考研数学二（解答题）模拟试卷112

考研数学二(解答题)模拟试卷112

一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

1、J>Z7TT

2vCr-FTlnj--4/r+1-21nLt一+(1

标准答案：1一G7

知识点解析：暂无解析

..(24-tanx)10—(2—sinz)10

hm------------：--------------

2、计算一。smi。

标准答案：此题为用导数定义去求极限，关键在于把此极限构造为广义化的导数的

「(2+tanx)10-2g+2,0一(2-sin工严

iim---------------：-------------------

T-H)smx

..(2+tanx)10—210.1.2"-(2-sinx)10

=lim-------：----------Hlim-------：---------

usinxIsinx

=(x,or|+(x10)z=2X10X2,=10X2?

定义式.x"2

知识点解析：暂无解析

3、设3阶实对称矩阵A的秩为2,入1=上=6是A的二重特征值，若囚=(1,1,

TT

0),a2=(2,1,1),a3=(—1,2,一3户都是A属于九=6的特征向量，求矩阵A.

标准答案：由r(A)=2知IAI=0,所以入=0是A的另一特征值.设矩阵A属于

九=0的特征向量a=(xi，X2,X3)L由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正

fa]a=X|+x2=0,

/aTa=2x|+与+*3=0•

交，故有阳+29-3盯=0.解出此方程组的基础解系a=(—1,1,

T

1).那么A(ai，a2,a)=(6ai，6a2,0),用初等变换法解此矩阵方程得

■422'

4=24-2.

•2-24-

知识点解析：暂无解析

-4-ln(l—x).

----5-----ax

4、

原式=|-^-clr―力｛十)

=In|z|--ln(l-x)-f—7~~;dr

XJx(l-x)

=In|x|一1ln(l-n)-JC+]

心q=(1---)ln(1-x)4-C.

标准答案：'工)

知识点解析：暂无解析

Pdr

5、求§工ii+r+3『

标准答案：

x1

p业jr一兴=rtdt

4工/i+f4^-J#_L++-4'+)+3

=4ln[(jr+J)+J#+z+3]=--In--=卷晶(2>/5-3).

22i22754-32

知识点解析：暂无解析

6、设f(x)在区间[一a,a](a>0)上具有二阶连续导数，f(0)=0.⑴写出f(x)的昔拉

格朗日余项的一阶麦克劳林公式；(2)证明：在[一a,a]上存在中使a3roi尸3j-

a

af(X)dx.

标准答案：⑴对任意x&-a,a],

/(x)=/(0)4-/(0)z4-y/(e)x2=/(0)x+-^x\

(2)j/(x)dr=r(O)zdr+：J=yj/"(0/业，⑴工

F(x)在La,a]上连续，由最值定理：mSP(x)SM,xG[—a,

a|.mx2<f(^)x2<Mx2,

-yma3=mJxzdr/"(£)/心《时x2dr=yMz3.

/"(£)j*2dT=J/(x)dr<y•M,

m&'J/(x)drM

由介值定理，存在7W[-a，a],使得:(6=/(x)dx.

知识点解析：暂无解析

7、平面曲线&=0绕x轴旋转所得曲面为S,求曲面S的内接长方

体的最大体积.

标准答案：曲线L：L=0绕x轴旋转一周所得的曲面为S：0根据对

称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为M（x,y,2）,则体积为

V=8xyz.☆F=xyz+由实际问题的特性及点的唯一性，当x=时，内接长方体体积

最大，最大体积为V=

知识点解析：暂无解析

8、交换累次积分的积分顺序：1=

「。呵"⑺由+/(%,y)dy

标准答案：先对X积分，就是从区域D的左侧边界％=y*到右侧边界x=y+2.两

边界线的交点为（1,一1）与（4,2）,得1=

j/(z,y)dxdy=J户J,/(x,y)dx

D

知识点解析：暂无解析

9、设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为Si，它们与直线x=l所围成的

图形面积为S2,并且aVl.1）试确定a的值，使Si+S2达到最小，并求出最小

值.2）求该最小值对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积.

I）a=5时S最小，Smin（/=左声；2）V工

标准答案：V2630

知识点解析：暂无解析

10、如果秩r（ai，。2，…，as）=r（ai，。2，…，as，as+i）»证明as+i可由囚，

C12，…，出线性表出.

标准答案：设r（ai，a2，…，as）=r（ai，3…，as,as+i）=r,且卬，32，...»

air是向量组ai，（X2，…,as的极大线性无关组,那么如，四2，…，am也是四，

。2，…，a$,cts+i的极大线性无关组.从而Os+l可由a」,四2，…,dir线性表

出.那么Cts+|可由0U，。2,…'Cts线性表出.或者考察方程组％［。］+%2（!2+...+

Xsas=as+i.因为r（a］,%...»as）=r（ai，必...，as,as+i）,所以方程组力山+

X2a2+…+心。$=出+1有解.因此cts+i可由四，（12，…，as线性表出.

知识点解析：暂无解析

11、设a］,（X2，…，an为n个线性无关的n维向量，且与向量0正交.证明：向

量P为零向量.

M,

a；

■

.

标准答案：方法一令A1武J,因为ai，（X2，am与0正交，所以A0=O,即「为方

程组Ax=0的解，而ai，a2，an线性无关，所以r（A）=n,从而方程组AX=0只有零

解，即0=0.方法二（反证法）不妨设算0,令kiai+k2a2+…+knan+ko|3=0,上式两

TTTTT

边左乘p#kipai+k2pa2+...+knpan+koPP=O因为ai,8，…,an与P正交，

所以koPTp=O,即koIPI2=,从而ko=O,于是k］（xi+k2a2+…+kn（in=0,再由ai，

ai>...»an线性无关，得ki=k2=...kn=0,故ai，az，…，an,。线性无关，矛盾

（因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关），所以0=0.

知识点解析•：暂无解析

r，n(z+A/TT?)+5"

12、J。

标准答案：

因为口n(z+/TT7r)+5]'=1.

x/l+x2

所以f，n(/+/l+三)+。a=f[ln(x+/mr)+5]+d[ln(z+/TTP')+5]

,1J

=-1-[ln(x-F+#)+5]五+C.

知识点解析：暂无解析

rE--A-rCiB」是正定矩阵，其中A,B分别是m,n阶矩阵.记P=

0JJ

⑴求MDP.（2）证明B-CTA"C正定.

标准答案：（l）pT）DP=

Em

TlT

-CA-EJ'CJIOJ（2）因为D

为正定矩阵，P是实可逆矩阵，所以PTDP正定.于是由上例的结果，得R—EA-

】c正定.

知识点解析：暂无解析

］.jfCr）

设f（x）在［・a,a］（a>0）上有四阶连续的导数，理"存在.

14、写出f（x）的带拉格朗日余项的马克劳林公式；

标准答案：由巴x3存在，得f（o）=o,r（o）=o,r（o）=o,则f（x）的带拉格朗日余项

广（0）3

的马克劳林公式为3!4!其中彳介于0与x之间.

知识点解析：暂无解析

=60jy（x）dx

15、证明：存在言，々日-a,a］,使得3尸"）=120〃&）.

标准答案：上式两边积分得L"""=乩〃""""因为〃）（x）在［.a,a］上为连

续函数，所以«%（x）在M，a］上取到最大值M和最小值m,于是有

两边在［一小。］上枳分得丝/《部”

从而嚅&击D“6,业《察,或需&jy（x）dx《嗡

mx4<f<4^）4<Mx4,于是桁&":入出《”,根据

介值定理，存在3曰aa］,使得I0）©尸乳/（工也，或25产）（官尸601.

aaf（x）dx.再由积分中值定理，存在在［-a,a］,使得a5f<4）口尸601

a

af（x）dx=120affe）»即a4f（，&）=i20fa）

知识点解析：暂无解析

|Q"”一心十丁),(3)R(0,0),

16、设f(%,y)=1°,(N~)=(°，°)・(1曲一)在点

(0,0)处是否连续？(2)f“，y)在点(0,0)处是否可微？

lim

标准答案：⑴因为OSI敢，y)I"QI，所以Hf(%,y)=O=f(O,0),故

f(X，y)征点(0,0)处连

续.

(2)A/(x»,y)=f(z,y)—f(0,0)=''f；sinpz(p=)合+y?),

P

A(0.0)=Hm勺，。)­=0，A(0,0)=lim=。，/二3=0.

x-oxy-°y

因为lim

母Pf：2PP4

所以f(%，y)在点(0，o)处不可微・

知识点解析：暂无解析

2

17.z/P+gd,dz

siny),f的二阶导数连续，g的二阶偏导数连续，求HzHy

3z玄广+"I急=一3f'一工广十°飞°”g%'

标准答案：a工

知识点解析：暂无解析

18、设向量组(I):ai,Ct2，«3；(II):(XI，Ct2，(X3的秩分别为(I)=2,秩

(11)=3.证明向量组ai，。2,。3十04的秩等于3.

标准答案：由向量组(II)的秩为3得四，a2,。4线性无关，从而囚，a2线性无

关，由向量组(I)的秩为2得四，。2，。3线性相关，从而013可由a],a2线性表

示，令c(3=kiai+k2(i2.Qi，(X2，a3+04)=(ai,CQ,kiai+k2a2+a4)=(ai,304)

10ki10鬲10鬲,

01戈2，由=1X0得矩阵0

01kt1&可逆.

001

001001故r(ai，。2，

a3+a4)=r(ai，g,cu)=3.

知识点解析：暂无解析

并求数项级数N肝的和

/(x)=arctan

19、将函数1+2#