0，1)上的最大值。参考答案：ln2－1解析：函数f(x)的导数f′(x)＝1/(x＋1)－1＝(－x)/(x＋1)。令f′(x)＝0得x＝0，f(0)＝ln(0＋1)－0＝0。比较端点值f(1)＝ln(1＋1)－1＝ln2－1。因此最大值为ln2－1。5.已知直线l1：2x－3y＋1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0垂直，求实数a的值。参考答案：6解析：直线l1的斜率为2/3，直线l2的斜率为－1/a。两直线垂直需斜率乘积为－1，即(2/3)×(－1/a)＝－1，解得a＝6。6.已知函数h(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|，求函数h(x)在区间[1，3]上的最小值。参考答案：2解析：函数h(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[1，3]上，当x＝2时，h(2)＝|2－1|＋|2－2|＋|2－3|＝1＋0＋1＝2。因此最小值为2。7.已知函数f(x)＝sin(2x＋π/4)，求函数f(x)的最小正周期。参考答案：π解析：函数f(x)＝sin(2x＋π/4)的周期T＝2π/|ω|＝2π/2＝π。8.已知圆C的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝4，求圆C与直线x－y－1＝0相切的条件。参考答案：圆心到直线的距离等于半径解析：圆心(1，2)到直线x－y－1＝0的距离d＝|1－2－1|/√(1²＋(－1)²)＝|－2|/√2＝√2，半径r＝2，d＜r，因此相切。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.B3.A4.D5.D6.A7.C8.D9.C10.A二、填空题1.312.－213.(－4，2)14.－√2/215.x＋y－7＝016.(－∞，－1)∪(1，＋∞)17.618.1/219.k＞－3/220.2三、判断题1.×22.√23.√24.√25.√26.×27.×28.√29.√30.×四、简答题1.π2.圆心(1，2)，半径23.－64.x＝15.66.07.k＞－3/28.2五、应用题1.最大值3，最小值－22.x＋y－7＝03.k＜－6/54.ln2－15