2016年上半年教师资格证考试《高中数学》真题（解析）

2016年上半年教师资格证考试《高中数学》题（解析）1解析本题主要考查数列极限的运算。根据重要极限公式或，对所求极限指数进行配凑：故正确答案为A。2解析本题主要考查级数的收敛性。A项：使用莱布尼茨定理，因为满足：（1）＞；（2）=0。所以A项收敛，A项不正确，排除。B项：使用比值判别法，因为，则B项收敛，B项不正确，排除。C项：调和级数发散，C项正确。D项：P级数，因为（p＞0）=由题意p=2，则D项收敛，D项不正确，排除。本题为选非题，故正确答案为C。

3解析本题主要考查空间曲面及曲线方程的基础知识。，即，可以看成曲线（双曲线）绕y轴（实轴）转动得到，故所求的二次曲面为旋转双曲面。故正确答案为B。4解析本题主要考查黎曼可积的基本知识。根据黎曼可积定义，黎曼积分是线性变换；也就是说，如果和在区间上黎曼可积，和是常数，则,上的实函数f是黎曼可积的，当且仅当它是有界和处处连续的。所以，函数黎曼可积，函数必须是有界的，否则函数不可积。函数黎曼可积，函数可以有有限个间断点，故函数可以不连续，不可导。若函数可积，但函数不单调。

总结：在闭区间上函数可导必连续，连续必可积，可积必有界。故正确答案为D。

5解析本题主要考查矩阵的特征值。令，由矩阵A的特征多项式，即，解得或，则其特征值为-1，-1，5共,3个。故正确答案为D。6解析本题主要考查正定二次型的判定。将二次型进行配方，，令，，则二次型可化为，根据正定二次型的判定，它的标准型的n个系数全为正，故二次型不定。故正确答案为C。

7解析本题主要考查高中数学的课程知识。《普通高中数学课程标准（实验）》的课程目标提出培养教学基本能力包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等五项基本能力，但是“直线与平面平行的性质定理”的学习过程总队数据处理的能力提升没有很明显的作用，因此B项正确。故正确答案为B。8解析本题主要考查初中数学课程的核心概念。《普通高中数学课程标准(实验)》中指出，创新意识是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。所以C项不正确。本题为选非题，故正确答案为C。9正确答案是：

由于速度的水平分量为：，铅直分量为：，所以质点运动速度的大小为：，当t=1时，速度为。解析本题主要考查导数的运算。本题是含有参数的求导运算，求质点在时刻t=1的速度的大小，即求y对x的导数，在t=1处的值。10正确答案是：根据题意可设，球心O(1,1,1)，球面上一点P(4，5，13)，则，且OP为切平面的法向量；设M(x,y,z)是切平面上任意一点，则，且与垂直，则有，即，整理得，即所求的切平面方程。解析本题主要考查空间曲面及曲线方程的知识。

11正确答案是：令甲跑一圈为事件A，乙跑一圈为事件B，因为，，而事件A，B同时发生只有一种情况，即出现点数为1的情况，则，所以，所以事件A和事件B为独立事件。解析本题主要考查随机事件的概率。

由于事件A、B相互独立的充分必要条件是，本题根据这一判定条件解题即可。12正确答案是：理解一般可以理解为了解、领会，但是在我们数学中通常的意思是知其然，又要知其所以然。而对于新课标的知识与技能目标中行为动词“理解”一般指的是对数学中概念、定理、公式等知道其来龙去脉。例如，理解等差数列概念，指的就是说在教学过程总不是教师通过讲授的方法告诉学生什么是等差数列，也不是教师通过让学生纯粹记忆的方法，让学生记住什么是等差数列，教师应该通过一些学生日常生活当中的例子，让学生观察数据，寻找规律，自己归纳总结出等差数列的概念，只有学生经历了自己观察、分析、总结的过程才有可能知道等差数列概念的来龙去脉，最终才会理解等差数列的概念。解析本题主要考查高中数学课程知识。行为动词中的“理解”就是把握内在逻辑联系，对知识作出解释、扩展、提供证据、判断等。以“等差数列”为例，教学目标中理解等差数列的概念、首项、公差、通项公式等相关性质。这些都属于“理解”的目标层次。学生在学习过程中，能够把握等差数列的概念，通过内在逻辑联系，以此为前提进行推导，得到等差数列的首项、公差、通项公式等相关性质。13正确答案是：“余弦定理”教学的主要环节有：（1）创设情境，提出问题新问题：以千岛湖求两岛间的距离引入，已知两岛间的距离及夹角如何求另两岛间的距离。老师活动：以上问题能否用正弦定理来解决，请同学们尝试一下，如果解决不了，思考它是已知三角形两边及夹角，求第三边的问题。能否也象正弦定理那样，寻找它们之间的某种定量关系。（2）求异探新，证明定理问题1：这是一个已经三角形两边a和b及两边的夹角C，求出第三边c的问题。我们知道已知三角形两边分别是为a和b，这两边的夹角为C，角C满足什么条件时较易出求出第三边c？（由勾股定理导入）问题2：自学提纲

学生活动：小组合作探究，完成填空。老师引导：要证即证证明过程：又因为（向量的什么法则）所以

所以，当时，上式变为。类似地可以证明，。教师活动：引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题，从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。得出结论，上式就是余弦定理。师生强调：得出了余弦定理，还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有其他方法证明余弦定理。问题3：让学生观察以下各式的结构有什么特征？能用语言描述吗？师生共同总结：余弦定理的内容是三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。（3）巩固新知，运用练习询问学生这节课的收获，能否学以致用。请小组继续自学教材上的两个例题。比一比，赛一赛，看哪一个小组先发现这两个生活实例问题的解决能否用今天学的余弦定理？如何解决？（4）运用定理，解决问题让学生观察余弦定理及推论的构成形式，思考余弦定理及推论可以解决那些类型的三角形问题。解析本题主要考查高中数学课程概述，教学工作的基本环节，以及课堂教学设计等相关知识。（1）数学定理教学的主要环节有：定理的引入，定理的证明，定理的运用。

（2）数学定理学习的一般环节：

①了解定理的内容，能够解决什么问题（创设情境，提出问题中体现）；②理解定理的含义，认识定理的条件和结论，如在公式推导过程中对条件引起注意，通过对结论从结论、功能、性质，使用步骤等角度分析以加深印象和理解（求异探新，证明定理中体现）；③定理的证明或推导过程：学生与老师一起研究证明方法，如不需证明，学生根据老师提供的材料体会定理规定的合理性（求异探新，证明定理中体现）；④熟悉定理的使用。循序渐进地定理的应用，将定理纳入已有的知识体系中去（巩固新知，运用练习中体现）；⑤引申和拓展定理的运用（运用定理，解决问题中体现）。14正确答案是：

取上一组基：，，。于是有，则所以。又因为线性无关，所以将进行Smitch正交化可得，,所以子空间的一组正交基是解析本题主要考查正交变换与正交矩阵的知识。施密特正交化是求欧氏空间正交基的一种方法，施密特正交化方法可由n维欧氏空间的任一个基得到正交基，再单位化可得到标准正交基。施密特正交化的过程：若为向量空间V的一个基，取，，那么两两正交，且与等价。15正确答案是：（1）数学的严谨性，是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性，即逻辑的严格性和结论的确定性。量力性是指学生的可接受性，这一原则，说明教学中的数学知识的逻辑严谨性与学生的可接受性之间相适应的关系。理论知识的严谨程度要适合学生的一般知识结构与智力发展水平，随着学生知识结构的不断完善，心理发展水平的提高，逐渐增强理论的严谨程度；反过来，又要通过恰当的理论严谨性逐渐促进学生的接受能力。

显然，这一原则是根据数学本身的特点及学生心理发展的特点提出的。但是，在学习过程中，学生的心理发展是逐步形成的，不同的年龄阶段，其感知、记忆、想象、思维、能力等心理因素都有不同的发展水平。这种心理发展的渐变性决定了在教学中不可能对数学理论的研究达到完全严密的程度，而应该在不同的教学阶段，依据不同的教学目的和内容而提出不同的严谨要求，即数学教学的严谨性是相对的。（2）对于实数指数幂在教学上，首先可以从初中学习的整数指数幂的概念和运算性质出发，比如回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数，进而推广到有理数指数，在推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。导入实例：创设情境，引入新课首先用多媒体展示图片，让学生完成多媒体上的任务单，体会什么叫做平方根。在上述过程的基础上，让学生联想什么叫做立方根，并让学生填写下列表格（已知，表中已知a、n的值，求x的值）并提出问题：①上表中，对于a=4，n=2，所填写的x叫做什么？②当n=4.5时，所填写的x也可叫做什么？③当n分别为奇数和偶数时，所填写的x有什么区别？用这些问题引入本节课的同时也激发学生对问题产生的兴趣。（3）学生在学习本节内容之前，已经了解了整数指数幂的概念和运算性质，因此本节课在学生回顾平方根和立方根的基础上类比出整数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数，进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质中整数指数幂推广到实数指数幂。在平方根和立方根的基础上类比出正数的n次方根的定义的过程中比较严谨，但是将其进一步推广的过程中，由于中学生的可接受性是有限的，因此在教学中有些内容是避而不谈的，这就体现了严谨性与量力性相结合的原则。解析本题主要考查严谨性与量力性的教学原则，以及课堂导入技巧的教学技能知识。（1）“严谨性与量力性相结合”教学原则的内涵是指数学逻辑的严密性及结论的精确性，在中学的数学理论中也不例外。所谓数学的严谨性，就是指对数学内容结论的叙述必须精确，结论的论证必须严格、周密，整个数学内容被组织成一个严谨的逻辑系统。教材有时对有些内容避而不谈，或用直观说明，或用不完全归纳法验证，或不必说明的作了说明，或扩大公理体系等，这些做法主要是考虑到学生的可接受性，估计降低内容的严谨性，让学生更好地掌握要学的数学内容。当前数学界提出的“淡化形式，注重实质”的口号实质上也是侧面反映出数学必须坚持严谨性与量力性相结合原则的问题。（2）对于实数指数幂在教学上，首先可以从初中学习的整数指数幂的概念和运算性质出发，比如回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数，进而推广到有理数指数，在推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。（3）在高中“实数指数幂”的概念教学中，对严谨性要求，设法安排学生逐步适应的过程与机会，逐步提高其严谨程度，做到立论有据。比如学生初学分数指数幂很不适应，教师可以引导学生研究已学习过整数指数幂的概念属性，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，并学习分数指数幂和根式之间的互化，渗透“转化”的数学思想，最后达到知识点之间的密切联系，达到概念的产生有根有据。16正确答案是：（1）学生甲的解法是先根据等差数列的求和公式及已知条件求出等差数列的首项和公差d，然后根据等差数列的前n项和公式求出前110项的和；学生乙的解法是根据数列与函数的关系求解，因为等差数列的前n项和公式，可以把前n项和看成n的二次函数，令的形式。（2）(*)中结论是成立的。由等差数列的前n项和公式可得：①②③由于p≠q，联立①②可得：④则代入①②得：代入④可得：故(*)中结论是成立的。解析本题主要从“等差数列”相关知识入手，考查等差数列的相关概念、等差数列的通项公式、求和公式等基层知识，教学工作的基本环节，常用的教学方法，以及课堂导入技巧等基本知识与技能。

（1）甲同学是直接用等差数列的求和公式来计算的，而乙同学是将甲同学等差数列求和公式变形为二次函数的形式来计算的。甲乙同学计算公式的本质是一样的，但是乙同学的计算方法简化了计算量。（2）通过等差数列的求和公式即可验证(*)中结论是成立的。17正确答案

（1）结合上述教学要求，将“古典概型”起始课的教学目标设计如下：知识与技能：①正确理解古典概型的两大特点，即试验中所有可能出现的基本事件只有有限个和每个基本事件出现的可能性相等；②掌握古典概型的概率计算公式。过程与方法：①通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法；培养逻辑推理能力；②通过模拟试验，感知应用数学解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。情感态度与价值观：在体会概率意义、数学严密性的同时，通过合作学习交流，感受与他人合作的重要性以及初步实事坟是地科学态度和锲而不舍的求学精神。体会理论来源于实践并应用与实践的辩证唯物主义观点。（2）符合古典概型的两个正例为：①有红心1，2，3和黑桃4，5共5张扑克，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张；②掷两枚硬币，可能出现的结果。不符合古典概型的两个反例为：①射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个，命中10环，命中9环……命中1环和命中0环（即不命中）；②向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆面内任意一点都是等可能的。解析：古典概型概念：①试验中所有可能出现的事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等。只有同时具有这两个特点的概率模型，称为古典概率概型。举例子时针对古典概型中的两种特性举出即可。正例中：①是古典概型是因为度验的所有可能结果是5个，从中任意抽取一张每个结果出现的可能性相等;②是古典概型是因为试验的所有可能结果是3个，结果的可能性相等。反例中：①中不是古典概型是因为试验的所有可能结果虽然是限个，而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可以的，即不满足古典概型的第二个条件;②中不是古典概型是因为试验结果是无限个的，不是有限个。（3）设抛掷一枚质地均匀的骰子，出现偶数点为事件A。古典概型的计算公式为第一种解法：枚举法。枚举法是指把对象意义列举出来进行计算的方法，可以让学生做到不重复，不遗漏，让学生更加清晰的认识到古典型概率中样本的有限性。基本事件的总数是6，分别是1、2、3、4、5、6；其中偶数数字为2、4、6，则出现偶数的概率为第二种解法：公式法。古典型的概率计算公式是，该方法可以帮助学生更好理解古典型概率中每个样本所发生的可能性是相等的。本次事件中出现偶数的基本事件数为3，样本空间的基本事件总数为6，所以概率为。采用两种解法对帮助学生理解古典概型的作用在于能帮助学生理解古典概型的特点：即试验中所有可能出现