离散型随机变量的分布列综合试题带答案

离散型随机变量的分布列综合题

1.某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装

有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或

“海宝”(世博会吉祥物)图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取

卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不

获奖。卡片用后入回盒子，下一位参加者继续重复进行。

(I)活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持

人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是，求

抽奖者获奖的概率；

(H)现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的

分布列与的值。

解：(I)设“世博会会徽”卡有n张，

由得5,

故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为........5分

()“8(4」)的分布列为尸一=k)=C")噌严(女=0,123,4)

666

01234

-)3C泊2(.7)2C：4)3(

P

6)o)6/(例

=4x1=-.D^=4x(1-1)=-.........12分

6369

2.某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D两

个动作。比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运

动员的成绩。

假设每个运动员完成每个系列中的K和D两个动作的得分是相互独立的。

根据赛前训练的统计数据,某运动员完成甲系列和乙系列中的K和D两个

动作的情况如下表:

品K动D动K动D动

1:作作作作作

甲0

系分000

列9191

ToIo10To

率

表

现该运动员最后一个出场，之前其他运动员

2:

的最高得分为115分。

乙

若该运动员希望获得该项目的第一名，应选

系

择哪个系列？说明理由。

列

并求其获得第一名的概率。

公

（2）若该运动员选择乙系列，求其成绩

作

的分布列与数学期望

11

解.（1）应选择甲系列，因为甲系列最高可得

分00000

到140分，而乙系列最高只可得到110分，不

3\_3\_

64444

可能得第一名。

率

该运动员获得第一名的概率

33I33

p=­x----1-----

44444

（2）g的可能取值有50,70,90,110。

_9_.

n(^=ll())=—X—：=—;p(^=90)=—x—=

1()1()1001()1()

1

p(^=7O)=—x—=—；p«=5O)=—x—=

10101001010loo'

g

110907050

81991

pTooTooTooToo

3.在本次考试中共有12道选择题，每道选播题有4个选项，其中只有一

个是正确的。评分标准规定：’每题只选一项，答对得5分，不答或答错

得0分」某考生每道题都给出一个答案。某考生已确定有9道题的答案

是正确的，而其余题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可

以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该

考生：

(I)选择题得60分的概率；

(II)选择题所得分数J的数学期望

解：(1)得分为60分，12道题必须全做对.在其余的3道题中，有1道

题答对的概率为，有1道题答对的概率为，还有1道答对的概率为

所以得分为60分的概率为：，。。。。。。5分

(2)依题意，该考生得分的范围为｛45,50,55,60).，。。。。。。6分

得分为45分表示只做对了9道题，其余各题都做错，

所以概率为，。。。。。。7分

得分为50分的概率为：，。。。。。。8分

同理求得得分为55分的概率为：，分

得分为60分的概率为：，。。。。。。10分

所以得分4的分布列为

445505560

1161

P4242424

数学期望埼=45x1•+50xU+55x£+60x-!-二朝。。。。。。12分

424242412

4.某设区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规

则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会

会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片

两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖。

（I）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人

笑说：我只知道若从盒总抽两张都不是“海宝”卡的概率是，求抽奖

者获奖的概率；

（II）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用

表示获奖的人数，求的分布列与。

解：（I）设“世博会会徽”卡有张，由二，得..........

（2分）

故“海宝”卡有4张，....................（3分）

2、104

D^=4x—x(l一)=...........................(12

15225

分）

5.某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50

件作品分别

从“创新性”和实用性

“实用性”两项1分2分3分4分5分

进行评分，每项

评分均按等级采

用5分制，若设

“创新性”得分

为，“实用性”

得分为，统计

结果如下表：

作品X量

X

1分13101

创

2分10751

新

3分21093

ba

性4分160

5分00113

(I)求”创新性为4分且实用性为3分”的概率；

(II)若“实用性”得分的数学期望为，求、的值.

解：(I)从表中可以看出，“创新性为分且实用性为分”的作

品数量为件，

・,・“创新性为分且实用性为分”的概率为・........4分

(H)由表可知“实用性”得分有分、分、分、分、

分五个等级，

且每个等级分别有件，件，件，件，件........5

分

•••12345

“实

用

性，，

得分

的

分布

列

为：

y

p58+415154+8

5050505050

又・・•“实用性”得分的数学期望为，

・•......................10分

•・•作品数量共有件，・•・

解得，.................13分

6.一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为.

（I）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个

球编号之和为6的概率；

（II）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取3次，求恰有

次抽到号球的概率；

（III）若一次从袋中随机抽取个球，记球的最大编号为，求随机

变量的分布列.

解：（I）设先后两次从袋中取出球的编号为，则两次取球的编号

的一切可能结果有

种，............

2分

其中和为的结果有，共种，

则所求概率为...................................4分

（II）每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率〃=

。63

.........................6

分

所以，次抽取中，恰有次抽到6号球的概率为

0.......8分

（HI）随机变量所有可能的取值为.......................9分

尸（X=3）=§=-!-,

*20

尸（X=4）噌吟，

P（X=5）=^=—=—

C-2010

0.12分

所

以，

随

机

变

量

3456

的

分

布

列

为：

X

133

P

2020102

13

分

7.甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2.红桃3.红桃4.方块4）玩

游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽,

抽出的牌不放回，各抽•张。

(1)设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的

所有情况

(2)若甲抽到红桃3,则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？

(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙

胜。你认为此游戏是否公平？请说明你的理由.

解：(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况为(2,3),(2,4),(2,),

(3,2),(3,4),(3,),(4,2),(4,3),(4,),(,

2),(,3),(,4),共12种不同情况

.....4分

(2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,.因此乙抽到的牌的数字大于

3的概率为.……8分

(3)由甲抽到的牌比乙大有(3,2),(4,2),(4,3),(,2),

(,3),共5种曰获胜的概率乙获胜的概率为

—5<—7

1212

二.此游戏不公平……..13分

第一空得分第二空得分

得分03得分02

人数198802人数698302

(I)求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题的

平均分.

(H)这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得

分情况的频率(精确到0.1)作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题得

分的数学期望.

解：(I)设样本试卷中该题的平均分为，则由表中数据可得：

,.3分

据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分.…….4分

(II)依题意，第一空答对的概率为0.8,第二空答对的概率为

0.3,......6分

尸(3=0)=(1-0.8)(!-0.3)=0.14

P(^=2)=(1-0.8)03=0.06

尸C=3)=0.8(1—0.3)=0.56

%=5)=0.80.3)=0.24

则该同学这0235

道题得分

的分布列如

下：5u

&

P0.140.060.560.24

所以JOX0.14+2X0.06+3X0.56+5X0.24=3……12分

9.某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检

测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等

品，4件是二等品.

(I)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率;

(H)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列;

(III)随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.

解：(I)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为

1分

事件A等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检

测”2分

P（A）J+3X2普

1010315

,•,4分

(II.由题可知可能取值为0,1,2,3..

。3co1C2C]3

P（x=（））=h4kL=_L,p（x=i）=i^=±,

a3o品io

0,0............................

8分0123

X

13£

p

30io269分

(in)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为

B10分

事件8等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”

所以,13分

10.某商场进行促销活动，到商场购物消费满100元就可转动转盘(笠盘

为十二等分的圆盘)一次进行抽奖，满200元转两次，以此类推(奖金累

加);转盘的指针落在A区域中一等奖，奖10元，落在B.C区域中二等奖,

奖5元，落在其它区域则不中奖.一位顾客一次购物消费268元,

(I)求该顾客中一等奖的概率；

(II)记为该顾客所得的奖金数，求其分布列；

(III)求数学期望(精确到0.01).

解(I)设事件A表示该顾客中一等奖P(A)=-x

12

所以该顾客中一等奖的概率是

23

4分

144

(II)的可能取值为20,15,10,5,

05分

2219II

P(/=1O)=—X—+2x—X—=—

1212121272

0,0(每个1分).........10分

所以4的分布列为

自20151050

11112_9

P

1443672416

10

分

(III)数学期望

E^=20x—+15x-!-+10x—+5x1«3.33...........................14分

'14436724

11.甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约,

甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约,

否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都

是，且面试是否合格互不影响.

(I)求至少有1人面试合格的概率；

(II)求签约人数的分布列和数学期望.

解：(I)用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意

知A,B,C相互独立，

且产(力)=；,尸伊)=?(0=；.

至少有1人面试合格的概率是

.......................(II)的可能取值为0,1,2,3.

P也=0)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)尸(C)+P(A)P(B)P(C)

1121211224

——X-X—+-X-X—+-X-X-=—.

2332332339

产(&二1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

二尸⑷嗝尸(C)+尸⑺尸⑻尸©+尸(力)F(团尸©)

_1211121224

——X-X-40-X-X-4"-X-X-.

2332332339

--1111

%=2)=P(ABC)=尸⑷尸(8)P(C)=ixlxl=±

Pg3)=P(ABC)=P⑼尸⑶尸⑹=1xlxl=l

Z33lo

・・・自的分布列是

0123

4411

991318

自的期望欧=0x[+l*2*+3x,=13

18

12.甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分,

比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止.设甲在每局中获

胜的概率为，且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停

止的概率为.

(I)求〃的值；

(H)设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数

学期望.

解：(I)当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时

比赛停止，

故/+(]-〃)2=1,

解得或.

又，所以...............6分

(II)依题意知的所有可能取值为2,4,6.

尸(-2)4

।5、520

1—)x-=—f

9981

52()_16

P(J=6)=1------=--«

98181

所以随机

变量的

246

分布列为：

g

52016

p

98?81

所以的数学期望.............13分

13.甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒

乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体

育交流活动.

（I）求选出的4名选手均为男选手的概率.

（II）记为选出的4名选手中女选手的人数，求的分布列和期望.

解：（I）事件表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知

........3分

0.................5分

（II）的可能取值为...............................6分

团，7分

国…9分

囹，.......................10分

团团............11分

团的分

布列：0123

X

1793

P

20202020

分

0.…….........................13分

14.为振兴旅游业，某省2009年面向国内发行了总量为2000万张的优惠

卡，其中向省外人士发行的是金卡，向省内人士发行的是银卡。某旅游公

司组织了一个有36名游客的旅游团到该省旅游，其中是省外游客，其

余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。

(1)在该团中随机采访3名游客，求至少有1人持金卡且恰有1人

持银卡的概率；

(2)在该团的省外游客中随机采访3名游客，设其中持金卡人数为随机

变量X,求X的分布列与数学期望。

.解：(1)由题意知，省外游客有27人，其中9人持有金卡，省内游客

有9人，其中6人持有银卡。

记事件B为“采访该团3人中，至少有1人持金卡且恰有1

人持银卡，”

记事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡，”

记事件为“采访该团3人中，2人持金卡，1人持银卡，”

则P(B)=P(A,)+P(A2)=隼4-警.=喘

。36C36238

所以在该团中随机采访3名游客，至少有1人持金卡且恰有1人持

银卡的概率为。

6分

(2)X的可能取值为0,1,2,3

因为

所以X的分布列为

X0123

2721537228

P

975325325975

…10分

故

碇=0x生+lx空+2x卫+3xm=113分

975325325975

15.张先生家住II小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有LI,L2两条路

线(如图)，L1路线上有Al,A2,A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上

有Bl,B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.

(I)若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率;

(II)若走L2路线，求遇到红灯次数的数学期望;

(III)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从

上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.

解：(I)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则

0.4分

所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为.

(II)依题意，的可能取值为0,1,

2.5分

团,

33339

P(X=1)=_(1——)+(1——)x-=—,

4X54520

0.……8分

随机变量的012

分布列为：

X

199

P

To2020

0........10分

（山）设选择LI路线遇到红灯次数为,随机变量服从二项分布,

所以.……12分

因为，所以选择L2路线上班最好.……14分

16.在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除

颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色,

则中奖。

（I）求仅一次摸球中奖的概率；

（II）求连续2次摸球，恰有一次不中奖的概率；

（III）记连续3次摸球中奖的次数为，求的分布列。

解：（I）设仅一次摸球中奖的概率为P1,则P1................

3分

（H）设连续2次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中奖的概率为

P2,则

P2=C"f）正黑.....................................7分

O1

（III）的取值可以是0,1,2,3

%=0）=（1一4）3二急,

300100

尸e=i)c；(i-e)2”

729243

2408()

PC=2)=C；(1-用尸二

729243

64

P4=3)A，

729

所以4的分布列如下表

0123

1251008064

p

729243243729

••,13分

17.在一次考试中共有8道选择题，每道选拦题都有4个选项，其中有且

只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两

道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱

猜.

(I)求该考生8道题全答对的概率；

(U)若评分标准规定：”每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得

0分”，求该考生所得分数的分布列.

解:(/)说明另四道题也全答对,相互独立事件同时发生,即:5

分

(11)答对题的个数为4,5,6,7,8,其概率分别为:

39

4~64

=6)=—P(^=7)=—P(^=8)=—x—x—x—=—

v64v7647224464

n=5q2025303540

9242281

分布列为：P

6464646464

.....13分

18.为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、

乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者君可以从三家公园中随机选择

一家，且每人的选择相互独立.

(I)求4人恰好选择了同一家公园的概率；

(H)设选择甲公园的志愿者的人数为，试求的分布列与期望.

解：(I)设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A.

.....1分

每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有种等可能的情况

.……2分

事件A所包含的等可能事件的个数为3,

......3分

所以，.......................

即：4人恰好选提了同一家公园的概率为....……5分

(II)设“一名志愿者选择中公园”为事件C,则・

........6分

4人中选择甲公园的人数可看作4次独立重复试验中事件C发生的次

数，因此，随机变量服从二项分布.

国可取的值为0,1,2,3,4.8分

0,0.010分

X的分布列为:

X01234

16322481

P

818?8?iT81

.…12分

团的期望为以13分

19.某学校高一年级开设了五门选修课.为了培养学生的兴趣爱好,

要求每个学生必须参加且只能选修一门课程.假设某班甲、乙、丙三名学

生对这五门课