高中数学 加练 专题7　第66练　截面、交线问题

第66练截面、交线问题(分值：41分)立体几何中的截面、交线问题关键在于作出截面和交线，作截面和交线一般常用以下几种方法：1.作截面的方法(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，连接交线即为截面.(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线.2.找交线的方法(1)线面交点法：各棱与截平面的交点.(2)面面交线法：各面与截平面的交线.一、单项选择题(每小题5分，共25分)1.已知球O的半径为5，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面α被球O所截的截面面积的最小值是()A.9π B.12π C.16π D.20π答案C解析由点A到球心O的距离为3，得球心O到过点A的平面α距离的最大值为3，因此过点A的平面α被球O所截的截面圆半径的最小值为52-32=4，所以过点A的平面α被球O所截的截面面积的最小值是2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB=2，AD=AA1=4，E，F分别为BB1，A1D1的中点，过点A，E，F作长方体ABCD-A1B1C1D1的一个截面，则该截面的周长为()A.62 B.65C.25+42 D.45+22答案D解析如图，连接AF，过点E作EP∥AF交B1C1于点P，连接FP，AE，即可得到截面AFPE，因为E为BB1的中点，EP∥AF，所以B1P=12A1F=1因为AB=2，AD=AA1=4，则AF=42+22=25，所以EP=1AE=22+22=22，FP=所以截面AFPE的周长为25+5+22+5=45+22.3.已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都等于3，点G是△PAC的重心，过点G作平面α，若平面α∥平面PCD，则平面α截正四棱锥P-ABCD的截面面积为()A.534 B.5158答案C解析如图，连接PG并延长交AC于点O，过G作GH∥PC交AC于点H，并延长HG交PA于点M，过H作EF∥CD，交BC于点E，交AD于点F，过E作EN∥PC，交PB于点N，连接MN，FM，则四边形EFMN为所求截面，∵点G是△PAC的重心，∴OGPG=12，∴OHHC=OG∴HCAC=13=PMPA=PN则MN=1，EF=3，FM=EN=2，∴四边形EFMN为等腰梯形，故面积为S=(1+3)×324.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，设过P，Q，R的截面与平面ADD1A1以及平面ABB1A1的交线分别为l，m，则l，m所成的角为()A.90° B.30° C.45° D.60°答案D解析因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，取C1D1，DD1，BB1的中点分别为G，F，E，连接FG，FQ，QP，PE，ER，RG，根据正方体的特征，易知，若连接PG，EF，RQ，则这三条线必相交于正方体的中心，又GR∥EF∥QP，所以P，Q，F，G，R，E六点必共面，即六边形PQFGRE为过P，Q，R的截面；所以EP即为直线m，FQ即为直线l；连接AB1，AD1，B1D1，因为EP∥AB1，FQ∥AD1，所以∠B1AD1即为直线EP与FQ所成的角，又因为正方体的各面对角线相等，所以△AB1D1为等边三角形，因此∠B1AD1=60°，即l，m所成的角为60°.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是C1D1，AD，CC1的中点，过E，F，G三点的截面把正方体分成两部分，则较大部分的体积与正方体的体积的比值为()A.1316 B.5972 C.119答案C解析如图所示，延长EG，DC相交于点H，连接FH，交BC于点J，同理，作出FK，则截面为五边形EKFJG，不妨设正方体的棱长为1，易知△EGC1≌△HGC，所以GC=CH=12又△HCJ∽△HDF，所以JCFD=CHDH=则JC=16同理可得D1E=D1I=12，KD1=1可知截得较小部分的体积V=V三棱锥I-DFH-2V三棱锥I-KD1E=13×12×32×12×32-2×13则较大部分的体积为1-25144=119144，所以较大部分的体积与正方体的体积的比值为二、多项选择题(共6分)6.用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是()A.锐角三角形 B.直角梯形C.正五边形 D.正六边形答案BC解析对于A，截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形.如图所示的截面为△ABC.设DA=a，DB=b，DC=c，所以AC2=a2+c2，AB2=a2+b2，BC2=b2+c2.所以由余弦定理得，cos∠CAB=A=2a2所以∠CAB为锐角.同理可求，∠ACB为锐角，∠CBA为锐角.所以△ABC为锐角三角形，故A不符合题意；对于B，如图，截面图形如果是四边形，可能是正方形、矩形、菱形、一般梯形、等腰梯形，不可能是直角梯形，故B符合题意；对于C，如图，当截面为五边形时，不可能出现正五边形，故C符合题意；对于D，当截面过棱的中点时，如图，即截面为正六边形，故D不符合题意.三、填空题(每小题5分，共10分)7.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=5，AA1=3，M为棱BB1上的一动点，则过A，M，C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为.答案32+14解析由题意可知过A，M，C1三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即△AMC1的周长，因为直三棱柱ABC-A1B1C1的各侧面均为矩形，所以AC1=AC2+直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面部分展开图如图所示，则在展开的矩形ACC1A1中，AM+MC1≥AC1=AC2+所以过A，M，C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为32+14.8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在棱DD1上，过点C作平面BMC1的平行平面α，记平面α与平面BCC1B1的交线为l，则A1C与l所成角的大小为.答案π解析因为平面BMC1∥平面α，平面BMC1∩平面BCC1B1=BC1，平面α∩平面BCC1B1=l，则BC1∥l，因为A1