考研数学（数学三）模拟试卷565

考研数学(数学三)模拟试卷565

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、设f(x),g(x)在(-8,+8)上有定义,且X=XI是f(x)的唯一间断点,X=X2是

g(x)的唯一间断点，则()

A、当X1=X2时，f(x)+g(x)必有唯一的间断点X=X1。

B、当x#X2时，f(x)+g(x)必有两个间断点x=xi与x=X2。

C、当X1=X2时，f(x)g(x)必有唯一间断点X=X1。

D、当X1,X2时，f(x)g(x)必有两个间断点X=XI与X=X2。

标准答案：B

知识点解析：令F(x)=f(x)+g(x),假设F(x)在x=xi处连续，由f(x)=F(x)—g(x)

及已知条件g(X)仅在X=X2处间断，在其他点处均连续，于是推出f(x)在X=X|处

连续，这与已知条件矛盾，故F(x)在x=xi处间断。同理，F(x)在x=x2处亦问

p,x>0,

断。下面---举出其他三项的反例：A项的反例f(x)=(T,%WO,g(x)=—f(x),

而f(x)+g(x)=O无间断点;C项的反例与A项的相同,此时f(x)g(x)=—1,无间

[1,%>0,f0,%>-1,

断点；D项的反例f(x)=10，％w0,g(x)=h,%经-1,f(x)g(x)=0无间断点。本题

主要考查间断点的判断，可通过举反例的方法逐一排除错误选项。

ff

:(sin3%+cos4x)dx

2、设M=J-T1+4，N=一?P=

,

(x2sin3x-cos4x)dx

J-T,则有()

A、N<P<Mo

B、MVPVN。

C、P<M<No

D、N<M<Po

标准答案：C

知识点解析：根据奇、偶函数的运算法则及奇、偶函数在对称区间上的积分性质可

Tsinx

4

M二cosxdx=0,

J(sin3x+cos4x

N=wx(k>0,

234

P~fw(xsinx-cosx)dx=cos4xdx<0,

J

知-f因此PVMVN。本题结合奇、

偶函数在对称区间上的积分性质求解。

/(x,y)dy

J

3、设函数f(x,y)连续，则二次积分yJtins=()

(A)，d力'f(xfy)dzo

J0Jir,arc・iny30Jir+«rcainy

f1fTr+arcainv

(c)1°d人/(x,r)dxo(D)/d”丁””)小

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：根据已知可知积分区域为D二｛(x,y।I7T/2<X<TI,sinx<y<l],据

此画出积分区域的图形如图所示:

高点纵坐标为y=l,最低点纵坐标为y=0,左边界方程为x=7t—arcsiny,右边界

[[/(x,y)dy=fdyf/(x,y)dxo

方程为X=7U,因此J：JaJ°Jr-n,本题考查二重积分

的积分次序的转化，一般这种题型需要结合积分区域的图形来解答。

nr+a

V

11

4、设a,0，丫均为大于1的常数，则级数/九*】〜+/()

A,当时收敛.

B、当aVy时收敛。

C、当丁>0时收敛。

D、当时收敛。

标准答案：B

知识点解析：本题涉及三种类型的无穷大量：n^>0),qn(q>l),ln6n(8>l),当

a

_re*_lna八

lim一=0,lim=0o

nr+oo,它们的关系是I・r1.研现将此正项级数的一般项进行变

-亨一一Lsd仔「(18),

形：I7*yt其中若an〜bn(m+8),则有

£(-f

。7^\\yJ收敛=a/yVl,即a>y。因此原级数收敛OaVy。本题主

要考查正项级数收敛的条件。

5、设A是三阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3

列上得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为()

010'010'010'011

(A)100。(B)100O(C)100O(D)100

.101.Loo1..011..001.

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

进行初等变换用矩阵右乘初等矩阵。

2100'

1221

6、已知A」。0

10J,则A与B()

A,等价，相似，合同.

B、等价、相似、不合同。

C、不等价、不相似、不合同。

D、等价、不相似、合同。

标准答案：D

知识点解析：由于r(A)=3,r(B)=3,所以A与B等价。A与B均为实对称矩

阵，若特征值相同，则A与B相似，否则A与B不相似。由于

A-2-10

|AE-A|=-1A-20=(A+1)(A-3)(A-1),

00A+l

A-200

|AE-B|=0A-2-1=(A-2)[A-(l+72)][A-(]-V2)],

0-1A所以A的特征值为入A=-

1,3,1,B的特征值为强=2,1+々，1一々，因此A与B不相似。由于A与

B的正、负惯性指数是相同的，且正惯性指数均为2,负惯性指数均为1,所以A

与B合同。当两个同型矩阵满秩时，这两个矩阵必等价；相似矩阵具有相同的特

征值；两个实对称矩阵A与B合同的充要条件是二次型XTAX与xTBx的正、负惯

性指数相同。

7、设(X,Y)服从D={(x,y)Ix2+y2<a2}上的均匀分布，则()

A、X与Y不相关，也不独立。

B、X与Y相互独立。

C、X与Y相关。

D、X与Y均服从均匀分布U(-a,a)o

标准答案：A

/(%了)=卜Q?(«,y)wD,

知识点解析：因为I°，

其他，由对称性E(X)=E(Y)=O,E(XY)=

Oo于是Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,从而PXY=。，即X与Y不相关,又

yi，!?1

J/(*,r)dyJIxI<a,

o,其他

I-|x|<a,

=/ira

因为I0，其他.同理可得

f、［々万一产,；y|<a,

/r(y)=Na

0.其他，故f(x,y)Wfx(x)fY(y)，即X与Y不独立。本题主

要考查均匀分布和随机变量间的独立性及相关性。

8、设X|,X2，…，Xn独立同分布，且Xi(i=l,2,n)服从参数为人的指数分

布，则下列各式成立的是()

[A£X「n

fXX「n

《%

(A)HmP/=<#>(x)o(B)Hm/djJ=0(x)o

IG

fX%-a1[£X,-n

(C)limP|j^__^l=0(x)。

(D)limP/_2i___v=0(x)o

…l向(其中中(%)

表示标准正态分相的分布函数)

A、

B、

C>

D、

标准答案：A

知识点解析­：根据列维―林德伯格中心极限定理有

本题考查独立同分布随机变

量的中心极限定理，即列维一林德伯格中心极限定埋。

二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

则吐曲=

9、设函数f(x)二阶连续可导，且f(O)=l,f(2)=3,f(2)=5,

标准答案：2

jy-(2x)<k=%»⑵)d(2%)T：cT：w(/)

知识点解析：41IoJoJ4IloJ本题

考查换元积分法和分部积分法。

10、差分方程Yx+i—2yx=3*的通解为o

标准答案：y(x)=C2x+3x,其中C为任意常数

知识点解析：由已知方程可知对应的齐次差分方程的特征值入=2,通解为y(x)=

C2\因为入=2彳3,所以令特解y*=A.3x,代入原方程得A=l,故原方程的通解

为y(x)=C2'+3x,其中C为任意常数。本题考查差分方程的解法。入+a=0是一

阶常系数齐次差分方程yx+i+ayx=0的特征方程，其通解为y(x)=c(-a)x。一阶

常系数非齐次差分方程Yx+]+ayx=f(x)的通解为其对应一阶常系数齐次差分方程

的通解与该非齐次差分方程的一个特解之和。对于f(x)=Pn(x>bX的情况，当原一a

时，特解设为y*=Qn(xH/；当b=-a时，特解设为y*=xQn(x)-bX(其中Qn(x)是与

Pn(x)同次第的多项式)。

11、设某商品的需求函数是Q=(25/p+D—4,则需求Q关于价格P的弹性是

标准答案：25p/(p+1)(21-4p)

_P_竺

知识点解析：根据弹性函数的定义，需求Q关于价格p的弹性为一万电，即

PdQ二P[-251=___25P

2

Qdp_25_4*l(p+l)J-(/>+1)(21-4^)°

71一本题考查一元函数微分学在经济学中

的应用。

12、微分方程(X?-l)dy+(2xy—co$x)dx=0满足初始条件y(O)=l的特解为

标准答案：y=sinx—1/x2—1

dy2xcosx

---+------y=------

知识点解析：原方程可化为灰£-1/7。已知一阶线性微分方程y'+p(x)y=

q(x)的通解为户一…山⑴J…八呵因此

尸对卦卦.言d/C),

化简得y=sinx+C/x2—1。由y(0)=L得C

-1,故满足初始条件的特解为y=sinx—l/x2—l。本题考查一阶线性微分方

程的求解公式。

13、设A,B为三阶相似矩阵，且I2E+AI=0,Xi=l,九2=-1为B的两个特

征值，则行列式IA+2ABI=o

标准答案：18

知识点解析：由I2E+AI=(-1)3|-2E-AI=0,知I—2E—AI=0,故入=

一2为A的一个特征值。由于A〜B,故A,B有相同特征值，因此B的三个特征

-200

010

值为11=—2,入2=1,％3=—1,则存在可逆矩阵P，使得PEP=.O0-1.

~20oir-3oO'

010030

于是P“+2B)P=E+2PEP=E+2L。0-U=Loo-1.因此IE+2BI

=9.且IAI=人1兀2入3=2。故IA+2ARI=IA[E+2R)I=IAI.IE+2RI

=29=18。本题考查矩阵相似的性质以及矩阵行列式的计算。

14、相互独立的随机变量X]和X2均服从正态分布N(0,1/2),则D(|X「

X2I)=。

标准答案：1一2/兀

知识点解析：随机变量Xi和X2均服从正态分布N(0,1/2),记Z=Xi—X2,则

,、1白

Z〜N(0,1),因此有概率密度6oD(IX1-X2I)=D(IZI)=E(I

ZI2)-[E(IZI)]2=E(Z2)-[E(IZI)]2=D(Z)+[E(Z)]2-[E(IZI)]2,其中

D(Z)=1,E(Z)=O,

E(IZI)=f\zI^(z)dz=fIzI—z=e-^dz=--=fzefdz

J-8J-8yjiT在口。

=户广edd＜二户。

7FJ027F因此可得D（|

X1-X2I）=1+0-2/Z=1-2/7TO本题考查随机变量的数字特征：方差和数学

期望之间的运算关系。

三、解答题（本题共12题，每题1.0分，共12分。）

xr-（sinx）x

lim----------

15、求极限1+%）。

标准答案：根据等价无穷小替换公式可得

「d-（sinx）”才联-/…/田（/哈-1）

lim-z-------=hmz=lim:

2

*-0xln（1+x）1）xud

x-*Ox—*Ox3

x\n-r--v-

sinxsinx

=lim-----------=lim------

7/—

1

=不。

知识点解析：本题考查利用等价无穷小替换公式和洛必达法则求极限。

16、设z=f（，公）,其中f（u）具有二阶连续导数，f（o）=r（o）=o,且

%铲z1dz-------

hy”一+Rr,求

标准答案：已知z=f(4)，其中f(u)具有二阶连续导数，

更，，.■生学，.y

a#y/x2^a，12+p

—=/^.•————,—=r•————，

犷2代入方程

/+/(,+y2)9ay2/+,(X+/)T

d2zd2z1dzg~2

~2+2---------=z+Jx+y,c—工

dx砂区.有p-f=(，“+y)即r(u)-f(u)=u。求解该

二阶微分方程可得f(u)=CieF+C2eU-u,将f(O)=r(O)=O代入上式，可解得C]

uu

=一1/2,C2=l/2,f(u)=-1/2e-+1/2e-Uo

知识点解析：先求出z对x和y的一阶及二阶偏导数，代入已知等式，化为二阶微

分方程，结合初值问题解微分方程。

17、证明不等式3xVtanx+2sinx,xW(0,兀/2)。

标准答案：设f(x)=tanx+2sinx—3x,xG(O,n/2),则r(x)=sec2x+2cosx—3,

fXx)=2sec2xtanx—2sinx=2sinx(sec3x—1)»由于当x6(0,兀/2)时，sinx>0,

sec3x-l>0,则r'(x)>0,函数F(x)=sec2x+2cosx—3为增函数，且f(0)=0,因

此xW(O,兀/2)时，f(X)=sec2x+2cosx—3>0,进一步得出函数f(x)为增函数，

由于f(0)=0,因此f(x)=tanx+2sinx—3x>f(0)=0,xG(O,n/2),即不等式3xV

tanx+2sinx,xG(0,兀/2)成立。

知识点解析：将不等式两边函数相减构造辅助函数，根据辅助函数的单调性证明。

辅助函数求一次导如果无法确定单调性，可通过二次导结合端点值来判断一阶导的

正负。

中]dxdy

18、计算二重积分。，其中D是由直线y=l、曲线y

=x2(xX))以及y轴所围成的区域。

标准答案：积分区域D如图所示，适合先丫后x,

%e炉适合先x后y,则该积分分为两部分计算。

jx[e-(,-s2)2+e-y2]€kdy=Jr痴旧)&打+，xe^dzdy,

DDD

(ls2)2，(,>2)22

Jxe''dxdy=Jxe'-(ixJ'2dy=1\1-xJe^^xdx

=-4(1--"(』(”一)

同理,

（l>2）2v2

fx[e-+e]dxdy=y-^-o

知识点解析：考生在计算该二重积分时，先将其分成两个二重积分，根据积分特点

以及积分区域选择不同的积分次序。

f（-1）“包％

19、求累级数'几+1的收敛域与和函数。

1加惮?=1

标准答案：1・7八+1,故该级数的收敛半径为r=l，收敛区间为（一1，1），x

=±1时，该级数变为常数项级数

n»ln+1n=|九十1n・|n«l几+1显然

“2n+l

£(-1尸2yy（-1）何发散，则收敛域为（一

发散，C=l〃+1条件收敛，故号=1

1,l)o

£(->需仁£(->心£(7)2”工邛力

n+1”iRS|n+1

2(-1)2”

记Si(x)=・・i,则

S.(x)=£(-1)2力=-2?y(T)H=W/W(-1,D。

第1品1+x记S2(x)=

三冲3⑴=£邛产?，

占1"1，则急"1逐项求导可得，

a+1J之[n+1

=£(W-7」)。

故

222

XS2(X)=[----rdx=In(1+x)-x+CO

J1+x2令x=0可得C=0,故S2(x)=

In(lS)-，

x,x/0；x=0时，S2(0)=0o故

jln(ly)_[,4W(-1,1)0,

S2(x)=J必

I0,x=0o故原级数的和函数为

-1<X<1,x#0,

0,x=0o

知识点解析：如果二4-P或WET二p,则收敛半径为R=l/p0求累

级数的和函数可以通过逐项求导或逐项积分变为常见的基级数，再对和函数求积分

或求导，这两种运算的收敛半径和原级数是一样的。

aX|+x2+x3+x4=1,

%i+ax2+x3+%4=a,

2

+x2+ax3+x4=a,

20、讨论线性方程组%+必+句+W4=2Q-1的解的情况，在线性方程组有无穷多

解时，求其通解。

1111

11

(")=一

11aa1

标准答案：系数矩阵为.111,增广矩阵为11a:2a-1.

从而IAI=(a+3)(a-l)3o当/一3且arl时，方程组有唯一解;当a=1时，

r(A)=r(A,b)=l,方程组有无穷多解,对增广矩阵作初等行变换

ri111r

0o00o

"二一0o00o

1.00000.从而所对应的齐次方程组的基础解系

为&=(-1,1,0,0)T,42=(—1，o,1,0)T,43=(—1，o,0,1)T,特解为/

T

=(1,0,0,0),则方程组的通解为X=n*+kiqi+k212+k313，ki，k2,k3为任意

常数。当a=-3时，r(A)=r(A,b)=3,方程组有无穷多解，对增广矩阵作初等

-3111：1r1-311-3,

1-3115-3-31111

（“）-11-31：-911-319

.111-3J7-jL00000.

1-311「3]ri-311-3-

0-844j-801-103

―04-40八2To0-114

.0000：oJLo0000.

1-302：1Iri00-1-2-

oio-ii-ioio-i-1

9

­（）o-iiHooi-i-4

行变换Lo000:OJLo000

0.从而所对应的齐次

方程组的基础解系为&=(i,i,i,i)T,特解为n*=(-2,1,-4,0）T,则方

程组的通解为x=n*+k]k为任意常数。

知识点解析•：本题考查线性方程组解的情况以及通解的求法。方程组有唯一解的充

要条件是系数矩阵行列式不为0,方程组有无穷多解的充要条件是系数矩阵与增广

矩阵有相同的秩，且都小于未知数个数。

设A是各行元素和均为零的三阶矩阵，a,。是线性无关的三维列向量，并满足Aa

=30,Ap=3a。

21、证明矩阵A能相似于对角矩阵；

标准答案：因为A的各行元素和为零，从而入=0为A的一个特征值，并且丫=

(1,1,1/为A属于入=0的特征向量。另一方面，又因为Aa=3p,A0=3a,所

以A(a+p)=3(a+p),A(a-p)=-3(a-p),入=3和1=-3为A的两个特征值，

并且和a—。为A扇于九=3和九=—3的特征向量，可见A有三个不同的特

征值，所以A能相似于对角矩阵。

知识点解析：暂无解析

22、若a=(0,-1,1)T,p=(l,0,-1)T,求矩阵A。

标准答案：A的三个特征向量为丫=(1,1,1户，a+0=(l,-1,0)T,a-p=(-

0

3

1,—1,2)T,令P=(Y，a+0,a-p),A=L-3「，则P一1AP=A,所以A

I-21'

-211o

=PAP1=111-2.

知识点解析：暂无解析

j2,OCxC/C1,

设随机变量(X,Y)的概率密度函数f(x,y)=t。，其他，其分布函数F(x,

y)。

23求F(x,y)；

标准答案：根据分布函数的定义

0,*<0或y<0,

2