大学物理基础教程第3章

大学物理A2026年春季学期第三章

刚体力学基础目

录CONTENTS3.1刚体定轴转动3.2力矩、转动定律3.3力矩的功、刚体定轴转动的动能定理3.4刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律学

习

目

标1.知识目标：学生能够准确阐述刚体的基本概念、转动惯量的定义及计算方法、转动定律的内容，理解其物理意义和适用条件。2.能力目标：学会运用转动定律分析刚体的转动问题，能够结合生活和工程实际，运用所学知识解决相关物理问题，培养学生的逻辑思维和科学探究能力。3.素质目标：通过介绍物理学家对刚体转动研究的历史，培养学生追求真理、勇于探索的科学精神；在工程实例分析中，增强学生的工程伦理意识和社会责任感。思考：如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若受力和力矩一样，谁转动得快些呢？§3.1刚体

刚体定轴转动的描述一、刚体刚体：在任何情况下形状和大小都保持不变的物体。形变微小，可忽略不计（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）在研究刚体的运动规律时，可以将刚体看成是由许多质点组成的，每一个质点叫作刚体的一个质元.刚体内各质元之间的相对位置总是保持不变．力的传播二、刚体的基本运动1.刚体的平动在运动过程中，若刚体中所有质元的运动轨迹均相同，或者在刚体任意两个质元间取一参考线，刚体中的参考线总是保持平行，这样的运动称为刚体的平动。特点：任意一段时间内，各质元的运动轨迹和位移相同；

在任意时刻，各质元位移、速度、加速度均相同。刚体质心的运动代表了刚体平动时各个质元的运动。二、刚体的基本运动2.刚体的转动刚体上各个质元都绕同一直线作（不同半径）圆周运动，这样的运动称作刚体的转动。这条直线称为转轴（这根轴可在刚体之内，也可在刚体之外）。二、刚体的基本运动在刚体转动过程中，若转轴的方向或位置随时间变化，这样的运动称为刚体的非定轴转动。若转轴固定不动，即既不改变方向又不发生平移，这样的转动称为刚体的定轴转动。该转轴称为固定轴。该转轴称为转动瞬轴。二、刚体的基本运动刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+三、刚体定轴转动的描述1.角位移、角速度和角加速度在刚体上任取一个转动平面，以该转动平面与转轴的交点为原点，在该平面内作一射线作为参考方向。转动平面上任一质元对原点的位矢与极轴的夹角称为角位置

。刚体在一段时间内转过的角度（末时刻与初始时刻的角位置之差）

称为角位移。转动平面z极轴刚体定轴转动时，随时间改变，即三、刚体定轴转动的描述角速度的单位：弧度每秒（rad•s-1）。

在时刻

到

时间内的角位移

与

之比称为刚体的平均角速度，用

表示：

当

时，平均角速度的极限称为瞬时角速度，简称角速度，用

表示：

规定正方向：角速度矢量的正方向是沿转轴的，且和刚体的旋转方向具有右手螺旋关系。三、刚体定轴转动的描述

角加速度的单位：弧度每二次方秒（rad•s-2）。

当

时，平均角加速度的极限称为瞬时角加速度，简称角加速度，用

表示：

在

时间内，角速度的改变量

与

之比称为该段时间内刚体的平均角加速度，用

表示：三、刚体定轴转动的描述定轴转动直线运动刚体的定轴转动与质点的直线运动相似，只要在描写质点直线运动各物理量（位移､速度､加速度）前加一个“角”字，就成了描述刚体定轴转动的各相应物理量（角位移､角速度､角加速度），两者的运动学关系亦完全相似：三、刚体定轴转动的描述2.角量与线量的关系切向加速度和法向加速度分别为

刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速度)相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加速度)大小与质元到转轴的距离成正比．

当刚体绕固定轴转动时，若刚体上某质元

到转轴的距离为.则该质元的线速度为例题例题§3.2力矩、转动定律一、刚体定轴转动的转动定律方向平行于轴的力，在定轴问题中，不影响物体绕轴转动状态。方向垂直于轴的力，在平行于轴的方向上产生一个力矩，此力矩改变物体绕轴转动状态，称为力对轴的矩。一、刚体定轴转动的转动定律设作用在质量元上的外力与内力之和的切向分量为

，其切向加速度为，由牛顿第二定律有

，刚体上各质量元对Oz轴所受的合力矩为对Oz轴的力矩的大小为已知每对内力对同一轴的力矩之和必为零，上式中M

仅为合外力矩。由于沿法线方向的向心力的作用线穿过转轴，所以此方向力矩为零。转动惯量一、刚体定轴转动的转动定律证明：刚体内各质点间的作用力和反作用力的力矩相互抵消结论：每对内力对同一轴的力矩之和必定为零一、刚体定轴转动的转动定律

刚体定轴转动的转动定律：刚体绕固定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。或者，绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。（2）此转动定律只适用于惯性系。（1）和

均对于同一转轴而言；注意：拓展LeonhardEuler1707～17831.引进了诸多数学符号，让数论等数学分支的表达更加简洁和准确，为数学理论的传播和发展提供了便利。2.将数学分析方法用于力学，是刚体动力学和流体力学的奠基者，在力学各个领域中都有突出贡献。

刚体定点转动时角速度变化和外力矩的关系等成果均载于他的专著《刚体运动理论》（1765）一书中。

中国剩余定理最早源于《孙子算经》中的“物不知数”问题。宋朝数学家秦九韶的“大衍求一术”，是中国剩余定理的深度拓展，让同余理论更具系统性和一般性，极大推动了中国古代数学在数论方向的发展。二、转动惯量物理意义：刚体转动时惯性大小的量度。一定时思考：如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若受力和力矩一样，谁转动得快些呢？定义式：单位：kg·m2二、转动惯量刚体的转动惯量：组成刚体的各质元的质量与其到转轴的距离的平方的乘积之和。质量连续分布的刚体单个质点质点系

二、转动惯量质量连续分布的刚体式中为刚体质元到转轴的垂直距离线分布面分布体分布线密度面密度体密度例题（1）转轴通过棒的中心并与棒垂直；（2）转轴通过棒一端并与棒垂直。【例3-2】求质量为

，长为

的均匀细棒的转动惯量：二、转动惯量解（1）转轴通过棒的中心并与棒垂直。整个棒对中心轴的转动惯量为在棒上任取一质元，其长度为，距轴

的距离为，设棒的线密度（即单位长度上的质量）为，则该质元的质量

。该质元对中心轴的转动惯量为二、转动惯量（2）转轴通过棒一端并与棒垂直时在棒上任取一质元，其长度为，距轴

的距离为，设棒的线密度（即单位长度上的质量）为，则该质元的质量

。该质元对中心轴的转动惯量为由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同。整个棒对该轴的转动惯量为二、转动惯量转动惯量的平行轴定理二、转动惯量解(1)在环上任取一质元，其质量为dm，距离为R，则该质元对转轴的转动惯量为

考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为二、转动惯量二、转动惯量刚体转动惯量的相关因素刚体的总质量刚体质量对轴的分布质量分布离轴越远，转动惯量越大轴的位置质量分布均匀的物体，其对中心轴的转动惯量最小二、转动惯量刚体的转动惯量转轴转轴转轴转轴圆环转轴通过中心与环面垂直薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直圆环转轴沿直径圆桶转轴沿几何轴二、转动惯量转轴转轴刚体的转动惯量圆柱体转轴沿几何轴细棒转轴通过中心与棒垂直圆柱体转轴通过中心与几何轴垂直细棒转轴通过端点与棒垂直球体转轴沿直径球壳转轴沿直径三、转动定律的应用解题思路（1）选物体（2）看运动（3）查受力（注意：画隔离体受力图）（4）列方程（注意：建立坐标）根据角加速度的定义

工程案例——盾构机

盾构机的刀盘驱动系统可以视为一个刚体，刀盘的转动惯量和所受的力矩决定了其角加速度。

通过控制电机的输出力矩，可以实现对刀盘转动速度和方向的精确控制。

此外，为了提高切削效率，工程师会根据不同的地质条件，优化刀盘的结构和质量分布，改变其转动惯量，从而调整刀盘的转动性能，以适应各种复杂的施工环境。例题【例3-6】转动着的飞轮的转动惯量为

，在=0时角速度为，此后飞轮经历制动过程，阻力矩

的大小与角速度

的平方成正比，比例系数为

（

为大于零的常数），当时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？解（1）由题知，故由转动定律有飞轮的角加速度代入例题（2）为求经历的时间

，将转动定律写成微分方程的形式分离变量，并考虑到

时，，两边积分故当时，制动经历的时间为学

习

目

标1.知识目标：学生能够准确阐述角动量定理、角动量守恒定律和刚体定轴转动的动能定理的内容，理解其物理意义和适用条件，掌握相关公式的推导和应用。2.能力目标：学会运用上述知识分析生活和工程中的实际问题，能够运用数学工具进行定量计算和理论推导，培养学生的逻辑思维和科学探究能力。3.素质目标：通过介绍物理学家对刚体转动研究的历史，培养学生追求真理、勇于探索的科学精神；在工程实例分析中，增强学生的民族自豪感和对国家建设的责任感，激发学生的创新意识和爱国情怀。§3.3刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律一、刚体对轴的角动量

刚体对转轴的角动量就是刚体上各质元的角动量之和。

任取质元

，则该质元对其圆周运动的圆心的角动量大小为对组成刚体的所有质元求和

刚体对轴的角动量：刚体对某定轴的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。方向沿该转动轴，并与转动的角速度方向相同。二、刚体定轴转动的角动量定理当刚体作定轴转动时，其转动惯量保持不变。根据转动定律,有

刚体定轴转动的角动量定理：定轴转动的刚体所受的合外力矩等于此时刚体角动量对时间的变化率。即设

时

把上式分离变量并积分，可得微分形式积分形式

定轴转动的刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在这段时间内对该轴的角动量的增量．三、刚体对轴的角动量守恒定律

刚体定轴转动的角动量守恒定律：若外力对某轴的力矩之和为零，则该刚体对同一轴的角动量守恒。三、刚体对轴的角动量守恒定律角动量守恒定律的几种情况（1）转动惯量保持不变的单个刚体控制航模飞行姿态的陀螺仪回转仪原理图三、刚体对轴的角动量守恒定律（2）两个物体组成的系统三、刚体对轴的角动量守恒定律当增大时，减小；当减小时，增大，从而保持不变。（3）转动惯量可变的非刚体三、刚体对轴的角动量守恒定律角动量守恒定律的演示实验角动量守恒定律与实际问题§3.4力矩的功刚体定轴转动的动能定理学生风采问题1：运动员为什么把双臂和腿时而展开，时而收拢？航展问题2：

单旋翼直升机为什么要有尾翼装置？双旋翼直升机为什么设计两个机翼？两个机翼的旋转方向有什么关系？一、转动动能设刚体以角速度

绕定轴转动，其中每一质元都在各自转动平面内以角速度

作圆周运动。设第

个质元质量为

，离轴的距离为

，它的线速度为

，则

质元的动能

，整个刚体的转动动能为

刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半.注意比较转动动能平动动能二、力矩的功

设在转动平面内的外力

作用于

点，经

时间后

点沿一圆周轨道移动

弧长，半径

扫过

角,并有由功的定义式有对

求和，得力矩所做的元功等于力矩和角位移的乘积二、力矩的功力矩的功率当功率一定时，力矩与角速度成反比。当刚体在力矩作用下由转到时，力矩的功三、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动时的动能定理：合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。分离变量并积分，又考虑到

时，；

时将转动定律改写例题例题【例3-8】一根质量为，长为

的均匀细棒，可绕固定点

在竖直平面内转