山东省青岛市海信学校2025-2026学年九年级上期中数学试题（含解析）

一、选择题(本大题共8道小题，每小题3分，共24小题)那的值是()D.4D.4的一个近似解可以是()x2x²-2x-0.190A.1.93B.2C.2.73D.2.81A.6B.9C.12D.2412程为()A.(40-2x)(22-x)=520B.(40-x)(22-x)=520C.(40-x)(22-2x)=520D.(40-x)(22+x)=520使原图形与新图形的相似比为3:1,则点A的对应点A'的坐标为()A.(-9,18)B.(-9,18)或(9,-18)正确的结论是()A.①②③B.①④C.②③④D.①②③④二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)310.如图1,在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案(图中阴影部分),为测算阴影部分面积，小亮据，结果如图2所示.小亮由此估计阴影部分面积约为cm².频率频率1002003004005006007008009001000试验次数11.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,4)两端的坐标分别为(-1,2),(2,2).则木杆BC在x轴上的投影长为·12.如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°,BC=8,E是BC边上一点，且BE=2,F是BD上一动点，连接EF、CF,则EF+CF的最小值为·AF=3,DG=4,FG=5,矩形ABCD的面积为CC4三、作图题(4分)四、解答题(本大题共9小题，共78分)16.(16分)解方程：(3)x²-2x-8=0;(4)2x(x-3)=5(x-3).17.(6分)已知关于x的一元二次方程x²-(2k+1)x+4k-3=0.(1)若x₁+x2一x₁x2=0,求k的值；(2)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根.(1)甲停放在A位置的概率为;ABCD519.(8分)8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西玩家群体的数字化传播窗口.飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表.主题跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度测量方案及示意图图1图2测量步骤步骤1:把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q,测得QD=3米；步骤2:将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P,测得PF=4米，PD=26米.(以上数据均为近似值)AB的高度.交CB的延长线于点G.(2)当BE=BC时，判断四边形AGFE的形状，并说明理由.621.(8分)在数学学习和研究中，经常用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法.如图1,在平行四边形ABCD中，点M是CB的中点，点O是线段AM上一点，BO的延长线交射线CD于点N.的值..如图2,在原题的条件下，(用含有k的代数式表示).CC7背景推送.素材1三的票房收入达到8.64万元.素材2盒是一个长方体盒子，其底面面积是0.016m²,如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成.已知矩形硬纸板的长宽分别为26cm,22cm.素材3售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元.问题解决任务1求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率；任务2根据素材2,求矩形硬纸板剪去的正方形的边长；任务3办的售价.23.(12分)如图，四边形ABCD为平行四边形，AB=3cm,BC=5cm,AC=4cm,对角线AC、BD交于点0.动点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s;同时，点Q从点D出发，沿DC方向运动，速度为1cm/s.连接PQ交BD于点E;过P作PM⊥AC,延长PM交BD于点N.设运动时间为(1)当t为何值时，四边形PMCQ为矩形?(2)设四边形PNCQ的面积为S(cm²),求S与t的函数关系式；8题号12345678答案DDCBDBDD那的值是()【分析】由比例的基本性质得到2x-3y=5y,因此2x=8y,D.49A.关键.x2x²-2x-0.190A.1.93B.2C.2.73D.2.81【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中该赛车从F口驶出的结果有1种，再由概率公式求解即可.A.6B.9C.12D.24【分析】根据平行四边形的性质得到AD//BC,AD=BC,由已知条件得到BE:BC=1:3,通过【解答】解：在ABCD中，是同高，底长的比为1:3,程为()40米40米停车位车道宽度停车位出口22米入口A.(40-2x)(22-x)=520B.(40-x)(22-x)=520C.(40-x)(22-2x)=520D.(40-x)(22+x)=520根据停车位的占地面积为520m²列方程即可.【解答】解：根据题意可得(40-x)(22-x)=520,使原图形与新图形的相似比为3:1,则点A的对应点A'的坐标为()yyA(-3,6)B(-9,-3)A.(-9,18)B.(-9,18)或(9,-18)【解答】解：点A(-3,6)、B(-9,-3),以原点0为位似中心做出位似图形，使原图形与新图形的相似比为3:1,所以点A的对应点A'的坐标为原来横纵即(-1,2)或(1,-2),正确的结论是()A.①②③B.①④C.②③④D.①②③④【分析】连接AH,由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，易证得∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°,∴△BCE≌△CDF(SAS),∴CE⊥DF,故①正确；连接AH,∴AH垂直平分DG,∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF,共互赠了272件.若设全组有x名同学，则根据题意列出方程为x(x-1)=2关键.10.如图1,在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案(图中阴影部分),为测算阴影部分面积，小亮频率01002003004005006007008009001000试验次数结论.11.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,4)是一个光源.木两端的坐标分别为(-1,2),(2,2).则木杆BC在x轴上的投影长为6答案即可.【解答】解：如图，设AB交x轴于点D,AC交x轴于点E,作AN⊥x轴于点N,交BC于点M,∵木杆BC两端的坐标分别为(-1,2),(2,2),解得DE=6,∴木杆BC在x轴上的投影长为6.故答案为：6.【分析】在AB上取一点E,使BE'=BE=2,连接EF,CE,推出EF+CF的最小值为CE'的长，再过点C作CH⊥AB于点H,利用勾股定理求出CE'的长即可解决问题.AA在Rt△CEH中，【分析】由矩形的性质得出∠BAE=∠CDE=90°,AD//BC,由直角三角形斜边上中线的性质及三角形中位线的性质求出BE=6,CE=8,BC=10,由勾股定理的逆定理得出△BCE是直角三角形，∠BEC=90°,进而求出SBE·CE=24,即可求出矩形ABCD的面积.【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=∠CDE=90°,AD//BC,∵F,G分别是BE,CE的中点，AF=3,DG=4,FG=5,∴BE=2AF=6,CE=2DG=8,BC=2FG=10,故答案为：48.【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理的逆定理等知识是解决问题的关键.CP,将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ,连接AQ.若AB=1,则△APQ的最大面积是【分析】过点Q作QE⊥AP于点E,过点C作CF⊥AP交延长线于点F,连接AC交弧于点P1,则可得到△QPE≌△PCF,即可得到EQ=PF,根据垂线段最短和三角形三边关系得到AP+PF≤AP+PC≤AC,∴∠EQP+∠EPQ=∠FPC+∠EPQ=90°,∴EQ的值最大为CP₁=√2-1,是解题的关键.可以再添加4块小立方块.故答案为：4.(1)(x-1)²=(3-2x)²;(3)x²-2x-8=0;(4)2x(x-3)=5(x-3).(4)移项后用因式分解法求解即可.【解答】解：(1)(x-1)²=(3-2x)²,x-1=±(3-2x),(2)4x²-12x-1=0,△=b²-4ac=(-12)²-4×4×(-1)=160>0,(3)x²-2x-8=0,(x+2)(x-4)=0,(4)2x(x-3)=5(x-3),(2x-5)(x-3)=0,∴2x-5=0或x-3=0,,x₂=3.17.已知关于x的一元二次方程x²-(2k+1)x+4k-3=0.(1)若x₁+x2-xix2=0,求k的值；(2)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根.(2)计算一元二次方程根的判别式得出△=(2k-3)²+4>0,即可得证.【解答】(1)解：由条件可知x1+x2=2k+1,x1x2=4k-3,解得k=2,即k的值为2;(2)证明：△=b²-4ac=(2k+1)²-4(4k-3)=4k²-12k+13=(2k-3)²+4>0,识点是关键.(1)甲停放在A位置的概率ABCD求解即可.【解答】解：(1)∵该博物馆附近某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A,B,C,D,∴甲停放在A位置的概率6DABDABC(2)画树状图如第1个第2个A文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口.飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表.主题跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度测量方案及示意图图1图2测量步骤步骤1:把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q,测得QD=3米；步骤2:将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P,测得PF=4米，PD=26米.(以上数据均为近似值)(1)嘉嘉发现：当BD=60米时，轻松地就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔AB的高度.(2)依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度AB.【分析】(1)根据题意证明△CDQ∽△ABQ,进而根据相似三角形的性质，即可求解；“(2)设BD=xm,依据题意得：QB=(3+x)m,PB=(26+x)m,证明△EFP∽△ABP,根据相似三角形的性质列出比例式得出,进而证明△CDQ∽△ABQ,根据相似三角形的性质列出比例式，建立方程，解方程即可求解.【解答】解：(1)∵把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，CD=2m,QD=3m,QB=63m,∵∠CQD=∠AQB,答：飞虹塔AB的高度是42米；(2)设BD=xm,依据题意得：QB=(3+x)m,PB=(26+x)m,∵∠EFP=∠B=90°,∠P=∠P,病病答：飞虹塔的大致高度为46m.【点评】本题考查了相似三角形的应用，近似数和有效数字，生活中的平移现象，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键.(1)求证：△ADE≌△GBF;(2)当BE=BC时，判断四边形AGFE的形状，并说明理由.【分析】(1)由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，进而可得∠AED=∠GFB,又由对顶角的性质可得∠ABC=∠GBF,即得到∠D=∠GBF,利用ASA即可证明△ADE≌(2)连接EG,交AF于点0,先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形AGFE【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是平∴AD//BC,∠D=∠ABC,AD=BC,∴△ADE≌△GBF(ASA);(2)解：四边形AGFE是菱形，理由如下：连接EG,交AF于点0,∴四边形AGFE是平行四边形，∵AD=GB,AD=BC,又∵BE=BC,即AF⊥EG,∴平行四边形AGFE是菱形.G如图1,在平行四边形ABCD中，点M是CB的中点，点0是线段AM上一点，BO的延长线交射线CD于点N.的值.如图1,过点M作MH//AB交BN于点H,则如图2,在原题的条件下，,则(用含有k的代数式表示).相交于点0,,(m>0,n>0),!在平行四边形ABCD中，得到AB=CD,AB//CD,根据相似三角形的性质得,由点M是【拓展迁移】过点E作EH//AB交BD的延长线于点H,则有EH//AB//CD,根据相似三角形的判定图2【拓展迁移】过点E作EH//AB交BD的延长线于点H,则有EH//AB//CD,线的性质，解题的关键是根据题意画出图形，再根据有关性质和定理求出各线段的比值.背景今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送.素材1某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元.素材2盒是一个长方体盒子，其底面面积是0.016m²,如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成.已知矩形硬纸板的长宽分别为26cm,22cm.素材3已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元.问题解决任务1求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率；任务2根据素材2,求矩形硬纸板剪去的正方形的边长；任务3根据素材3,为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价.任务2:设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为ycm,盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是0.016m²,列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；任务3:设降价m元，则下调后每个手办的售价为(65-m)元，销售量为(30+3m)个，根据该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；由题意得：6(1+x)²=8.64,解得：x1=0.2=20%,x2=-2.2任务2:设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为ycm,0.016m²=160cm²,任务3:设降价m元，则下调后每个手办的售价为(65-m)元，销售量为(30+3m)个，由题意得：(65-m-