线性代数练习册答案

第一章行列式

二、三阶行列式及〃阶行列式的定义局部知识概要

内容概要：

1.二阶行列式的定义:=a\\a22一a1242r

2.三阶行列式的定义:

a\\《2《3

=

D4“

。31〃32々33

二"11%2。33+。12〃23〃31+43〃21%2-41%3〃32-42〃21〃33-^13^22^31,

1。12

〃阶行列式&=的

3.4I2=Z㈠/〃八也%

PlP]…PQ

为凡2ann

（1）〃阶行列式是〃！项的代数和；（2）每一项为哪一项取自不同行不同列的〃个元素的乘积

。加02P以（P]P2....p“是L2,，〃的一个排列）；（3）当P]〃2…是偶排列时，。【〃偿〃、…。〃〃,，带

正号，当P[〃2.・•・〃〃是奇排列时，q四生〃，…a叩带负号.

常用解题方法及考前须知：

1.求排列的逆序数：（按自然数的从小到大次序为标准次序）

1,2,的一个排列J|；2••…jn的逆序数记为r（j）j2.....J„）=町+"?2+—+”_[•其中

，4（i=l,2,・.，〃-1）是i前面匕i大的数的个数.

2.确定行列式2=%中的项及符号：

（1）2=|”“中的项/是取自不同行不同列的〃个数的乘积，因此，行下标心仁…，4

和列下标…，九都没有重复数字；（2）将气...4"中的因子交换顺序使行下标是自然顺序，

BPa：：a：i...a：：，该项符号为（-1）«也…外）.

£

hJl'riP1『Ri

二、三阶行列式及〃阶行列式的定义局部习题

i.ii算以下二阶行列式

23cos。-sin<7

(2)

2sin。cos。

a\\+1〃12+伪2

⑷

a

t/2i+^2122+222a2\

2.计算以下三阶行列式

1034《2《3

(1)-121:(2)0生2。23

23-10。32。33

ach

⑶bac

cba

3.按自然数从小到大为标准次序,求以下各排列的逆序数:

(1)3214：⑵614235.

（3）12〃3（2〃一2）5（2n-4）…（2〃-1）2

4.确定。,使6元排列2/316j为奇排列.

5.写出4阶行列式中含有q3a21的项•

6.按定义计算以下行列式:

00016/000

002000C0

（1）;（2）

0300000d

4000000

x123

0-3x12

7.求/（幻=的展开式中d和/的系数.

12x3

x122x

行列式的性质与展开局部知识概要

内容概要：

行列式的性质

1.行列式。与其转置行列式相等（即DT=D）.

2.交换行列式的两行（或列），行列式改变符号（BUD=-。或。=-D）.

3.行列式中某行（或列）的公因子可以提到行列式符号外面做因子.

z：x—（A:*0）qx，（KwO）

［即。=⑺］（或。=kDJ

4.〃阶行列式少可以按第i行（或列）拆成两个行列式R与2的和，即。-q+2.其中D的第i行

（或列）为。与的第，行（或列）的和；。，2，4的其余各行（或列）对应元素那么同的完全一样.

5.把行列式某一行（或列）的元素同乘一数后加到另一行（或列）的对应位置元素上，行列式的值不变.

4+3q+kCj

（即。=2或。=3）

行列式的展开

1.〃阶行列式。的某行（或列）元素与对应元素的代数余子式乘积之和为D.

2.行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为0.

D（i=k）

即如Al+《2&2+,.•+%4例

O（zWK）

D（j=l）

常用的解题方法及考前须知：

行列式的计算：

i.（1）利用性质将行列式化为三角形行列式（三角形行列式的值等于对角线元素之枳）.

（2）利用依行、依列展开转化为低阶行列式的计算（或给出递推公式、或利用数学归纳法）.

（3）化简与展开同时进行（先化简，再按零较多的行（或列）展开）.

行列式化简时注意

1.尽量防止分数运算；2.展开时注意代数余子式与余子式相差的的符号（-1）"）.

行列式的性质与展开局部习题

1.计算以下行列式：

200819861964i+q%心

(1)200919871965;(2)41+44

201019881966a}a21+%

32011201

-1160-1161

(3)D=；(4)D=

1110-112-

-3I0-21100

a+夕ap00

1apap0

(5)D=

01a+[3aft

001a+ft

2.证明:

1abc+d

(1)D=1bca+d

=0；

1cda+h

1dab+c

ax+byay+bzaz+bxxyz

⑵ay+bzaz+bxcue+by=(/+Z/)zX

az十bxax十byay+bzxy

3.计算〃阶行列式

abb...b

1+q2…n

bab...b

12+a-,•・•n

⑴hba...b；(2)D=)

2=n•••••••••・・•(q%0•

•・•♦・♦♦・♦♦••

12•••n+a„

bbb...a

4.利用范德猛行列式计算:

1111

1234

D=.

14916

i82764

克拉默法则局部知识概要

内容概要：

1.设〃个变量，〃个方程的线性方程组为

%油+…+即及二配

。2巧+。22々+・一+。2”乙=4，

<

.+。“2々+…+凡“怎="•

如果该线性方程组的系数行列式。二?0,那么方程组有唯一解:

IJn

2

D-DD

其中0,(j=1,2,…是。中第/列换成常数项/不久,…,”其余各列不变得到的行列式,

all…y+I…Cl\n

a2\…a2j-\"2a2j+\•••a2n

即：D.=,j=1,2,.,..，？.

♦♦♦♦♦♦♦

...。而_]b”。中+i^nn

4内+%2/+…+%E=°，

2.设齐次线性方程组为-2内++4"，=°，

an\X\+勺2巧+••+%"%-0.

(1)如果系数行列式。工0,那么该齐次线性方程组只有零解；(2)如果该齐次线性方程组有非零解,

那么它的系数行列式0=0.

常用解题方法及考前须知：

1.用克拉默法则解线性方程组；

2.利用系数行列式是否为零来判断齐次线性方程组只有零解或有非零解.

注意：

克拉默法则只适合方程个数与未知审个数相同，且系数行列式不为零的线性方程组的求解.

克拉默法则局部习题

1.用克拉默法则解线性方程组

「

Ibxax2--2ab

(1)I-2CX2+3Aq=be(abc?0)；

|cx}+ax3=0

电

X|+3X2-2+x4=1

2X|+5^2-3为+2X=3

⑵《4

-3x,+=4

4X2+8X3-2X4

63-x2-6电+©4=2

2.当4为何值时，齐次线性方程组

犯+=0

3X2+4X3

<一X]+Zr2=0

+x=0

AX23

（1）仅有零解；（2）有非零解.

第一章自测题与答案

第一章自测题

一.判断题（每题3分，共15分）

000a]4

00%()

1.()

=—%4423a32〃4】

0a3200

000

2.在四阶行列式。4=4/中，的余子式加23与代数余子式互为相反数.（）

%b

卬《2%3l341+々1412+々2。13+43

3.=1,=0.1)

%a22。23生11%人23二一1,那么〃21+瓦[《2+仇2。23+43

41byi833

“31。32。33

a\\Cl\243〃I3“23433

4.a2\a22a23=1,那么a\2。22〃32=1.()

如a32〃33a\\。31

41644164

-23622"107188

5.D=—-X()

601126011

-2-212-2-212

二.填空题（每题4分，共16分J

4x3x21

lxl-1

3.由行列式确定的多项式f（A）=中元:/的系数分别为_______

322x1

101x

123

4.231=____________

312

三.计算以下行列式（各10分，共40分）

2164(tz-l)2a2(a+l)21

-1062(Z7-l)2b2(b+l)

I.D=；2.

1011(c-1)2c2(c+1)21

-2-212(d-l)2d1(J+l)2

b

q十2。2册

a\。2+%…an

4.D=

n••••••・・・•••

a\an+4

b

四.（io分）设。=为为”阶行列式,3=卜％I〃,G=|A%L]〃为非零数）,

Jn

1.讨论民。的关系：2.讨论G,。的关系.

11-10

211-2

王.（10分）D—,求A2[+^22++424

1321

-1211

%玉十X,十多=0，

六.（7分）设齐次线性方程组为《X1+bx2+x3=0,

x,+2bx2+x3=0.

用克拉默法则解讨论。/应取何值时，方程组（1）仅有零解；（2）有非零解.

第一章自测题答案

一.1.错；2.对；3.错；4.错；5.对.

二.1.4；2.0,—2；3.8,—6：4,—18.

三.1.23：2.0；

4.各列加到第一列上，然后提取公因式

।a2…an2cl

1%+%…册%一4。

n

2=(/t+q+w+…+册)=A(A+q+色++Clfl).

1%**•+义

/?n

四.1.B=卜％=(-1)aA=(一1)〃。；2.G=\kan=ka.=k〃D.

IJn"I”IJnJn

11-I0

1111

£-+A??+A?,?+A24=]=-7.

321

-1211

a11

六.系数行列式1b1=-b(a-\).

12b1

(1)。。1/声0：(2)4=1或/?=().

第二章矩阵及其运算

矩阵的运算局部知识概要

内容概要：

1.矩阵的线性运算

(1)加法：两同型矩阵4二与8二(与L，“的和矩阵为4+B=(%・+%',“•

(2)数乘法：数攵与矩阵A=(4)加“的数量乘积矩阵乂=(女％)加“.

2.矩阵乘法运算

(1)“s矩阵C=(q)、称为矩阵A二(纵口〃与8二(4)“.$的乘积.

其中%=a他j+ai2b2j+•••+q也㈠=1,2,L,m\j=1,2,L,s).

(2)不=AALA为〃阶方阵A的攵次嘉，特别规定A°=E.

(3)f(A)=a>nA'"+a*①"」+L+6A+(%为数)为方阵A的多项式.

3.矩阵的转置

以A二(%)“,“的行为列，列为行构成的n'团矩阵二(%).的为A的转置矩阵.

A是〃阶方阵，如果47二A,称A为对称矩阵；如果A/二・A,称A为反对称矩阵.

4.方阵的行列式

以〃阶方阵A的元素构成的行列式,4称为方阵4的行列式.记为|川或detA.

常用解题方法及考前须知：

利用运算定义和运算律进行运算.

注意(i)第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时两矩阵乘积才有意义.

(ii)由于乘法没有交换律，在进行两个矩阵乘积时，矩阵因子的顺序不能变.

(造)矩阵的乘法不满足消去律.即A8=AC且/VO,不一定有8=C；胡=C4且O,

不一定有3=C.特别地，AB=Oy且AwO,不一定有8=0.

(iv)我们在做多个矩阵乘积时经常使用乘法结合律A(3C)=(AB)C.

(v)A,8分别是加仓九〃s矩阵,那么二"Al

(vi)只有方阵才定义行列式；矩阵是数表，行列式是数值，这是它们之间的本章区别.

矩阵的运算局部习题

010

?,且X+4=2z(B-X),求X.

楸1212

2.计算

(1)4=(1,2,1)，求,〃"'，4。)及(44，)”.

⑵(xy

UI0、

(3)A=02I,求

<00(

(cos。-sinpy

cos6^,

1物1-L

3.A二IB=|2-10士，求AB,B4及AB-BA.

fe0

21-

onc

上o±

4A-.8-1+XX3

^!,'

'±'>

3.o.

5.三个线性替换为

|y=%-%+匕

卜2=X+々+巧

I必二工2+3七

求从玉,马，.到卬I，卬2的线性替换.

6.如果48=84,那么称矩阵5与A可交换,求与A可交换的矩阵具有的形式.

‘60…0、

0备...0

A=:：其中当iw/时《工勺&/=1,2,,“).

、()0...%

7.如果A=g(6+0,证明：A?=A当且仅当加=召.

8.设A3都是〃阶对称矩阵，正明：仍是对称矩阵当且仅当A8=&L

9.设〃维列向量a满足a%=-»B=E+2aaT,C=E-aaT,

一7

证明：1)B是对称矩阵；2)BC=E.

—AO

10.A是3阶方阵，且|4|=一2,计算⑴|2川：(2)Md；⑶

E2A

可逆矩阵局部知识概要

内容概要：

1.设A是〃阶方阵，如果存在〃阶方阵B,使得AB=8A=E,称A为可逆矩阵，称B为A的一个逆

矩阵.

2.可逆矩阵的逆矩阵唯一.

3.设A=称由以A的第=•,〃)行元素在|A|中的代数余子式4(/=1,2,,〃)为第i

列元素构成的矩阵A*=为A的伴随矩阵.

4.设A是〃阶方阵，A*是A的伴随矩阵，那么A4*=A*A=|A|£

5.〃阶方阵A是可逆的充分必要条件为同工0.而且A—।二百4".

6.可逆矩阵具有如下运算性质：

(i)A是〃阶可逆矩阵，A的逆矩阵工也可逆，且(4一丁=4；

(ii)A是〃阶可逆矩阵，氏是非零数，那么姑可逆，且(M尸=2"，

I：iii)A8都是〃阶可逆矩阵,那么AB也可逆,且(ABV=B」A”；

(iv)A是〃阶可逆矩阵，也可逆，旦(A，)T=(AT)，；

(V)A是加阶同逆矩阵，丛。都是mx〃矩阵，且A〃=4C',那么A=C,

A是〃阶可逆矩阵，8,C都是机x〃矩阵，且区4=0,那么8=C.

常用解题方法及考前须知：：设A是〃阶方阵)

1.利用求可逆矩阵的逆矩阵：=」A*1适用于具体给定的数字矩阵求逆)

同

2.利用定义证明矩阵可逆，或求满足给定方程的矩阵A的逆矩阵：

找到〃阶方阵使得甘3=笈4=七，那么A可逆，且47=反

注意A*的第i(i=1,2,,〃)列元素是A的第/(/=1,2,,〃)行元素在网的代数余子式;

A”的第i(i=l,2「E)行元素是A的第d=1,2,,〃)列元素在网的代数余子式.

可逆矩阵局部习题

1.求以下矩阵的逆矩阵：

(I-2、(cos。-s\nOy

(1)A=；(2)A=；

k-l3y(sin。cos。

（\、2]

/U

⑶A=2⑷.（4打…4尸。）・

I3,*

f\11、」23、

2.设A二100,B=234，求矩阵X使得AX=3

J一1"J43,

p、

3.设AB满足AB4=2H4-E,其中A=-2，求氏

4.设A是〃阶方阵,且满足A2-5A+E=O,利用定义证明：A—3E可逆，并求(4—3E「.

5.设A是〃阶方阵，且A"=0(Z为正整数)，利用定义证明：£—A可逆，且

(E-Af1=E+A+A2+>-+屋-1

6.设A是3阶方阵，且|4|二一2,求⑴；⑵|Z|；(3)\A-X+2A^

分块矩阵及其运算局部知识概要

内容概要：

用假设千条横线和纵线将矩阵分成假设干小矩阵，以小矩阵为元素的矩阵表示形式称为分块矩阵.

我们将这些小块称为矩阵的子块.

1加法对两个〃〃矩阵4=(4),B=(%),进行同样分块，那么A+B为对应块相加得到的分

、J7mn,J7mn

块矩阵；

2数乘法设A二(%),是一个〃矩阵，攵是一个数，招姑为由Z数乘每个子块矩阵得到的分块

'J7mn

矩阵；

3乘法设4=(即)m3B=(%)〃”将A3分块为

隰11AlAp-r髀[B[2...”士

11C12…Gg=

sr—臀

$21区2…/王iC2ic”...c±

2,2t2，2-2g主其中4为

A=J」一"EB二：-2夕土，那么A5=

+B•••・・・・・•・•・+——3K•••■■•・・・・・・-r™K■••・・・・・・•••——

K士+-rK士

祝1C$2,**Cg+

ki1…A/版Bp2…B齐

叫‘外矩阵，均为〃J矩陇，4%++L+AR”

4转置设4二(%)是一个用’〃矩阵，将4分块为

'Jn

T

隰ii4…Az±机CA$1工•

*42…4点，那么A7=r4理

凡「A…八,、彳

A=X222

r■•■■・・・・・・•・・———■■••••••—

S-T口……

Md42…41版」

AJ...小A

常用解题方法及考前须知：

1.利用分块矩阵表示矩阵或进行矩阵运算只是为了表达简便.分块矩阵的运算与普通数字元素的运算法

那么和运算律是类似的：

2.第一个矩阵列的分块方式与第二个矩阵行的分块方式必须相同，即A次列数必须等于6勺的行数，这时

两分块矩阵的乘积才有意义；

3.由于矩阵乘法没有交换律，作分块矩阵乘法时，一定要注意子块的前后顺序不能换.即上面的43行绝

对不能写成々，/次.

4.分块矩阵的转置不仅要将子块为元素构成的矩阵看成普通矩阵进行转置，还要将每块转置.

分块矩阵及其运算局部习题

Q000、000、

,0100200r

1.将A二，B=进行适当分块，并计算氏

0010041

J10b-120,

A,4=（4，仄），都是〃阶方阵，其中A|为次X〃（阳V〃）矩阵，。为（〃一〃）2X〃零矩阵，4

2.A=[o)

为〃矩阵，与为〃矩阵，求A，,AB及BA.

3.设〃阶矩阵A和s阶矩阵8都可逆，求

(A0}OA

(1)⑵

(80)

4.利用分块矩阵求以下矩阵的逆矩阵

r1000、‘0025、

21000013

⑴A=,求A"：(2)A=,求Al

00231100

<0012；J-100；

第二章自测题与答案

第二章自测题

一判断题〔每题3分，共15分)

1.A是〃阶方阵，如果42=4,且A1E,那么A=0；()

2.A是〃阶方阵，那么(A+B)(A・B)=A2-()

1

3.是〃阶方阵，且A可逆，AX=X-6B,那么X=-63(A-E);()

4.A,B都是〃阶方阵，那么|4+回=|4|+同；()

5.C都是〃阶方阵，满足=A。，且A可逆，那么3=0.()

二填空题(每题4分，共20分)

，-1、

1.a=(1,1,2),P=2，那么2夕=_____邛a=________」(ba)2009=:

-I

(236}(324、,、、

2.A=,B=\，且3(X-A)=-218+X),

"135J[}-35)

那么X=.

费±

3.A=：-2±,f(x)=2x2-x+I,那么f(A)=

h。2

(\100、

2100_1

4.设A=，那么A1=

0021

、0053，

2AO

5.A是3阶方阵，3是2阶方阵，且网=-2,|叫=1,那么24*=

—38

三.矩阵计算(10分):

(\()1、(\-10、

设4=011,B=012，求(1)AB,(2)朋；⑶4卢.

1J102

3,

k。丫

四.（10分）A,8都是3阶方阵，且|川=一9,AB+3E=O,求忸|及卜O2约

王.如果A8=84,那么称矩阵8与A可交换，求与矩阵A可交换的矩阵具有的形式.（10分）

’1000、

0200

A=；

0010

、0011,

六.求矩阵A的伴随矩阵4"和逆矩阵A-110分）.

’011、

A=101

J1，

00

3

1

求X

o-o

七.18分）设ATXA=64+X4,其中A=4

1-

OO

-I

7I

7

八.（7分）设A是〃阶方阵，且满足A2—A+E=O利用定义证明：A+2E可逆，并求（A+2E）T.

a\\%2%

，且八丁4二。，证明A=O

九.U0分J设实矩阵A=a2\a22。23

/31。32。33,

*忒将结论推广到A是〃阶方阵的情况.

第二章自测题答案

1.错；2.错；3.错;4.错;5.对.

2

7--±

-28±

J2a-41

r2no±

2*

_・

--・

-1

z1x幅

\11z)

工-

/(-2)

楸

0()、

002A0

4.5.=|2A||-3B|=23Ml(_3了冏=-144

003-10-3B

00一52,

2/：|=121AlA-1卜卜4A-i|=(-4)3|A-,|=(-4)3x—=32.

2

“123、

三.A3=035；ZM=23ArZ?r={BA)r=-135

J一25,0T-b

四.由AB=-3E,W|AB|=|A|B|=|-3E|,即得|回=3.

AOAO=(|X||2B|)|

O2BO2B

俏000

1

0bi00

王.B=.六.A1

000--

I11

、00c\)

3

-,-1

七.A^-EJX=6E,X=6(A-E)2

(A+2E)(A-3E)=-7EA+2石可逆，(A+2E1=-1(A-3E).

A.f

九.A『A=O,所以的任意位置元素为零，利用47A对角线上元素为零，即得4=0.

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

初等变换与初等矩阵局部知识概要

内容概要:

初等变换

1.对调两行［或列）；2.以数女（kwO）乘矩阵某一行（或列）的所有元素；

3.把矩阵的某行（或列）所有元素乘一个数加到另一行（或列）对应位置的元素上.

矩阵的等价标准形

1.称具有如下特点mxn矩阵A为行阶梯形矩阵：

（i）A的前行，每行元素均不全为0，后"2-r行元素都为零；

（竹）第依1«攵4一）行的第一个非零元素为。物，且满足/＜上＜＜jr.

如果行阶梯形矩阵还满足：5i）第欠（1＜k＜一）行的第一个非零元素。初=1,且%（Z=1,2,,，，）

所在的儿列的其它元素都为0,就称4为行最简形矩阵.

2.任何矩阵都可以经过初等行变换化为行阶梯形矩阵，进而可以化为行最简形矩阵.

（EO、

3.任何一个〃2x〃矩阵A都可以通过初等变换化为'x〃R型矩阵.

、（m-r）xr（m-r）x（n-r）,

初等矩阵

1.由单位矩阵£经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.

2.设A一个mx〃矩阵，4左乘一个〃?阶初等矩阵相当于对A作一次相应的初等行变换，4右乘一个〃

阶初等矩阵相当于对A作一次相应的初等列变换.

3.A与8等价当且仅当存在可逆矩阵〃与可逆矩阵。，使得A=P6Q.

4.〃阶方阵4可逆当且仅当A可以写成一些初等矩阵的乘积.

5.〃阶方阵A可逆当且仅当A可以只用初等行变换化为单位矩阵.

常用解题方法及考前须知：

1.用初等行变换求可逆矩阵A的逆矩阵的求法：（AE）初卷行变换乂EA-'）.

2.用初等行变换求矩阵方程AX=g（A可逆）的求法：（48）也也警-＞（£1八一⑹

那么X=A-3即可求得.

初等变换与初等矩阵局部习题

1.先用初等行变换化以下矩阵为行最简形，再用初等列变换将其化为等价标准形

J131

r1302

1325

(1)4=(2)A=-112-1

2267

、31-44

12456

-1-I12、

11-214

(4)A二

4-62-24

、36-979；

f\10、910](\、(120、

2.A=011P1=100,6二i,A=oio

<001J、2jI。0b

009

求：⑴尸A6；(2)P2AP^\

3.用初等行变换求以下矩阵的逆矩阵.

nrrr‘-1014、

舞.10,

7士01-11

(1)A=|011±；(2)A=

L±0111

W13+

、0013；

，010、n叫

4.设4=-111，B=20,且AX+3=X,求X

(T0一工

矩阵的秩局部知识概要

内容概要：

1.设A是一个"zx〃矩阵，如果A中存在，阶子式不为零，而所有〃+1阶子式(如果有的话)全为零,

我们称，•为矩阵A的秩，记为R(4)或秩(A).

2.矩阵的秩具有如下性质:

(i)A(A)=()当且仅当A=O；

(ii)R(A)=R(Ar)；

i：iii)R(M)=R(A),其中我为非零数；

(iv)〃阶方阵A的秩R(A)=n的充分必要条件|A]#0；

(v)〃阶方阵A可逆的充分必要条件为R(A)=〃.

3.行阶梯形矩阵A的非零行的行数等于A的秩.

4.初等变换不改变矩阵的秩.

5.矩阵尸，Q可逆，那么R(PAQ)=R(A).

(E

6.设A是秩为厂的〃zx〃矩阵，那么存在〃2阶可逆矩阵尸和〃阶可逆矩阵。，使得PAQ=[j0.

常用解题方法与考前须知：

1.求矩阵A的秩：利用矩阵的初等变换将矩阵A化为阶梯形矩阵，阶梯数即为矩阵4的秩.

2.如果A是〃阶方阵，|A|wO时R(A)=〃.

求元素含有参数的方阵4