考研数学（数学三）模拟试卷466

考研数学(数学三)模拟试卷466

一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)

1、设f(x)在X=X0的某邻域内连续，且在该邻域内x，x()处f(x)存在，则

lim/(x)-A”是(为)建A

“一，，的()

A、充分必要条件.

B、必要条件而非充分条件.

C、充分条件而非必要条件.

D、既非充分又非必要条件.

标准答案：C

limf(x)至至A

知识点解析：在所说前提及条件―。下，由洛必达法则：

limmg二lim叼二年工==A.

L工。fCr-Xo)2。所以r(xo)

旦至A,从而知“lim/Cr)正生A"是"/(x<»)——A

―。”的充分条件.但不是必要条件，反例

j^sin—,x#0,

/(X)=VX

如下：设0,°-本例满足本题所说的前提(其中xo=O),

——cos—(x0)»lim.七

f(x)=2xsin*xLO「(X)不存在，而

/sin------0.

f(0)=lim--------------=limrsin-=0

I*i4却是存在的.所以

lim/(x)9过A"不是"/(G)/全A

“一”的必要条件.

所企2=上

2、设g(x)在x=0的某邻域内连续且，t*4.又设f(x)在该邻域内存在二阶

导数且满足x2「(x)—[F(x)f=xg(x).则()

A、f(0)是f(x)的极大值.

B、f(0)是f(x)的极小值.

C、f(0)不是f(x)的极值.

D、f(0)是否为f(x)的极值要由具体的g(x)决定.

标准答案:B

知识点解析：当x翔时，g(x)=工,由于g(x)在x=0处连续，

g(0)=limgG)=lim［"工•OX-J~=0.-07

……L1」4所以［「(0)「二()2f'(0)-0.g(0)=0,

即

f(0)=0.

r(0)=lim皿二逑金丝辿不广⑺

iX-0…

=小丹+㈣修心［/杂了++

■cr(o)了+}

即

—/*(())+十=0,［/*(0)—十］=0,

八一>°・所以

f(0)为f(x)的一个极小值.

8

V

3、设数列缶订单调增加且有上界，0为常数，则级数仁⑸-an+i)sinnO()

A、发散.

B、条件收敛.

C、绝对收敛.

D、敛散性与8有关.

标准答案：C

知识点解析：由于数列{aQ单调增加且有上界，故

存在

hman■■1a,

■

且Q.4*则

B

Z(Qii—a.)=lima.“-g=a—ai(收敛)，

I一另一方面，I(an

oo

—a+i)sinn0I<Iaa+iI=a+i-a,而已证・T(an+i一an)收敛，所以由比较

nDOnnnn

y

判别法知，・T(an—an+i)sinn0绝对收敛,选C.

4、设g(x)在(一8,+oo)内存在二阶导数，且g"(x)V0.令f(x)=g(x)+g(-x),则当

x和时()

A、f(x)>0.

B、f(x)<0.

c>r(x)与x同号.

D、r(x)与x异号.

标准答案：D

知识点解析：由f(x)=g(x)+g(—X),有f*(x尸g，(x)—g，(一x),f'(x)=g"(x)+g,,(—x)<

0,f(0)=0.再由拉格朗日中值定理有r(x)=R0)+f汽)x=F纭)X,自介于0与X之

间，所以当X和时，r(x)与x异号，选D.

5、设A是n阶矩阵，则下列说法错误的是()

A、对任意的n维列向量。有A&=0,则A=O.

B、对任意的n维列向量。有8A&=0,则A=O.

C、对任意的n阶矩阵B,有AB=O,则A=O.

D、对任意的n阶矩阵B,BrAB=O,则A=O.

标准答案：B

知识点解析：法一选项(A)对任意的n维列向量。有A&=0.分别取以二(1,

0,…，0)T,々=(0,1,0)二…，&=(0,0,1)丁代入，即得Aij=0(i=l,

2,…，n；j=l,2,n),故A=O.选项(C),(D)对任意的n阶矩阵B,有

AB=OSBTAB=O.只要取B=E,即可得出A=0.故由排除法，应选B.法二对

选项(B),只要A是非零反对称矩阵，即A'二—ArO时，则对任意的n维列向量

多因8Aq是数，故有8A4=RTA9T=PAT&=—FA号则28A?o,即1=o,

但A#O.故选项(B)是错误的，应选B.

6、设a],a2，。3,04,as均是4维列向量.记A=(a”012,(13,04)»B=(ai,a2，

T

。3,04,a5).已知方程AX=a5有通解Al，一1，2,09+⑵1,0,1),其中k

是任意常数，则下列向量不是方程BX=0的解的是()

A、(2,1,0,1,一1)T.

B、(3.0.2.1,—1)T.

C、(1,-2,-2,0,一1)二

D、(0,3,—4,1,一1)T.

标准答案：C

知识点解析：由AX=a5的通解k(l,-I,2,0)T+(2,1,0,1V知(15可由a1，

a2,(X3，04表出为(X5=(k+2)ai+(-k+l)a2+2ka3+a4，即(k+2)ai+(一

k+1)a2+2ka3+a4―a5=0，即BX=(a],a2，。3，«4»a5)x=(ai,(12，013，04,015)

-k+2-

T+l

2k

1

-T」=0,其中k是任意常数.因为BX=0的解中，无论k为何值，X4,X5不

可能为。，故(C)是错误的.

二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

lim(2——1月

9、I=.

标准答案：e2

知识点解析：令x—l=u,则

lim(2e,-l—D力=lim(2/-1)•=lim(2el*—1)，=lime0:"，

ir-^>

其中仁3洛必达法则勒昌=2,

…“I2d—1

以原式二e2.

.Ing土卫立业

io、LF=.

标准答案:21M1+V2)

rInCx^/kEZ)^TM+际〜仪)

=---ln(x4-7TT?)厂+广产.

“11J】X/TT7

=ln(l+0+/——/〜

r尸d(1)

=ln(l+⑶一/二=

J,<7^

=ln(l+⑶-In-L+J(1)'+1:

知识点解析：=210(14-72).

11、设y=y(x)是由y3+(x+l)y+x2=0及y(0)=0所确定,则…工。-cosz)

~2_

标准答案：3

_0

知识点解析：此极限为“5理.求导中要用到y，(0),y”(0)等，先求出备用.由

y3+(x+l)y+x2=0,有3y2y，+(x+l)y，+y+2x=0,将y(0)=0代入，得0+y'(0)=0,有

y'(0)—0.再求导，6y(y')2+3y2y"十y，十(x十1»"十y'十2—0.将y(0)_(),y'(0)—0代入,

得0+0+0+y-+0+2=0,有y”!0尸一

y<r)dz

故

r-069

lim型=lim呼一季

2.^0OXx^Ooo

d_y__1_

12、已知y=u(x)x是微分方程“"一"一万(y2+4x5的解，则在初始条件yIx=2=0

下，上述微分方程的特解是丫=.

标准答案：2xtan(x―2)

d_y_必(7)dw__1_

知识点解析：由y=u(x)x,有山•=”-IT+u(x),于是原方程化为*2亚=彳

X2(U2+4)，由于初值为X=2,所以在x=2的邻域不包含x=0在内的区间上，上述方

du__1_

程可改写成右一，(/+4),分离变量

两边积分

arctan詈=z+C,

2将x=2,y=0代入，得

u=0,C=—2.从而得特解y=u(x)x=2xlan(x—2).

°]

13、设A=L1OJLO-1」，且已知A相似于B,则b=__________.

标准答案：1

IA-1

知识点解析：法一相似矩阵有相同的特征多项式.故I入E-AI」-1A=产

Lb0

—1=IXE-BI=0A+l=0—b)Q+l尸九2+(]一切入一b,得b=l.法二I

2

XE—AI=X—1=(X—1)(Z+1)=O,A有特征值入产1,X2=-1.B是实对称阵，其

特征值为h=b,12=-1.由相似矩阵有相同的特征值知b=l.

14、设A与B是两随机事件，P(A)=O.6且P(B'%)二0・5,则P(/B)

标准答案：0.2

p(B./)=P用)=P(利

知识点解析：由P(由1-P(A)=O.5,且P(A)=O.6,得

P(AB)=O.2.P(AB尸I—P(AuB)=l—[P(A)+P(B)—P(AB)]=1一

|P(A)+P(AB)]=O.2.

三、解答题（本题共9题，每题7.0分，共9分。）

15、(I)求定积分an=J()2x(2x—x2)ndx,n=l,2,...；(口；对于(I)中的an，求幕级

OO

数NLnX11的收敛半径及收敛区间.

222n

标准答案：(I)an=fox(2x-x)dx=Jox[l-(1-*x)ldx,作积分变量代换，令I

-X=t,于是an=JJ(l-t)(l-t2)n(—dt)=JJ(l-]2)%―疗1贝一｛2)%4/(]

2n2n,2n,2

t)dt=2f0'(l-t)dt.下面用分部积分计算：an=2jo(l-t)dt=2jo(l-*t)(l-

t2)n-1dt=a^I—2104(1-tY-4dt

=+—[/d(1-?)'

nJo

=ar\一"-[(1一产尸出=fle-i—y-a.t

nJoin

所以

%=品。1(〃=2,3.・・・).

由此迭代式得

2〃2n—2

27H•2n-l

（口）由

liml^=lim"|=l.

•■•ooIa.cn+o知收敛半径

R=l,收敛区间为（一1,1）.

知识点解析：暂无解析

16、设平面区域D用极坐标表示为

厂&

D=(厂⑼ycos64Jcos^,-j-sin84raJsin6

444Ct

求二敢积利装必

标准答案：区域D如图阴影部分所示.为清楚起见，4个圆只画出有.美的4个半

圆.D关于直线y=x对称，交点A,B,C的极坐标分别为

A脩丹皓arctan/).

4/匕=21二+叱/esAnT1r

u2『]Eli隼峥

J.2jcos^sin6

二2『,ln24-ln(tan.g)d(tan^

Jarrwi+tflH9

…an"zj；In2±ln«du

=2(In2•In“++h?“)[*

-2(ln?2-ylnt2)-ln22.

知识点解析：暂无解析

y——

17、求零级数占4/-1的收敛半径、收敛区间及收敛域，并求收敛区间内的

和函数.

（7）”1

4（”+二1

y（一1）"才;'二'

标准答案：令u=x2,化为u的基级数占4"一】易知|4号一1|

所以收敛半径R=l,收敛区间为（一1,1）.回到原给幕级数，收敛半径也是1,收

敛区间也是（一I,1）,当4±1时，易知原某级数收敛，所以收敛域为［一1,

1］.在收敛域［-1,1］上，令其和函数为

SG）=V上121/,16（-1）•二_个（――

-KI2点2n-l2M2〃+1.为了进行逐项积分与逐

项求导，所以在收敛区间内考虑计算.在区间（一1,1）内，令

送酰［与空九"就（-】『5

=红［£（T尸产N=司工S（T尸产N

=方J。（_~?rctan心

导±・=吉钟号畀”齐。）

=耘嗝一］’也

=/期:《-1》产"=既与（-"］市

二都［£（-1）•产7］山=/：（出T）由

=^（arctanX-x）,

52（0）=0.

综上，当工W时，

x11

S（x）=S（力-TarCtan”一五araan工+彳.工户。，

O，x=0.

知识点解析：暂无解析

18、过椭圆/62=］（a>b>0）第一象限上的点（0m作切线，使此切线与椭圆以

及两坐标轴正向围成的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为最小，并求该旋

转体的最小体枳.

标准答案：由6+有宗.祥=0.椭圆上点&“）处的切线方程为y一『

空A停,0）与B（0,与）

aq（x—9，与两坐标轴的交点分别为e"三角形OAB绕x轴

空/”噌.j工

旋转一周所成的旋转体的体积为"'坳椭圆了秆=1

与两坐标轴正向围成的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为

匕二寸:V业=同:(1一千加=竽.

则v=2=窘-怨纥

峋3

其中专+g—1=。.

°/由于V2为常数,

所以求V的最小值，只要求V1的最小值或力2的最大值即可.令

F(&*)=时+乂冬+,一]),

4亚

由-a==2句+2患=0.

4-AO,归

襄+

4i

=a"—1=0.

解得

相应地

j=(牛!)2.

由于驻点唯一，日.Vmin必存在，所以当(*)式成立时，(**)式即为Vmin.

知识点解析：暂无解析

19、设x与y均大于。且*y,证明："一“丫9.

标准答案：不妨设y>x>0(因若x>y>0,则变换所给式子左边的x与y,由行列

1]»=―一一卡=77

X->eex->J___1.

式性质知，左边值不变)，则y工由柯西中值定

9-d

-IL-

__L

理有，存在一点乐(x,y),使得上式二W二eg一自%令f(u)=eu—ueu(u>o),

有f(0)=l,F(u)=—u*<0,所以当u>。时，f(u)Vl,从而知年一《气<1,于是得

VL

证工。ee

知识点解析：暂无解析

20、设3阶矩阵A,B满足关系式AB=A—B且A有三个不同的特征值.证明：

(I)AB=BA：(II)存在可逆阵p,使得MAP,P」BP同时为对角阵.

标准答案：（I）由题设AB=A—B,①知AB—A+B—E=-E,A（B—E）+（B—E）=

-E,（A+E）（E—B尸E.②即A+E,E—B互为逆矩阵，且（E—B）（A+E尸E,

③从而得A—B—BA=O,④由①，④式得证AB=BA.（H）A有三个不同的特

征值，故有三个线性无关的特征向量，设为白，女，则有A（4,及，

一］

丛）=（11&，入2&，九343尸小，及，43）L及」，两端左边乘B,BA©,&2，

*­

&）-B（&,&,a）L3」.由（I）AB=BA，得AB（&,々，&3）-B（言，会引）

■

Az

-AJ=B（.两,域2,入32），得A（B.尸MB3,i=l,2,3.若B&RO,则

B。是A的属于特征值为的特征向量，因为是单根，故对应相同的特征值的特征向

量成比例.故若B&=0,则&是B的属于特征值0的特征向量.无论何

种情况，B都有三个线性无关的特征向量&（i=l,2,3）.故A,B同时存在可逆阵

P=@,3。3），使得P—AP，，尸廉=Az.

知识点解析：暂无解析

21、（I）®ai=（ai»a2»a3，闻），a2=（a2»-ai.闻，-a3）»03=（33,一闻，一

ai，a2）＞其中ai（i=l,2,314）不全为零.证明ai，012，013线性无关；（II）iHA=

3,证明AA,r是正定矩阵.

标准答案：（I）用反证法.假设ai，（12,（13线性相关，则由定义，存在不全为零的

一4

实数k|,k2»k3，使得kiai+k2a2+k3（X3=O.（*）因aiaz'gai,a2，as，34）

=0,aiaa1=（a）»a2»a3，闻）=0,a2a3T=（a2，—ai，闻，一as）=0.又

y

ajaj=»-1aj2^O,j=l»2,3.故将式（*）两端右边乘aj,j=l,2,3,WkjajajT=O»

ajajT翔kj=O,j=l,2,3,这和假设矛盾，得证ai，（12，（X3线性无关.（11）由（1）

啊1

知ai，a2,a3线性无关，贝Jr(A尸〔&」忆3,且AA"是实对称矩阵.则齐次方

程组A1x=(aiT,a2T»仅有唯一零解，则对任给的x，0,Arx=(aiT,a2T»

«3T)X^0,两端左边乘(ATX)T,得(ATX)T(ATX)=XTAATX>0,得证，AAT是正定矩

阵.

知识点解析：暂无解析

化厂一、OViVy.

22、设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=10・其他•(I)求

fx(x),fY(y)，判断X与Y是否独立？(II)记U=X,V=Y—X,求(U,V)的分布函数

F(u,v),并判断U,V是否独立？

标准答案：(I)由随机变量(X,