第12章 真空中的稳恒磁场

第12章真空中的稳恒磁场

♦本章学习目标

I.理解和掌握稳恒磁场的基本定律一毕奥一萨伐尔定律；

2.理解和掌握磁功中的高斯定理及其物理意义；

3.掌握安培环路定理的物理意义并能用之解决磁感应强度的计算；

4.掌握磁场对载流导线和带电粒子的作用力以及带电粒子在匀强磁场中的

运动规律及应用。

♦本章教学内容

1,磁现象；磁感应强度；磁场中的高斯定理；

2.毕奥一萨伐尔定律；

3.安培环路定理及其应用；

4.磁场对载流导线和带电粒子的作用；带电粒子在匀强磁场中的运动规律

及应用。

♦本章教学重点

1.磁感应强度的概念；磁场中的高斯定理；

2.毕奥—萨伐尔定律；

3.安培环路定理及其应用；

4.磁场对载流导线和带电粒子的作用。

♦本章教学难点

1,磁场中的高斯定理；

2.毕奥一萨伐尔定律；

3.安培环路定理；

4.磁场对载流导线和带电粒子的作用。

♦本章学习方法建议及参考资料

磁感应强度后是本章的基本物理量，所以应深刻理解月的物理意义；透彻理

解毕奥一萨伐尔定律的内容，并能用之计算载流导线的磁场分布；理解和掌握安

培环路定理的物理意义，并能用之求解具有一定对称性的电流的磁场分布。

参考资料

程守洙《普通物理学》（第五版）、张三慧《大学物理基础学》及马文蔚《物

理学教程》等教材。

§12.1磁感应强度磁场的高斯定理

一、磁现象

人类发现磁现象要比发现电现象早得多，这是因为自然界中有很多磁现象，

如磁石低3。4)能够吸引铁屑的现象等等。利用地遨的存在制造的指南针在11世

纪初就已经在我国的航海上有了应用。自然界这些磁现象的发现和应用，激励着

人们去进一步探索其内在的规律，挖掘新的应用价值。

我们知道，静止的电荷之间有相互作用，而这一相互作用是通过电场来传递

的。那么电流之间，也就是运动的电荷之间是否有无相互作用呢？如果存在相互

作用，它是靠什么来传递的呢？实验发现，电流之间的相互作用是由磁场来传递

的。磁场是一种物质，并且对在磁场中的运动电荷有作用力。

二、磁感应强度

根据运动电荷在磁场中的实验，可以观察到以下实验现象：

(1)作用干运动电荷上的磁力F,其方向与运动电荷的速度垂直，即户，/0

(2)作用力与电荷电量q和运动速率u成正::匕，即；Fccv;

(3)作用力的大小与速度D与磁感应强度月的夹角有关，当月〃0时，户=0；

当月，诃时，户最大。

根据以上实验结果，定义磁感应强度月的大小和方向如下：

(1)方向：正电荷的运动方向与磁场中磁针N极指向相同时，磁力为零，

规定这个方向为磁感应强度月的方向。

(2)大小：当正电荷在磁场中某点的速度/与月垂直时，它所受的磁力Fi

最大，规定该点磁感应强度大小为：3=生

四、磁通量

在磁场中，若面元曲所在处的磁感应强度为月，仿照电通量的定义，则磁

通量

dSB=a,dS=BcosOdS

对于有限曲面s来说，其磁通量为

ss

在SI单位制中，磁通量的单位：韦伯（M）

★说明：磁通量中8可理解为通过该曲面上的磁感应线的数目。

五、磁场的高斯定理

由于磁感应线是闭合曲线，因此，对一个闭合曲面来说，有多少磁感应线穿

入，必有多少磁感应线穿出，即通过任何闭合曲面的磁通量必等于零。

作月dS=@）8cosedS=0

上式即是磁场中的高斯定理，磁场为无源场。

§12.2毕奥一萨伐尔定律

一、毕奥一萨伐尔定律

毕奥-萨伐尔定律是一条实验定律。根据毕奥和萨伐尔两人的实验结果，拉

普拉斯从数学上推出了其数学表达式，故此定律又称毕奥-

萨伐尔-拉普拉斯定律。它从数学上给出了一个电流元Idl在

空间F处产生的磁感应强度dB为

面=丛雪

4乃,

根据迭加原理，一个任意载流导线在场点尸处产生的磁感应强度为：

"1八年安⑵

二、载流直导线的磁场

一载流直导线如图所式，计算其旁边任意一点P

的磁感应强度。

在导线上距。为/处取电流元它在尸点产生

的磁感应强度的大小为dB=乎里电

44厂

方向垂直纸面向里。由毕奥-萨伐尔定律可知，载流直导线上的任一电流元

在P点产生的磁感应强度的方向都垂直纸面向里,

所以B=出」『竺”

JJ4开广

'名励一T，日naNo/々CSC?Osina/e〃()/伊.

通过求解可得，B=\詈--------一=+「sma」夕

由4%(acscOy4〃〃Jd

=>3=久―(cos6[-cos。?)(3)

4/m

讨论:

(1)若导线为无限长，则4=0,，=〃，由(3)式可得B二纱

2如

(2)若导线是半无限长，则4=乃/2,%=知，可得8=旦

4加

(3)若P点在直导线的延长线上，4=%=0或4，则8=0

三、载流圆线圈轴线上的磁场

载流圆线圈如图所示，计算其轴线上任

一点P处的磁感应强度。

由对称性可知，A与A点处的电流元在

P点产生的元磁感应强度，大小相等，方向关于X轴对称,

所以，载流圆线圈上的所有电流元在P点产生的磁感应强度的垂直分量的矢

量和为零，总磁感应强度与沿X轴方向。

c.1"（）Idls'maJLIJR严〃琳

BD=4dJBDsina=4----；——=°dl=,

JJ4/r-477r3J。4r3

nB声收

2Z+f严

讨论：

(1)在圆心处，因为戈=(),贝IIB:乜

2R

(2)当时，B=*咤

2x

(3)若圆线圈共有N匝，则B=

2(R~+方产2

说明：上述三种情况，月的方向均沿x轴正方向。

四、载流直螺线管轴线上的磁场

如图所示的螺线管，半径为R,总长度为心电流为/,单位长度上有〃匝

线圈，取螺线管的轴线为x轴，在螺线管上距尸为x处取一段长为公的螺线管，

其内包含有〃公匝线圈，这些线圈在。点产生的磁感应强度的大小为

dB=叫

2(R2+X2)3/2

方向沿X轴止方向，由囹叫以看出

x=RCQI/3dx=-Rcs*/3d0

R2+X2=R2(I+cot2P)=R2cse2p

Kcsc?/3)d0从"

=dB=-----------：-----：----------=-------(-sinp\ip

27?3cse312

B=j(-sin为d°=(cos昆-

-cos^t)

2A2

讨论：

1.若螺线管为无限长，即四=乃，,%=0,则B=；所以无限长载流

直螺线管内部轴线上的磁场是均匀的。

2.若螺线管为半无限长,且户点位于螺线管一端的管口处，即以=//2,

色=0或4=0,%=冗12、则B=半无限长螺线管一端轴线上的磁

感应强度为中间部分的一半。

五、运动电荷的磁场二

^71/

dl

dB

S

电流是由电荷的定向移动形成的，电流的磁场实质上是由运动的电荷产生

的。下面从毕奥一萨伐尔定律出发，导出运动电荷与其激发的磁场的关系。

如图所示：导体的横截面积为S,通过的电流为/,单位体积内有〃个载流

子，电荷为以定向漂移速度为L则导线内的电流密度为J=nqv

在导线上取一小段力，即一个电流元，则

而二氏MSdRx%

47rr~

上式的物理意义为：电流元〃,内部dN个电荷产生的磁场。所以一个为^的

电荷，以速度M运动时在尸点激发的磁场为月=黑=》更要

dN4乃r

上式即为运动电荷产生磁场的基本公式。当q>0时，月与六片同向；当。<()

时，分与0x斤)反向。

§12.3安培环路定理

一、安培环路定理

内容：在磁场中，磁感应强度月沿任意闭合路径L的线积分等于穿过这个环

路的所有电流的代数和的〃。倍。

公式表示：•%=〃。工/(1)

L

说明：

1.电流的正、负规定如下：当穿过环路L的电流方向与环路的环绕方向符

合右手螺旋关系时，/>0,反之，/<0o

2,若环流为0,并不能说路径上的月值为0o

3.月是空间所有电流产生的场，其中包括那些不穿过闭合回路的电流产生

的场。磁场是非保守力场。

以无限长载流直导线为例对安培环路定理给

予简单证明。

1.安培环路包围一根无限长载流直导线

如图所示。

由前面的知识可知，无限长载流直导线周围的(a)

磁感应强度为

方向与矢径尸的方向垂直。

在环路上4点处任取一小线元/由，其方向与

A处的切线方向一致，如图(b)所示，经过分析可

⑹

得,

从导线。向环路线L画夹角为，加的两条射

(a)

线，在如图所示的A和A处分别截得两个小线元

疝和疝,则

A和A两点的磁感应强度的大小分别为

B二肛"

ITIT2"

B==B、+B、+B3+Bq+85+Bg

^Bcii=f（A+员+及+瓦+及+瓦）•加

=p,•加+,瓦力+f瓦瓦以7+,瓦•加+£瓦加

根据前面的证明可知，

‘4加7=〃）（/|一（十，5）=从）工/

L

★说明：根据磁场的安培环路定理，磁感应强度沿任

意闭合曲线的线积分不为零，则磁场为涡旋场。

二、安培环路定理的应用举例

例1求均匀无限长圆柱载流直导线在空间产生的磁

场分布。已知电流为/,圆柱的半径为R。

解：设电流是均匀分布的，根据磁场的性质分析可知，磁场在内部和外部的

分布具有对称性，可由环路定理求出月的大小，方向均沿同心圆周的切线方向。

外部任一点P:

2m

它与无限长载流直导线的磁感应强度是

相同的。

ITIT1

内部任一点Q：，月•/二〃（）

菽

B=(

2TTR2

例2求无限长载流直螺线管内外的磁场分布。已知螺线管是密绕的，单位

长度上有"匝线圈，电流为/。

解：螺线管内任一点的磁感应强度8的方向与轴线平行且水平向左。

在管内过轴线作安培回路•加，由安培环路定©----------/

理得,

C——rb——fc———fa——

,8•力=J8"/+j8"+J34/+J/8V/=0

abcda

EEDHEJtZJEQIZlQQIZIEJQHEQEE

在ab段和cd段上，月与加垂直，则

pb—•一fd1r

，B•dl=[Bdl=0

由于螺线管无限长，be段上月的大小处处相等，da段上月的大小处处相等,

所以

［瓦/=—B,J：d!+B而［dl=(~Bhc+%)=0

abcda

Bbc=Bda=氏娥

作如图所示的矩形安培环路劭c*,由安培环路定理得，

r一-*fb—1,£一一rf—一ce"•一

jBdl=JBdl+［Bdl+jjd1=〃(/〃

ebefe

由于7.疝=1Gd7=0

ce

所以\Bdl=-B^dl+Bfjdl=(一练，+%)，=入川I

ebefebf

n8外=By=0

例3求载流螺绕环内、外的磁场分布，已知螺绕环中心线的半径为R,环

上线圈的半径为广，且R>>〃，电流为/,单位长度上有〃匝线圈。

⑸螺绕环的外形(b)螺绕环的剖面

解：在螺绕环的剖面图中，以圆环的中心为中心，以R为半径作圆形环路L,

绕行方向如图所示，由对称性可知，环路£上月的大小处处相等，月的方向沿环

路的切线方向。由安培环路定理得，

他疝=82成=〃0小2成/

L

=B=

如果将安培环路定理应用于环外的L'上，则

p-J/=B'L'=O

L

=>月=0

§12.4带电粒子在磁场中的运动

一、运动电荷在磁场中受的力一洛仑兹力

实验表明：运动电荷在磁场中所受的力尸与电荷以运动速度0以及磁场的

磁感应强度月有下述关系：

F=qvxB(1)

标量式：F=|^|vBsin6>(2)

运动电荷在磁场中所受的力叫做洛仑兹力，其方向用右手螺旋法则来确定。

二、运动电荷在匀强磁场中的运动

一质量为〃电荷为q的带电粒子，以速度下射入磁感应强度为月的匀强磁

场中，其运动情况分为以下三种：

1,带电粒子的速度<与磁场的方向平行；

由(2)式可知，电荷不受磁力作用，在不考虑其他力作用时，电荷做与磁

场方向平行的匀速直线运动。

2.带电粒子的速度0与磁场的方向垂直

电荷所受的洛仑兹力最大，F=qvB

方向：垂直于0与分所决定的平面。

带电粒子在与月垂直的平面内作匀速圆周运动。由牛顿第二定律得，

V2

qvB=/«—

=R=—⑶

qB

运动周期：7=邺=组

(4)

vqB

单位时间内所绕的圈数为7=兽⑸

T2

q/加一荷质比，（4）和（5）式表明：荷质比相同的粒子，在同一磁场中,

不论其速率多大，其运动的周期都相同。

3.带电粒子的速度0与磁场成任意角，

如图所不夕

：v±=usind,vft=ucos

以不受磁力的影响，而乙所受磁力使电荷

在垂直于月的平面内作匀速圆周运动，其运动

轨迹为一螺旋线，如图所示。

小田心AA、”-zAL八"荏‘wvsin0

螺旋线的半径为RF=F-(6)

在一个周期内电荷沿月的方向前进的距离为

⑺

运动电荷在磁场中的螺旋线运动，在聚焦技

术中的广泛应用。

若空间。点既存在磁场，又存在电场，那么运动电荷通过尸点所受的合力为

F=q(E+vxB)⑻

三、质谱仪

质谱仪是一种分析同位素的仪器，是由A.ton1919年创制的，如图（此处

£

插入Flash动画），只有速度v满足"=/必、”微的粒子才能通过S3,进入磁

场后作圆周运动。

v-

qvB'=M—

R

M=qB'R"(9)

由上式知，具有不同的轨道半径则反映着不同的粒子质量，则在底片上形成

线状谱线，由此即可测出同位素的成份和质量。质谱仪不但可以测定同位素的百

分比，而且还可从同位素中分离特别的同位素产品。

四、回旋加速器

原理：图中（此处插入Flash动画）'、2是作为电极的两个半圆形空心

铜盒，强大的磁场与与盒的平面垂直，两极间加有高频交变电压，由粒子源。发

出的带电粒子在D形盒间被交变电场加速，而在D形盒内，由于磁场的作用而

做圆周运动，交变电场的变化周期须与粒子圆周运动的半周期相等，以保证粒子

在D形盒之间被加速，粒子最后从引出器F引出。从引出器引出的粒子速度为：

…、喑

T=辿=当与速度无关

vqB

困难：（1）若使V-大，则要增大R,而大的电磁铁是难制造的。（2）v增

大时，由于相对论效应，周期改变，加速器不能继续加速。改进的方法是利用同

步回旋加速器。

五、霍尔效应

利用「刖

/,dqvdtbdn-q,.、

(/=—=----------------=vbanq)

dtdt

1

有：U〃=

nq

R=­R〃称为Hall系数。

Hnq

垂直电流方向加外磁场B

时，在导体的横向两端形成电场

(或电势差)这种现象称为霍尔效

应，所产生的电势差称为霍尔电

压UH.

由R〃=’知；若载流子带负电,

则霍尔系数和霍尔电压便是负的。由于半

导体中载流子密度很低，因而半导体的霍尔系数比金属导体大得多，故半导体能

产生很强的霍尔效应。利用霍尔效应制作的霍尔元件，有着广泛的应用，可进行

温度、磁场、电流的测量等。

量子霍尔效应：

德国物理学家克利青于1980年在研究低温和强磁场下半导的霍尔效应时，

发现U”与B的关系是量子化的。根据霍尔效应的最子理论，霍尔电阻

2

RH=h/ne=25812.806/7?(Q)

当n=l时，R//=25812.806Q°由于量子霍尔电阻可以精确的测定，故人们将

量子霍尔效应所确定的电阻25812.806。作为标准电阻。

克利青由于发现量子霍尔效应，于1985年荣获诺贝尔奖。

§12.5磁场对载流导体的作用

一、安培力公式

从运动电荷在磁场中所受的洛仑兹力出发，导出载流导体受的安培力。

以金属导体为例，导出一个电流元所受的安培

力。

如图所示的电流元，其电流为/,横截面积为,

长为设电流元所在处的磁感应强度为月，则会

属到体内每一个定向移动的自由电子所受的洛仑兹力为

f=-evxB

电流元内的自由电子数为N=ndSdl,则他们所受的洛仑兹力为

dF=N(-evx月)=dSdl(-envxB)=dSd/(JxB)

由于加的方向与了的方向相同，则

dF=jdsicilxB)=IcllxB(1)

(1)式称为安培力公式。

任意形状的载流导体在磁场中受到的安培力为F=\ldlxB

例题：求半圆形的载流导线在匀强磁场中

受的磁力。如图所示，已知导线中的电流为/,

半径为R,磁场的磁感应强度为月，方向垂直

纸面向里。

解：建立如图所示的坐标系，在导线上任

取一电流元，其矢径与1轴的夹角为夕，该电流元所受的安培力大小为

dF=IBdl

其方向沿电流元所在处矢径的方向。

dFx=(1Fcos0=IBdlcos0

dFy=JFsin0=IBdlsin0

由对称性分析可知，导线受到的合力的工分量等于零，只有y分量不为零,

因此，F=JdF、=IBdl='JBdx=2IBR

二、匀强磁场对载流矩形线圈的作用

如图所示，匀强磁场中的载流矩形线圈出照曲，其中岫=A=L

ad=be=Zj,线圈中的电流为/,方向为a—>>c—>dfa,规定线圈平面的

法线方向与电流的方向遵守右手螺旋法则，设法线上的单

位矢量方与磁感应强度月之间的夹角为区则ad和be边

受的安培力的大小分别为，

6=£/&〃sin(90°+0)=叫cos。

居二，IBdlsin(90°-<9)=IBl}cos。

方向如图所示，E和E大小相等，方向相反，并且在

同一条直线上，对整个线圈来说，它们的合力及合力

矩都为零。

ab和cd边所受的安培力的大小分别为,

6二fIBdl=/取

F4=jIBdl=1B12

方向如右边的俯视图所示，片和A大小相等，方向相反，但不在同一直线

上，它们的合力虽为零，但对线圈要产生一磁力矩的作用，其大小为,

T=FJ]sin0=F&sin7

=7=小/&sin<9=/BSsin夕

力矩的方向：垂直纸面向外。

矢量式：T=ISnxB

定义线圈的磁矩鼠：P„,=ISn,方向为载流线圈的法线方向。

所以T=PmxB

★讨论：

(1)当。="/2时，线圈平面与磁场平行，线圈所受的磁力矩最大，这一

磁力矩有使两者之间夹角减少的趋势。

(2)当。=0时，线圈磁矩与磁场方向相同，线圈所受的磁力矩为零，线圈

处于稳定平衡状态。

(3)当夕="时，线圈磁矩与磁场方向相反，线圈所受的磁力矩也为零，但

线圈处于不稳定平衡状态。

力矩的作用总是使P,n与B的方向趋向一致。

§12.6电流单位的定义

一、两平行载流直导线间的相互作用力

如图所示：两根分别载有电流乙和人的无限长载

流直导线，平行放置，相距为载线电流乙在导线2

处产生的磁感应强度大小为用2="，方向如图所

4如

ZFo

同理载线电流右在导线1处产生的磁感应强度大小为

3»=4心,方向如图。

4加

导线2上长度为/的线段所受的磁场力为

艮2=0疝X（1）

方向：在两平行导线所决定的平面内，并指向导线L

同理，在导线1上，长为/的线段受到的磁场力为，

〃，

()1/2/⑶

24a

方向：在两平行导线所决定的平面内且指向导线2.

★结论：两个流向相同的平行无限长载流直导线间的磁场力是相互吸引力,

两个流向相反的平行无限长载流直导线间的磁场力表现为排斥力。

二、电流的单位一安培

在电磁学单位制MKSA制中，电流的单位：安培