2015年上半年教师资格证考试《高中数学》真题（解析）

2015年上半年教师资格证考试《高中数学》题（解析）1解析本题主要考查集合运算知识。根据题意解得集合，则集合。故正确答案为B。2解析本题主要考查不等式的性质，以及命题的基础知识。（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，显然有成立。因此，“”是“”成立的充分必要条件。故正确答案为B。

3解析本题主要考查函数连续性的定义。

A项：由于在连续，根据函数连续的定义，有对任意数列，有，A项正确，排除。

B项：由于在点处连续，则函数在点处有极限，B项正确，排除。

C项：题“在连续”中的一定是定义域内任意的一个未知数才可以，所以C不正确。

D项：根据函数连续性的定义，对任意数列，∀,∃，∀，有，D项正确，排除。

本题为选非题，故正确答案为C。4解析本题主要考查函数导数应用的基本知识。若在某个区间内有导数，则在内为增函数；在内为增函数。首先，结合图1中导函数的函数值从左到右依次为大于0、小于0、大于0，因此原函数的图像从到右变化趋势是单调递增、单调递减、单调递增，C项和D项排除。然后，根据导函数图像可以判断出原函数的单调递减的区间是在轴的正半轴上，A项排除，B项正确。故正确答案为B。

5解析本题主要考查方程概念、性质及解法等基础知识。A项：由于代数方程的一个根是，则有，那么进行因式分解必然有这个因子，A项正确，排除。

B项：已知是代数方程的根，则有，那么是的一个因子，则整除，B项正确，排除。

C项：由于函数的图像与x轴的交点，即代数方程的根，则有，所以是函数的图像与x轴的交点，C项正确，排除。

D项：由是代数方程的根，只能推出，不能推出导数，故D项不正确。本题为选非题，故正确答案为D。6解析本题主要考查圆锥曲线、线性变换矩阵的基础知识。由旋转变换的矩阵表示，设为原坐标系中坐标，为旋转变换后坐标系中的坐标，则

(

为逆时针旋转的角度)，当时，，可得。将代入原方程，可得。所以表示的曲线是椭圆。故正确答案为A。

7解析本题主要考查算法与框图的基础知识。A项：代表终止框（起止框），A项不正确，排除；B项：代表输入、输出框，B项不正确，排除；C项：代表处理框（执行框），C项不正确，排除；D项：代表判断框，D项正确。故正确答案为D。8解析本题主要考查高中数学课程关于学生数学学习评价的基础知识。①项：学生的知识技能是基础知识和基本技能，只是学生数学学习的一部分，不能构成全面评价，①项不正确，排除。②项：学生数学评价方式应是多样多元化的，学生的情感与态度只是一方面，不能构成全面评价，②项不正确，排除。③项：数学学习的评价不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生在学习过程中的发展和变化，③项不正确，排除。④项：数学学习的评价应采用多样化的评价方式，恰当呈现并合理利用评价结果，发挥评价的激励作用，通过评价帮助教师进行总结与反思，调整和改进教学内容和教学过程，促进老师的发展，④项不正确，排除。本题为选非题，故正确答案为D。9正确答案是：

（1）根据题意，一年连续投资n次，则当1个投资周期后资金为元，第2个投资周期后资金总额为元，第3个投资周期后资金总额为元，

⋯⋯第n个投资周期后资金总额为元，所以，一年后的资金总额为元。（2）即当时，资金总额是否趋于，不会趋于无穷。解析本题主要考查指数函数，极限运算的基础知识。

（1）因为已知一年连续投资次，则一年后的资金总额就是连续投资次的投资总额，即。

（2）根据重要极限公式，将（1）结果进行化简。即：

10正确答案是：根据图2可知，由A到D的路线有两条，分别是A-B-D和A-C-D。走A-B-D发生堵车的概率为，走A-C-D发生堵车的概率为，显然，所以走A-C-D线路发生堵车概率最小，概率为。解析本题主要考查随机事件的概率和和分类讨论的基本思想与方法。根据图2可知，由A到D的路线有两条，分别是A-B-D和A-C-D。由于各路段发生堵车事件是相互独立的，设A-B-D路线发生堵车的概率为，A-B-D路线不发生堵车的概率为，且两事件对立，则，且，即可求出。11正确答案是：

证明：依据题意，是整系数方程的根，

则整系数方程可分解为，其中d，e，f均为整数。

展开后，得,

与原方程比较得：,

因为均为整数，所以整除8，整除3。解析本题主要考查数集和方程的基础知识，以及推理与证明的基本思想与方法。本题是一道证明题，首先从结论“p整除8，q整除3”出发，可知分别于8

存在一定的倍数关系。然后，由已知条件互质，且是整系数方程的根，可以推出是代数式的一个因式，则方程，展开后系数一一对应，即可得出

与8、与3的关系。12正确答案是：（1）分析法的定义：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实（定理、定义、公理等），这种证明的思维方法叫做分析法。（2）例如：求证：。证明：因为和都是正数，所以为了证明，只需证明，展开得，即，只需证明，因为成立，所以不等式：成立。（3）分析法证明的思维过程：用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则分析法用框图表示为：在分析法证明中，从结论出发的每一步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最好一步归结到已被证明了的事实。因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略。（4）分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际是寻找使结论成立的充分条件。解析本题主要考查对分析法证明基础知识的理解与运用。常用的直接证明方法有综合法与分析法。综合法是从原因推导到结果的思维方法，而分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法。具体地说，综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论。分析法则是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实。13正确答案是：（1）尺规作图的基本要求：①它使用的直尺和圆规带有想象性质，跟现实中的并非完全相同；②直尺没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧，只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。③圆规可以开至无限宽，但上面亦有不能有刻度，它只可以拉开成你之前构造过的长度。（2）古希腊时期“几何作图三大问题”是三个作图题，只使用圆规和直尺求出下列问题的解，直到十九世纪被证实这是不可能的：①立方倍积，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。②化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。③三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分解析本题主要考查有关“尺规作图”，以及“几何作图三大问题”的相关数学史知识。

尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。①尺规作图使用的直尺和圆规带有想象性质，跟现实中的并非完全相同；②直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；③圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。尺规作图是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。①三等分角问题：三等分一个任意角；②倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；③化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。以上三个问题在2400年前的古希腊已提出这些问题，但在欧几里得几何学的限制下，以上三个问题都不可能解决的。直至1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。而后在1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题。14正确答案是：

根据题意，可知椭圆即为柱面与平面的交线。平面坐标原点，椭圆的中心在坐标原点，设椭圆上任一点则原点O与P的距离r的最大、小值即为椭圆的长半轴与短半轴长。，当时，而，由柯西不等式得：，当且仅当时，取等号，则故椭圆的短半轴长为1，长半轴长为。

解析本题主要考查圆锥曲线、空间曲面及曲线方程的基础知识。由题意可知椭圆即为柱面与平面的交线，坐标原点与椭圆上任一点的距离的最大值即为椭圆的长半轴长，的最小值即为椭圆的短半轴长。15正确答案是：数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如分数、函数、概率、数形结合、逻辑推理、模型思想等。因此，教材在呈现相应的数学内容与思想方法时，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则。螺旋上升是指在深度、广度等方面都有实质性的变化，即体现出明显的阶段要求。例如，函数是描述客观世界变换规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。因此，教材对函数内容的编排应体现螺旋上升的原则，分阶段逐渐深化。依据内容标准的要求，教材可以将函数内容的学习分为三个主要阶段：第一阶段，通过一些具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系。从学生已掌握的具体函数和函数描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念。第二阶段，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解。引导学生不断体验函数是描述客观世界变换规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。第三阶段，鼓励学生运用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等，在这个过程中反复体会函数的概念，才能真正掌握，灵活应用。解析本题主要考查高中数学课程内容的主要变化，并能够根据实例进行理解和把握。在数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如分数、函数、概率、数形结合、逻辑推理、模型思想等。因此，教材在呈现相应的数学内容与思想方法时，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则。螺旋上升是指在深度、广度等方面都有实质性的变化，即体现出明显的阶段要求。16正确答案是：（1）方式一的引入，从学生熟悉的实数加法运算入手，降低了认知难度，但是集合间的运算的交、并、补、差，与实数的运算虽然有一定的联系，但是有些差别，在教学过程中注意引导学生思考探究避免出现运算误区。方式二的引入，利用学生身边的人创设问题情景，降低对新知识的陌生感，引发学生思维的共鸣。方式三的引入，复习以前学过的知识内容，进行新旧知识的衔接过渡，降低学生对新知识的认知难度，但是缺乏具体内容的回顾，只是简单的提及，不能够全面的顾及到班上的所以学生对已有知识的复现达到降低对新知识认知难度的目的。（2）问题1，集合之间是否也具有一些运算规律呢？问题2，集合的并集运算与实数的加法运算有什么异同点？问题3，集合的补集运算与实数的减法运算有什么异同点？问题4，集合的交集运算需要注意的问题有什么？（3）数学概念的引入的关键点为：①注意运用新、旧知识之间的内在联系；②调动学生认知结构中已有感性和知识，去感知理解材料，创设具体情境，从具体事例抽象出数学概念。利用新旧知识之间的联系引入概念时，注意创设类比发现的问题情境，关注新旧知识的链接，尝试引入新的概念，这样引入容易使学生在原有的认知结构中得到同化和建构。通过创设情境，从具体事例抽象出数学概念时要求充分调动学生认知结构中已有感性经验和知识，去感知理解材料，经过思维加工产生认识飞跃，继而组织成完整的概念图式。在具体引入概念的过程中可以通过实例、绘图或多媒体辅助引导学生分析数学概念的特点，使学生思维由感性认识自然过渡到理性认识。解析本题主要从“集合”相关知识入手，考查集合的相关概念、集合的表示方法、集合的运算，教学工作的基本环节，常用的教学方法，以及课堂导入技巧等基本知识与技能。（1）分析三种引入方式的特点，逐一分析各自的优缺点。（2）方式三是通过复习以前学过的知识内容，进行新旧知识的衔接过渡，那么就可以从了集合的概念、集合的表示、集合的基本关系、集合的运算等几个方面进行提问。（3）数学概念的引入的关键点是：一要注意运用新、旧知识之间的内在联系；二要注意调动学生认知结构中已有感性和知识，去感知理解材料，创设具体情境，从具体事例抽象出数学概念。数学概念的引入，可通过多种贴近生活的方式引入，使学生感到更加自然。如创设情境，从具体事例抽象出数学概念；通过实例、绘图或多媒体辅助引导学生分析数学概念的特点等等，使数学概念的引入更加自然。17正确答案

（1）学生的知识基础：学生已经学习了任意角三角函数的图像和性质，诱导公式以及平面向量，会向量的坐标运算，会平面向量数量积的坐标表示、模和夹角，能利用向量积求两个向量之间的夹角。同时，学生对用举反例推翻猜想、以退求进、单位圆、割补法、用向量解决三角问题已经有一定的基础，但还远未达到综合运用这些方法自主探究和证明两角差余弦公式的水平。（2）学生学习的难点：两角差的余弦公式的推导过程是本课的难点，通过设置一定的教学情景，教师引导学生从数形结合的角度，利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立包含的余弦值的等量关系，这个过程比较复杂，而且难度也比较大，但对理解公式的结构特征有促进作用，另外还能激发学生探索简便方法的欲望。（3）证明两角差的余弦公式：证明：以坐标原点为中心作单位圆，如图所示，

以为为始边作角与，它们的终边与单位圆O的相交于A，B，则，因此。因为，。所以。解析本题主要以高中数学必修4中“两角差的余弦公式”为例，考查三角函数的基础知识、课程概述及教学设计工作等相关知识，比较综合性地考查学科知识、课程知识以及教学技能的基本知