2017年下半年教师资格证考试《高中数学》真题（解析）

2017年下半年教师资格证考试《高中数学》题（解析）1解析本题考查的是矩阵的秩的求法，对于矩阵的秩有3种求法：（1）利用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩；（2）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩（很少用）；（3）如果是低阶方阵可以求出对应行列式的值，如果行列式不为零，那么矩阵是满秩。采用第一种方法，利用初等变换将矩阵化为阶梯型矩阵，由此得到下面的式子：观察可以发现矩阵非零行的行数为3行，所以矩阵的秩为3。采用第三种方法，本题中矩阵的行列式为3阶行列式，

根据公式：本题中矩阵的行列式为，可知矩阵为满秩，即矩阵的秩为3。故正确答案为D。2解析本题考查的是等价无穷小的判断。对于同一个变化过程，设，若，则是与是等阶的无穷小。常见的等价无穷小有：当时，，，，，，，，，，

，。同时根据上述常用的等价无穷小，可以导出其他的等价无穷小，当时，，，，，，

，，，。A项：当时，，

。正确。B项：。错误。C项：。所以是的高阶无穷小。错误。D项：。错误。故正确答案为A。

3解析本题考查条件收敛。而我们知道收敛，但发散，则称原级数条件收敛。A项：假设，收敛，设它的部分和是，且显然它的部分和为，于是有于是，而，根据极限的保号性，我们可以得到，这与是矛盾的，因此假设不成立，因此极限是不收敛的，错误。B项：对于p级数有：由此可知，B项收敛，但不是条件收敛，错误。C项：因为，，根据Leibnitz判别法，可知收敛，但不是条件收敛，错误。D项：，由A选项我们知道是不收敛的。显然是条件收敛。故正确答案为D。4解析本题考查椭圆定义及相关知识。椭圆定义的方式方法有多种,其中一种定义方式：椭圆平面内到定点

F(c，0)

的距离和到定直线

（F不在直线上）的距离之比为常数(即离心率

e

，0<e<1）的点的轨迹是椭圆。第③选项是将椭圆的第二种定义方式换种方式来陈述，审题不认真容易出错，需要格外注意，①错误，常数需大于两定点间的距离，若该点与两个定点的距离之和等于两个定点之间的距离，该点的轨迹不是椭圆而是线段，故错误。②平面内到定点和定直线距离之比大于1的常数的动点轨迹是双曲线，定点需为焦点，故错误。③从椭圆的一个焦点出发的射线，经椭圆反射后通过椭圆另外一个焦点，这是椭圆具有的光学性质，正确。④平面与圆柱面的截线可能是椭圆、圆或其他图形，故错误。故正确答案为B。

5解析本题考查二次型正定、负定与不定的判断。矩阵正定型、负定型、不定型的判定方法有多种。其中一种方法为，若二次型对应的矩阵的各阶顺序主子式均大于零，则是正定的；若二次型对应的矩阵的奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，则是负定的；否则，为不定的。设二次型对应矩阵为A。对于A选项，，一阶主子式为，，，因此为不定的；对于B选项，，一阶主子式为，，，因此为正定的，正确；对于C选项，，一阶主子式为，因此为不定的；对于D选项，，一阶主子式为，因此为不定的。故正确答案为B。6解析本题考查随机变量的期望和方差。当随机变量的期望为E，方差为D，随机变量的期望为EE，D。设随机变量的期望为E，则E；D，D。故正确答案为B。

7解析本题主要考查概念间的关系。交叉关系指的是：在概念a和概念b的关系上，如果有的a是b，有的a不是b，并且有的b是a，有的b不是a，那么a和b这两个概念之间就是交叉关系。例如“食物”与“植物”、“间谍”与“军官”等等。对于本题，等差数列中的常数数列也是等比数列，还有很多等差数列不是等比数列，同样等比数列中的常数数列也是等差数列，还有很多等比数列不是等差数列，因此满足交叉关系。A项正确。B项：同一关系指的是：“虽然外延完全相同，但其内涵却不完全一样”，例如：“等角三角形”与“等边三角形”。等差数列与等比数列的外延不同，故错误。C项：种属关系指的是：个概念的部分外延与另一个概念的全部外延重合的关系。例如数学中的“数”与“整数”，几何中的“三角形”与“直角三角形”等均是属种关系。等差数列与等比数列不符合，故错误。D项：矛盾关系指的是：在同一个属概念下的两个种概念的外延互相排斥，其相加之和等于该属概念的外延。等差数列与等比数列不符合，故错误。故正确答案为A。8解析本题考查高中知识必修系列课程内容。集合、三角函数和平面向量是必修系列中的内容，是高中课程必须的课程内容，而导数及其应用和空间向量是选修的内容。因此是3方面。故正确答案为C。9正确答案是：

（1）对于，有。其中由于

，，，，，因此取，，所以，都可以写成，的线性组合。由于，，所以所以即的维数为2。（2）解：由于，都可以写成，的线性组合。因此的一组标准正交基也是的一个极大线性无关组。由Schmidt正交化方法：，，将与

单位化得：，，即为的一组正交规范基。10正确答案是：记事件A：这名考生为本专业考生，则，，

记事件B：这名考生通过了考试

由题可知，本专业考生通过率为85%，所以

非本专业考生通过率为50%，所以

由全概率公式：所以在已知该考生通过了考试的前提下，该考生为本专业考生的条件概率为=解析：本题考查随机事件的条件概率。条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。。11正确答案是：证：设与该图形相交时，将其面积分别分为与。因为在平面有界区域内，连续曲线围成的封闭图形一定是一个单连通区域，而题干明确给出是连续曲线，即是连续的，所以我们可知将封闭区域分割出的两部分，其中每一部分的面积关于都是连续的，即是关于的连续函数，记为，则有（为封闭曲线面积）,。根据连续函数介值定理可知，必存在，使，即。

所以：平分。解析本题考查介值定理的应用。介值定理，是闭区间上连续函数的性质之一。在数学分析中，介值定理表明，如果定义域为的连续函数，那么在区间内的某个点，它可以在和之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。12正确答案是：“平行四边形”的定义为：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。定义方式：属加种差定义法。“实数”的定义为：有理数和无理数统称为实数。定义方式：揭示外延的定义方式，逆式定义法，又叫归纳定义法。

解析本题考查几种数学概念的定义方式，常见的定义方法有：原始概念，属加种差定义法，揭示外延的定义方法。原始概念。例如，代数中的集合、元素、对应等，几何中的点、线、面等。属加种差定义法。这种定义法是中学数学中最常用的定义方法，该法即按公式：“邻近的属加种差=被定义概念”下定义，其中，种差是指被定义概念与同一属概念之下其他种概念之间的差别，即被定义概念具有而它的属概念的其他种概念不具有的属性。例如，平行四边形的概念邻近的属是四边形，平行四边形区别于四边形的其他种概念的属性即种差是“两组对边分别平行”，这样即可给平行四边形下定义为“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”。

揭示外延的定义方法。数学中有些概念，不易揭示其内涵，可直接指出概念的外延作为它的概念的定义。常见的有以下种类：（1）逆式定义法。这是一种给出概念外延的定义法，又叫归纳定义法．例如，整数和分数统称为有理数；正弦、余弦、正切和余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等等，都是这种定义法。（2）约定式定义法。揭示外延的定义方法还有一种特殊形式，即外延的揭示采用约定的方法，因而也称约定式定义方法。例如，，，就是用约定式方法定义的概念。13正确答案是：向量的数量积，即设二维空间内有两个向量和，定义它们的数量积（又叫内积、点积）为以下实数：。向量的数量积运算不仅涉及向量的长度，还涉及向量的方向。实数的运算，就设两个实数为，，，则乘法交换律为，乘法分配律为

，以及乘法满足消去律等。向量的数量积运算与实数乘法运算虽然在运算过程中均满足运算律的交换律、分配律且运算结果均为实数，但实数的乘法运算满足消去律，向量的数量积则不满足。在实数乘法运算中若且则。但在向量数量积运算中若且则有两种情况或。解析本题考查数量积与实数运算的区别。学生在学习向量的数量积的时候通常会对照之前的实数相关的运算来进行类比学习，对两种运算之间的不同之处掌握的不扎实容易出错。14正确答案是：

（1）由题意知：点在椭圆上，椭圆左右两边求导得：,

即,将代入，得。所以切线方程为:，即。又该切线交x轴和y轴与点A和点B，所以点的坐标为，线段绕轴旋转一周得旋转曲面，曲面得方程为。（2）立体的体积为。解析（1）由题意知：点P（1，3）在椭圆上，椭圆左右两边求导得：,即，将，代入，得。所以切线方程为：，即。又该切线交轴和轴与点A和点B，所以A，B点的坐标为，线段AB绕轴旋转一周得旋转曲面S，曲面S得方程为。（2）立体的体积为。15正确答案是：（1）数学的教学合理的渗透数学文化是非常重要，培养学生的数学思想，养成数学思维方式，及相关历史背景的了解都能很好的发挥数学课程的作用：第一方面，培养学生数学思想。“导数及其应用”这节课包含的数学思想有数学结合思想和极限思想。函数是导数的主要研究对象之一，学习过程中一般对函数的解析式与函数图象的分析和求解进行数形结合，这是数学结合思想的体现，同时在导数的计算以及定积分内容的应用上，均体现极限思想。第二方面，数学思维方式的渗透。“导数及其应用”的学习过程中教师会不断引导学生去对教材知识进行观察，对相关例子进行归纳。在这样的过程中，学生的观察能力和总结归纳能力都会得到培养，相信在处理类似的相关题目中也是可以利用这些思维方式帮助自己解决问题。第三方面，借助历史中的数学精神。导数知识在高中课程体系中没有相关知识做铺垫，没学习之前对之了解少之又少。因此合理利用导数相关的历史，调动学生学习的积极性是有着重要意义的，因此在课程中，对学生进行导数史知识的渗透，告诉学生导数的由来、发展和在实际生活、工作中的作用，同学们感知古老的故事中蕴含的数学精神，会使得课堂更加生动有趣。（2）在数学课程中，强调数学的文化价值，是本次数学课程改革的一个亮点。①数学文化的培养，有助于激发学生的求知欲。数学并不是枯燥乏味的而是充满生机和活力的，它有着它的神秘美。比如数学中还存在一些猜想，如黎曼猜想、哥德巴赫猜想、四色猜想的书面证明问题等都未得到彻底解决，在引导学生试图解决这些猜想的过程中，既可以向学生传播数学文化，又可以让学生漫步在变化发展着的数学文化形态之中，在潜移默化中激发学生求知欲。②数学文化教育有利于培养学生的创新意识和探索精神。新一轮数学改革的理念中，强调培养学生的创新意识和探索精神。培养学生的数学思维能力，也是当代数学教育改革的核心问题之一。在数学文化中数学历史事件、历史过程、历史故事都能够激发起学生的创新意识，培养学生的探索精神。③数学文化的培养，有助于提高学生的数学素养。在教学中要充分挖掘教材的文化价值，充分揭示数学知识产生、发展的全过程，探寻数学知识的源泉，重建被割裂的数学知识与现实背景的联系，让学生能够主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质。④数学文化的培养，有助于学生深入了解数学的特点。通过对数学的思想、精神、方法、观点、语言及其形成和发展，以及数学史、数学家、数学美、数学教育、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系的学习，可以使所学的数学知识更加系统。学生能够在数学文化的培养中深入了解数学的特点：数学是比较抽象的。具有逻辑的严密性和结论的确定性，应用的广泛性和一定的预见性。因此，教学中我们应当有意识地结合学生已有的知识结构，加强数学与实际生活的联系。增强数学的应用性，将数学知识生活化，让学生体验到数学文化的价值就在于生活的各个领域中都要用到数学。解析本题考查数学文化。数学文化包含数学思想、数学思维方式和数学相关历史材料等方面。16正确答案是：（1）甲教师采用复习导入的方法，通过出示问题：在有理数集中无解，以及单位正方形对角线的度量等问题，带领学生回忆这些在实数集中解决不了的问题是通过是扩充数集来解决的。类比初中进而得出高中遇到实数范围内解决不了的问题，也可以尝试用同样的方法解决，进而引入新课“复数”。这样通过复习旧知来获得解决问题的方法，可提高学生的知识迁移能力和解决问题的能力，但是这种方法不容易激起学生的学习兴趣，对于基础不好的学生的积极性的调动也不理想。

教师乙，借助意大利数学家的问题导入新课，问题难度很小，能很好地激发学生的兴趣，调动学生学习复数的积极性，引发了学生的数学思考，学生在不知不觉中已经进入到本节课的学习，使得教师的教和学生的学完美统一，使学习变成一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。

（2）复数三角表示法为，其中为复数的模。这样表示的意义如下：复数的的表示方法有很多种，除了可以表示为，我们知道通过建立坐标系来表示复平面时（是实轴是虚轴），复数和平面内的点是一一对应的，同时也可以用以原点为起点的向量来表示。在此基础上如果这个向量的模和辐角已知，也可以用来表示向量（其中），这就是复数的三角表示法。观察我们可以发现，三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化，也彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，比如通过在复平面内，如果两个复数进行乘积，那么积的模就等于两个复数模的乘积，积的辐角就等于两个复数对应的的辐角和；在复平面内，如果两个复数进行相除，那么商的模就等于被除数的模除以除数的模，商的辐角就等于两个复数对应的的辐角差；因此，复数三角形式表示法是有着非常重要的意义的。解析本题考查数与代数-解析几何-复数；教学技能-教学设计-概念教学。复数本节课是数系的扩充，使得数域从实数域到复数域。复数的出现容易使学生才生认知上的冲突，因此采用合理的方法完成过渡，是设计的是否完美的关键。17正确答案

（1）实例：一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3：2：5：2：3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？分层抽样的实施步骤如下：①根据已经掌握的信息，将总体分成互不相交的层；②根据总体中的个数N和样本容量n计算抽样比；③确定第i层应该抽取的个体数目；④在各个层中，按步骤③中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为n的样本。设计意图：通过对实例的探究，引导学生体会：①不同的乡镇比例是不一样的，在选择样本的时候应充分考虑这一特点，所以调