人教A版（2019）高中数学必修二必背知识点清单填空版（含答案）

(2)数量：称为数量.[注意]数量可以比较大小，而向量无法比较大小.具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：、-、,如B(终点)A(起点)表示法的大小，_表示向量的方向字母表示：向量也可以用字母a,b,c,…表示(印刷用黑体a,b,c,书写用a,方，さ)向量名称定义 叫做零向量，记作0单位向量 _,叫做单位向量(共线向量) 叫做平行向量；向量a与b平行，记作a//b,规定：与任意向量平行(零向量的方向是的) 叫做相反向量；向量a与b相反，记作(2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合.相等向量一定是共线(3)判断两个向量的关系：一要判断大小，二要判断方向，如遇上零向量，必须注意其方向的任意性.知识点一向量的加法 ,叫做向量的加法.向量求和的法则三角形法则这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则口诀：平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作□OACB,则就是向量a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则对于零向量与任意向量a,规定a+0=[注意](1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和.知识点二向量的三角不等式 等号成立.当且仅当a,b中有一个是或a,b是方向的非零向量时右侧等号成立.6.2.2向量的减法运算定义与向量a长度,方向的向量，叫做a的相反向量，记结论如果a,b互为相反向量，那么a=-b,b=-a,a+b=定义向量a加上b的,叫做a与b的差，即a-b=a+(一b).求两个向量差的运算叫做向量的减法作法已知向量a,b,在平面内任取一点0,作OA=a,OB=b, b则BA=OA-OB=a-b,如图所示几何如果把两个向量a,b的起点放在一起，则a-b可以表示为意义 的向量知识点三向量的三角不等式当且仅当a,b中有一个是或a,b是方向的非零向量时左侧等号成立.当且仅当a,b中有一个是或a,b是方向的非零向量时右侧等号成立.定义长度方向当λ>0时，λa的方向与a的方向总结设λ,μ为实数，那么对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：·条件θ叫做向量a与b的夹角范围—特殊情况a与_b,记作已知条件两个非零向量a与b,它们的夹角为θ定义叫做向量a与b的数量积(或内积)规定(1)如图1,设a,b是两个非零向量，AB=a,CD=b,我们考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A₁,B₁,得到A₁B₁,我们称上述变换为向量a向向量b,A₁B1叫做向量a (2)如图2,我们可以在平面内任取一点0,作OM=a,ON=b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向(3)设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则OM₁与e,a,θ之间知识点四向量数量积的性质设a,b是非零向量，它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e=e·a=_当a与b反向时，a.b=知识点五向量数量积的运算律对于向量a,b,C和实数2,有知识点一平面向量基本定理条件是同一平面内的两个结论对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使基底若e,e2不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底注(1)基底的选取不唯一(3)零向量作为基底知识点一平面向量的正交分解及坐标表示 ,叫做把向量作正交分解.产生过程建系选底在平面直角坐标系中，设与__方向线性表示定义坐标有序数对_叫做向量的a坐标，记作a=(x,y)文字符号两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和若a=(x1,y1),b=(x₂,y₂),则a+两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差若a=(x1,y1),b=(x₂,y2),则a-重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知向量AB的起点A(x1,yi),终点B(x₂,y2),则AB=文字符号数乘向量实数与向量的积的坐标等于用这个实数若a=(x,y),λ∈R,则λ知识点四平面向量共线的坐标表示前提条件a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0结论已知点Pi(x1,y1),P₂(x2,y2),若点P是线段P₁P2的中点，则点P的坐标是;若点P是线段P₁P₂上距P1较近的三等分点，则点P的坐标是;若点P 6.3.5平面向量数量积的坐标表示知识点一两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知a=(x1,y1),b=(x2数量积两个向量的数量积等于它们,即a·b=两个向量垂直a,b是非零向量，a⊥b⇔知识点二三个重要公式知识点二余弦定理的推论 (1)一般地，三角形的和它们 叫做解三角形.注：(1)余弦定理的特点 叫做三角形的元素.应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知正弦定①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相②符号语言：a,b及C,则有正弦定②asinB=bsinA;bsinC=c⑤a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(可实现边到角的转化)⑥(可实现角到边的转化)理应用解三角(1)已知,解三角形；(2)已知,解三角形. +c)(其中，a,b,c是三角形ABC的各边长，r是三角形ABC的内切圆半径);(2)结构形式：分子为三边边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式。(3)揭示规律：描述三角形中边与角的一种数量关系。(4)主要功能：实现三角形中边角关系的转化。7.1复数的概念形如a+bi(a,b∈R)的数叫做__,其中i叫做._,满2.复数的表示复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R),其中的a与b分别叫做复数z3.复数集的定义及表示全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做,通常用大写字母C表示.对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当.时，它是实数；当且仅当时，它是实数0; 时，它叫做虚数；当时，它叫做纯虚数.虚数集在复数集C={a+bila,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),轴叫做_.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都(1)复数(2)复数(2)记作或.(4)模的几何意义：复数z的模就是复数z=a+bi(a,b∈R)所对应的点z(a,b)知识点四共轭复数(1)定义：当两个复数的实部_,虚部_时，这两个复数叫做互为.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做_·(2)复数z的共轭复数用z表示，即如果z=a+bi(a,b∈R),那么z(3)性质：7.2.1复数加减法及其几何意义(a+bi)+(c+di)=(a,b,(a+bi)-(c+di)=.(a,b,c,d∈R).复数加法的几何意义|复数z1+z2是以OZ,oZ₂为邻边的平行四边形的 所对应的复数复数减法的几何意义复数z₁-z2是从向量OZ2的 指向向量OZ₁的的向量Z₂Z₁所对应的复数y₁,x₂,y₂∈R),则点Z1,Z₂之间的距离为IZ1Z₂|=IZiZ₂|=|z₂—z|=(x₂+yzi)—(x₁+yii)|=|(x₂—x1)+(y27.2.2复数的乘除运算+di)=_可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i²换成,并且把实部和虚部分别合并即可.知识点二复数的乘法运算律分配律：zi(z₂+z3)=复数除法的实质：(1)棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四(2)棱柱的表示：棱柱ABCDE-A'B'CDE'.(3)棱柱的结构特征：①底面互相且(4)棱柱的分类：①按棱柱底面边数分_(5)特殊的棱柱相等是矩形底面四棱柱(1)棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.(2)棱锥的表示：棱锥S-ABCD.SA(3)棱锥的结构特征：①仅有一个底面是多边形(5)特殊的棱锥(1)棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那(2)棱台的表示：棱台ABCD-A'B'C'D.(4)棱台的分类：(5)特殊的棱台腰梯形的棱台.上底面扩大，顶点扩大，得到上底面与下底面相似成的面所围成的旋转体叫做圆柱.如图中的圆柱记作圆柱00'.(2)圆柱的结构特征： ___①圆柱有无数条母线，它们且 ___②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆.④过任意两条母线的截面是矩形.形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.如图中的圆锥记作圆锥SO.轴AB做.如图中的圆台记作圆台00'.轴球面所围成的旋转体叫做,简称球.如图中的球记作球O.5.简单组合体：由简单几何体组合而成的几形式：一种是由简单几何体而成；一种是由简单几何体或挖去一部分而成.知识点一：用斜二测画法画平面图形的直观图的(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O,画直观图时， (或),它们确定的平面表示水平面.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持,平行于y轴(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可.(2)画z'轴，z′轴过点O',且与x′轴的夹角为90°,并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可),连线成图.(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示.③平行于x,z轴的长度不变.2.棱锥的表面积3.棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和.2.棱锥的体积知识点三、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积1.圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱底面积:S底=_—侧面积：S侧=2πrl圆锥侧面积：S侧=.—圆台上底面面积：S上底=(r',r分别是上、下底面半径，h是高).3.球的表面积和体积缩小(1)概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中的，是的.②在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常,这样可使画出的图形立体感更强一些.如图2.或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图1中的平面α,也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD.知识点二点、线、面之间的关系文字语言表达图形语言表达符号语言表达点A在直线1上点A在直线l外点A在平面a内点A在平面α外直线1在平面a内直线1在平面a外平面α,β相交于1基本事实内容图形符号作用基本事实1过_,有且只有一个平面→存在唯一的平面α使A,B,C∈α用来确定一个平面基本事实2如那么这条直线在这个平面内用来证明直线在平面内基本事实3如果,那么它们有且只有一条=a∩β=l,且P∈1用来证明空间的点共线和线共点推论内容图形符号作用推论1经过一条直线和这条直线外一点，平面α,使A∈α,用来确定一个推论2经过两条有且只有一个平面a∩b=P→存在唯一的平面a,使aca,推论3经过两条有且只有一个平面a//b→存在唯一的平面α,使aca,bca①②平行直线：在同一平面内，公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，公共点.位置关系公共点符号语言图形语言直线在平面内直线面外直线与平面相交直线与平面平行当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外.位置关系公共点没有公共点8.5.1直线与直线平行知识点一基本事实4(平行线的传递性)注：(1)在同一平面内没有公共点的两条直线叫做平行直线文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角符号语言图形语言定理条件图形语言符号语言简记判定如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行该直线与此平面平行线线平行，则线面平性质一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面该直线与交线平行线面平行，则线线平知识点一平面与平面平行定义平面与平面公共点知识点二平面与平面平行的判定定理定理图形文字符号平行的判定定理与另一个平面平行，则这两个平面平行简记线面平行，则面面平行作用(1)平面与平面平行的定义；(2)平面与平面平行的判定定理。知识点三平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线.符号语言 图形语言简记面面平行，则线面平行.作用证明两条直线(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行；(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.8.6.1直线与直线垂直2.分类有且仅有一个公共点：相交直线平行直线直无公共点异面直线相交直线共面直线直线平行直线共面直线知识点二直线与直线垂直如图，已知两条异面直线a,b,经过空间任一点0分别作直线a'//a,b'//b,(1)如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互(2)当两条直线a,b相互平行时，我们规定它们所成的角为·(3)空间两条直线所成角θ的取值范围是8.6.2直线与平面垂直知识点一直线与平面垂直的定义及画法1.定义：一般地，如果直线l与平面α内的,我们就说直线1与平1的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.2.画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.如图所示.度叫做这个点到该平面的距离.知识点二直线与平面垂直的判定定理1.文字语言：如果一条直线与一个平面内的,那么该直线与此平面垂直.3.图形语言：如图所示.知识点三直线与平面所成的角的定义1.定义：,但,这条直线叫做这个平面的斜线，叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引_,叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和,叫做这条直线和这个平面所成的角.2.图形：如图所示.文字语言符号语言图形语言作用①线面垂直→线线平行；②作平行线1.一条直线与一个平面平行时，这条直线上到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.2.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.【常用结论】1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.4.过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.5.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.8.6.3平面与平面垂直直立式平卧式(6)直二面角：平面角是_的二面角叫做直二面角.(7)二面角的平面角α的取值范围是_*①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_,就说这文字语言一个平面经过另一个平面的,则这两个平面垂直图形语言符号语言 文字语言符号语言图形语言简记面面垂直，则线面垂直.面面垂直判定线线垂直线面垂直的定义是线线垂直的判定线面垂直面面垂直面面垂直的(1)全面调查相关概念：在一个调查中，把调查对象的称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体.(2)抽样调查相关概念：把从总体中抽取的_个体称为样本，样本中包含的称为样本容量，简称样本量.取n(1≤n≤N)个个体作为样本.把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样.如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样. 简单随机抽样和简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.(2) ,(1)抽签法：先给总体中的N个个体,然后把所有写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为,并将连续抽取N次，使与号签上的编号对应的个体进入样(2)随机数法①用随机试验生成随机数.知识点四：总体均值和样本均值(2)总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量中，不同的值有k(k≤N)个，不妨记为Y,Y₂,…,Y,其中Y出现的频数f(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=(3)样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为yY,Y₂,,yn,则称y=为样本均值，又称样本平均数.(4)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数Y9.2.1总体取值规律的估计知识点一频率分布表与频率分布直方图的制作步骤(1)求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差.(2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，为方便起(3)将数据分组：通常对组内数据取区间，最后一组数据取闭区间.(4)列频率分布表：一般分为分组、频数累计、频数、频率四列.其中频数合计(5)画频率分布直方图：画图时，以横轴表示分组，纵轴表示 总和等于1,即样本数据落在整个区间的频率为1.知识点二其它统计图表(1)条形图(如图).某单位某年的水、电、交通开支(2)扇形图(如图).某校某年一个学期的开其支劳0支教研培训开支(4)直方图(如图).(4)直方图(如图).组距180190200210220内径/mm(3)折线图(如图).某市某年各月降水量统计图(1)扇形图：直观描述各类数据占总数的(2)条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率.(3)折线图：描述数据随的变化趋势.9.2.2总体百分位数的估计知识点一第p百分位数2、求第p百分位数步骤第1步，按排列原始数据.;第2步，计算i=n×p%.(i是原始数据的编号);第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j,则第P百分位数为第项数若i是整数，则第P百分位数为第i项与第i+1项数据的_·25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75知识点二频率分布直方图中第p百分位数的计算根据频率分布直方图计算样本的第P百分位数第1步：计算各组的频率(即计算各小长方形的面积)第2步：确定百分位数所在的区间(a,b).确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%,f%,第3步：第P百分位数为9.2.3总体集中数据的估计知识点一众数、中位数、平均数(或中间两个数的)叫做这组数据的中位数.数.势.知识点二总体集中趋势的估计1、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.(1)直方图形状→平均数和中位数平均数，中位数中平均数，中位数中位数平均数平均数中位数3、平均数、中位数和众数分别适合描述什么特点的数据?*对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以*(1)样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替.(2)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等.(3)将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值.9.2.4总体离散程度的估计一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差.极差在一定程度上刻画了数据的离散程度，但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少.(1)平均数为x=三.(2)方差为s²=三(3)标准差为s=三注1:如果总体中所有个体的变量值分别Y,Y₂,…,Y,总体平均数为Y,则称S²=其中Y出现的频数为f(i=1,2…,k),则总体方差S²=知识点三方差和标准差的取值范围注：s=0、s²=0表示这组数据中的每个数据到平均数的距离都是0,这组数据的知识点四方差、标准差的意义(1)标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据(2)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策，在平均数相等知识点五具有线性关系的数据的平均数和方差若数据x1,x2,…,xn与y1,y2,…,yn之间满足关系yi=axi+b,且数据x1,x2,…,xn的平均数为x,方差为s²,那么y1,y2,…,yn的平均数为,方差为,标准差为.知识点六分层随机抽样的平均数与方差的求法假设第一层有m个数，分别为x1,x2,…,Xm,平均数为x,方差为s²;第二层有n个数，分别为y1,y2,…,yn,平均数为y,方差为s2.则若记总的样本平均数为z,样本方差为s²,则可以算出10.1.1有限样本空间与随机事件知识点一随机试验的概念及特点E表示.随机试验的特点：①试验可以在相同条件下进行.结果.知识点二样本点及样本空间定义字母表示样本点本点空间全体样本点的集合称为试验E的样本空间本空间@n,则称样本空间Q={@1,02,…,On}我们将样本空间Ω的_称为,简称事件，并把只包含样本点的事件称为_,随机事件一般用大写字母A,B,C,…表空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称×10.1.2事件的关系和运算知识点一两个事件的运算定义符号图示并事件(或和事件)一般地，事件A与事件B 本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)(或A+B)交事件(或积事件)一般地，事件A与事件B _发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)知识点二两个事件的关系若事件A发生，则事件B发A(或事件A包含于事件B)如果事件B包含事件A,事件A也相等包含事件B,即B≥A且A2B,则称记作__互斥如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即则称事件A与事件B(或互不相容).发生，即AUB=Ω,且A∩B=Ø,那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记思考：互斥事件与互为对立事件之间有怎样的关系?10.1.3古典概型知识点一事件的概率对随机事件发生的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用表示.知识点二古典概型(1)有限性：样本空间的样本点只有;(2)等可能性：每个样本点发生的可能性称试验E为古典概型试验，其数学模型称为模型，简知识点三古典概型的概率公式1、一般地，设试验E为古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.2、求古典概型概率的计算步骤(1)确定样本点总个数n;(2)确定事件A包含的样本点个数k;(3)计算事件A的概率10.1.4概率的基本性质性质1对任意的事件A,都有P(A)0.性质3若事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=推论若事件A₁,A₂,…,Am两两互斥，则P(A₁UA₂U…UAm)=性质4若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)+P(B)=_o推论对于任意事件A,性质6设A,B是一个随机试验中的两个事件，有P(AU10.2事件的相互独立性知识点一事件的独立性定义对任意两个事件A与B,如果P(AB)=.成立，则称事件A与事件B相互独立.相互独立事件互斥事件注：1、若P(A)>0且P(B)>0,则2、相互独立的事件可能同时发生知识点三两两独立与相互独立的区别定义设A、B、C是三个事件，若满足等式则称事件A、B、C两两相互独立定义设A、B、C是三个事件，若满足等式则称事件A、B、C相互独立注：两两独立相互独立思考1:不可能事件与任何事件相互独立吗?必然事件呢?思考2:如果事件A与事件B相互独立，那么么A与B,A与B,A与B各是什知识点四相互独立事件的性质性质1:必然事件Ω、不可能事件の与任意事件性质2:如果事件A与B相互独立，那么A与B,A与B,A与B也都相互独立.知识点五相互独立事件概率的求法若事件A与事件B相互独立，且概率分别为P(A)、P(B)事件表示概率生个发生个发生10.3频率与概率知识点一频率的稳定性1、频率：相同条件下，重复n次实验，事件A出现的比例，2、概率：度量事件A发生可能性大小的数值，记作P(A).3、频率与概率的区别与联系(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越概率.(2)频率本身是的，在试验前不能确定.(3)概率是一个的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).(1)随机数：要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，分别标上1,2,3,…,n,放入一个容器中，充分搅拌后取出一个球，这个球上的号码就称为随机数.周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质.因此，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数.用计算器或计算机产生优点保证机会均等操作简单、省时、省力缺点耗费大量人力、物力、时间，或不具有实际操作性由于是伪随机数，故不能保证完全等可能3、利用随机模拟法估计概率随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛(MonteCarlo)方法.(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.如图所示.以A为起点，B为终点的有向线段记作AB,线段AB的长度也B(终点)线段的方向表示向量的方向字母表示：向量也可以用字母a,b,c,…表示(印刷用黑体a,b,c,书写用a,方，さ) 向量名称定义零向量单位向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量；向量a与b平记作a//b,规定：零向量与任意向量平行(零向量的方向是任意的)相等向量相反向量[注意](1)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同.(2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合.相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量.(3)判断两个向量的关系：一要判断大小，二要判断方向，如遇上零向量，必须 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.向量求和的法则三角形法则己知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫a做与b的和，记作a+b,即a+b=这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则口诀：首尾顺次相连，由箭尾指向箭头平行四边形法则BC以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作□OACB,则OC就是向量a与b的和.对于零向量与任意向量a,规定a+0=0+a=_a_.两个不共线的向量求和.AiA₂+A2A₃+A3A₄+...+An-1A₁=0.知识点二向量的三角不等式当且仅当a,b中有一个是_0_或a,b是方向相反的非零向量时左侧等号成立.当且仅当a,b中有一个是_0_或a,b是方向相同的非零向量时右侧等号成立.知识点三向量加法的运算律6.2.2向量的减法运算定义结论定义向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b).求两个向量差的运算叫做向量的减法作法已知向量a,b,在平面内任取一点0,作OA=a,OB=b, b则BA=OA-OB=a-b,如图所示几何意义如果把两个向量a,b的起点放在一起，则a-b可以表示为由向量b的终点指向向量a的终点的向量知识点三向量的三角不等式 当且仅当a,b中有一个是o或a,b是方向相同的非零向量时左侧等号成立.当且仅当a,b中有一个是0或a,b是方向相反的非零向量时右侧等号成立.6.2.3向量的数乘运算定义长度方向当λ<0时，λa的方向与a的方向相反总结向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算知识点二向量数乘的运算律运算律设λ,μ为实数，那么向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一的实数λ使得b=λa条件两个非零向量a,b产生过程0是平面上的任意一点，作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角范围 记法 特殊情况a与b反向已知条件两个非零向量a与b,它们的夹角为θ定义_abcosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)规定零向量与任一向量的数量积为0(1)如图1,设a,b是两个非零向量，AB=a,CD=b,我们考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A,B,得到A₁B1,我们称上述变换为向量a向向量b的投影,A₁B1叫做向量a在向量b上的投影向量.(2)如图2,我们可以在平面内任取一点0,作OM=a,ON=b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M₁,则__OM₁___就是向量a在向量b上的投影向量.(3)设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则OM₁与e,a,θ之间设a,b是非零向量，它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e=ea=_a*_知识点五向量数量积的运算律第51页共90页对于向量a,b,c和实数λ,有(2)(aa)·b=_ala.b)=__a(a.b)__(结合律).知识点一平面向量基本定理条件e,e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,基底若e,e₂不共线，我们把_叫做表示这一平面内所有向量的一个基底注(1)基底的选取不唯一(5)零向量不可以作为基底知识点一平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量作正交分解.产生过程建系选底在平面直角坐标系中，设与x轴、_y轴_方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底线性表示定义坐标特殊向量的坐标文字符号两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和若a=(xi,y₁),b=(x₂,y₂),则a+两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差若a=(x1,y1),b=(x₂,y₂),则a-重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的已知向量AB的起点A(x1,y1),终点B(x₂,y2),则AB=(x₂-x₁,v2-y₁)文字符号数乘向量实数与向量的积的坐标等于用这个实数若a=(x,y),λ∈R,则λ前提条件a=(x1,yi),b=(x2,y₂),其中b≠0结论向量a,b(b≠0)共线的充要条件是x₂y₁=x₁y₂重要公式重要公式已知点Pi(x1,y1),P2₂(x2,y2),若点P是线段P₁P2的中点，则点P的坐标是若点P是线段P₁P₂上距P₁较近的三等分点，则点P的坐标;若点P是线段P₁P₂上距P₂较近的三等分点，则点P的6.3.5平面向量数量积的坐标表示知识点一两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示数量积两个向量垂直a,b是非零向量，a⊥b⇔_x₁x₂+y₁y₂=0三个 三个 向量的夹角公式：设a,b都是非零向量，a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂),0是a与b的夹角，-,十、+,6.4.3余弦定理三角形中任何一边的平方，等于其它两边平方和减去两边及夹角余弦乘积的二倍.即知识点二余弦定理的推论C_叫做三角形的元素.(2)已知三角形几个元素求其它元素的过程叫做解三角形.注：(1)余弦定理的特点①适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立。②揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间(3)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。知识点四余弦定理及其推论的应用①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相②符号语言：在△ABC中，若角A、B及C所对边的边长分别为a,b及c,则有 _ 在△ABC中，若角A、B及C所对边的边长分别圆半径为R,②asinB=bsinA;bsinC=csinB;asinC=csinA;③sinA:sinB:sinC=a:b⑤a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(可实现边到角的转化)⑥(可实现角到边的转化)理应用解三角(1)已知两角及一边,解三角形；(2)已知两边及一边对角，解三角形.(其中，a.b.c是三角形ABC的各边长，7是三角形ABC的内切圆半径);(5)适用范围：正弦定理对任意三角形都成立。(6)结构形式：分子为三边边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式。(7)揭示规律：描述三角形中边与角的一种数量关系。2.复数的表示复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R),其中的a与b分别叫做复数z4.复数集的定义及表示全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}表示.知识点二复数的分类对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0_时，它是实数0;当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.b=0b≠0实数a=0纯虚数a≠0非纯虚数注：两个复数不一定能比较大小，当两个复数都是实数时，可以在复数集C={a+bila,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,7.1.2复数的几何意义(2)复数(5)定义：向量O之的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值 (7)|z|=.la+bil=__√a²+b²_(a,(8)模的几何意义：复数z的模就是复数z=a+bi(a,b∈R)所对应的点z(a,b)知识点四共轭复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数·(3)性质：①2=z②实数的共轭负数是它本身，即z=z⇔z∈R7.2.1复数加减法及其几何意义(a+bi)+(c+di)=.(a+c)+(b+d)i(a+bi)-(c+di)=.(a-c)+(b-d)i复数加法的几何意义复数z₁+z₂是以OZ₁,OZ₂为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数复数减法的几何意义复数z₁-z₂是从向量OZ2的终点指向向量的终点的向量Z₂Z1所对应的复数y₁,x₂,y₂∈R),则点Z₁,Z₂之间的距离为IZZ2I=|ZZ₂I=|z₂—zl=|(x₂+yzi)—(x1第59页共90页可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i²换成-1,并且把实部和虚部分别合并即可.8.1.1棱柱、棱锥、棱台3.旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋(1)棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.(2)棱柱的表示：棱柱ABCDE-A'B'CD'E'.(5)特殊的棱柱平行六面体直平行六面体是矩形底面四棱柱(1)棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点(2)棱锥的表示：棱锥S-ABCD.B(3)棱锥的结构特征：①仅有一个底面是多边形(5)特殊的棱锥正棱锥：底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥(1)棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那(2)棱台的表示：棱台ABCD-A'B'C'D'.(4)棱台的分类：(8)特殊的棱台腰梯形的棱台.上底面扩大，(1)圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.如图中的圆柱记作圆柱00'.(2)圆柱的结构特征：②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆.④过任意两条母线的截面是矩形.转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.如图中的圆锥记作圆锥SO.AB如图中的圆台记作圆台00'.轴面，球面所围成的旋转体叫做球体_,简称球.如图中的球记作球O.oo挖去一部分而成.(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点0,画直观图时，它们确定的平面表示水平面.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持不变,平行于y轴的线段，长度变为原来的一半半平行重合不改变99(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可.(2)画z'轴，z'轴过点O',且与x′轴的夹角为90°,并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可),连线成图.(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示.③平行于x,z轴的长度不变.2.棱锥的表面积3.棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和.2.棱锥的体积知识点三、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系1.圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱侧面积：S侧=2πrl圆锥侧面积：S侧=ml圆台2.圆柱、圆锥、圆台的体积(r',r分别是上、下底面半径，h是3.球的表面积和体积4、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系8.4.1平面(2)平面的画法：①常用矩形的直观图,即平行四边形表示平面.当平把平行四边形的一边画成竖向.②在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常用虚线表示被遮挡的部分,这样可使画出的图形立体感更强一些.如图2.四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图1中的平面α,也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD.知识点二点、线、面之间的关系图形语言表达点A在直线l上点A在直线1外点A在平面α内点A在平面α外直线l在平面α内直线l在平面α外平面α,β相交于1知识点三平面的基本性质基本事实内容图形符号作用基本事实1过不共线的三点，有且只有一个平面aB.c→存在唯一的平面α使A,B,C∈a用来确定一个平面基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 用来证明直线在平面内基本事实3合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直→a∩β=l,且P∈1用来证明空间的点共线和线共点推论内容图形符号作用推论1经过一条直线和这条有一个平面A∈BC→存在唯一的平面a,使A∈α,用来确定一个推论2有且只有一个平面a∩b=P→存在唯一的平面α,使aca,推论3有且只有一个平面a//b=存在唯一的平面α,使aca,bca8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系2.异面直线②共面直线位置关系公共点符号语言图形语言直线在平面内 无数个直线面外直线与平面相交 1个直线与平面平行 当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，位置关系公共点没有公共点 8.5.1直线与直线平行知识点一基本事实4(平行线的传递性)(1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行_·(2)符号语言：a//b,b//c→a//c注：(1)在同一平面内没有公共点的两条直线叫做平行直线文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等符号语言图形语言C图28.5.2直线与平面平行定理图形语言符号语言简记判定如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行该直线与此平面平行线线平行，则线面平性质一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面该直线与交线平行线面平行，则线线平8.5.3平面与平面平行知识点一平面与平面平行定义知识点二平面与平面平行的判定定理定理图形文字符号平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面行线面平行，则面面平行作用证明两个平面平行第71页共90页(1)平面与平面平行的定义；(2)平面与平面平行的判定定理。..文字语言符号语言 图形语言简记面面平行，则线面平行.作用(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行；(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.8.6.1直线与直线垂直2.分类有且仅有一个公共点：相交直线异面直线平行直线异面直线相交直线共面直线平行直线知识点二直线与直线垂直如图，已知两条异面直线a,b,经过空间任一点0分别作直线a'//a,b'//b,(1)如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b(2)当两条直线a,b相互平行时，我们规定它们所成的角为0(3)空间两条直线所成角θ的取值范围是 8.6.2直线与平面垂直知识点一直线与平面垂直的定义及画法1.定义：一般地，如果直线1与平面α内的所有直线都垂直,我们平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.2.画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.如图所示.长度叫做这个点到该平面的距离.知识点二直线与平面垂直的判定定理1.文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直_,那么该直线与此平面垂直.2.符号语言：mca,ncα,m∩n=P,l⊥m,l⊥n3.图形语言：如图所示.知识点三直线与平面所成的角的定义1.定义：一条直线1与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点P叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO过垂足0和斜足A的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和_它在平面上的射影所成夹角,叫做这条直线和这个平面所成的角.2.图形：如图所示. 直线与平面所成的角θ的取值范围是_ 文字语言垂直于同一平面的两条直线相互平行符号语言图形语言作用①线面垂直→线线平行；②作平行线1.一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.2.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.【常用结论】1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.4.过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.5.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.直立式_____平卧式则二面角a-l—β的平面角是∠AOB.就说这两个平面互相垂直.③记作：α⊥β.文字语言则这两个平面垂直图形语言符号语言 文字语言符号语言图形语言简记面面垂直，则线面垂直.知识点四直线、平面之间的位置关系相互转化面面垂直判定线面垂直判定线线垂直线面垂直的定义是线线垂直的判定面面垂直判定线面垂直；面面垂直面面垂直的性质是线面垂直的判定9.1.1简单随机抽样(1)全面调查(2)抽样调查相关概念：把从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的称为样本容量，简称样本量.把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样.如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的每个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样. 放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.(1)抽签法：先给总体中的N个个体编号,然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为_号签,并将量为n的样本.(2)随机数法①用随机试验生成随机数.则称Y=为总体均值，又称总体平均数.(2)总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量中，不同的值有k(k≤N)个，不妨记为Y,Y₂,…,Y,其中Y出现的频数f(i=1,2…,k),则总体均(3)样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别又称样本平均数.(4)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数Y.9.2.1总体取值规律的估计知识点一频率分布表与频率分布直方图的制作步骤(1)求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差.(2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，为方便起(3)将数据分组：通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取(5)画频率分布直方图：画图时，以横轴表示分组，纵轴表示 面积总和等于1,即样本数据落在整个区间的频率为1.知识点二其它统计图表(1)条形图(如图).某市某年各月降水量统计图(2)扇形图(如图).(2)条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率.(3)折线图：描述数据随时间的变化趋势.9.2.2总体百分位数的估计知识点一第p百分位数使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有第2步，计算i=n×p%.(i是原始数据的编号);第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j,则第P百分位数为第j项25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.知识点二频率分布直方图中第p百分位数的计算根据频率分布真方图计算样本的第P第1步：计算各组的频率(即计算各小长方形的面积)第2步：确定百分位数所在的区间(a,b).确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%,fb%,第3步：第P百分位数为9.2.3总体集中数据的估计知识点一众数、中位数、平均数数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.数的平均数.势.1、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.(2)直方图形状右拖尾→平均数大于中位数平均数、中位数平均数、中位数中位数平均数平均数中位数5、平均数、中位数和众数分别适合描述什么特点的数据?对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用中位数或平均数；对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数。知识点三频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法(1)样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替.(2)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等.(3)将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值.9.2.4总体离散程度的估计知识点一极差数据的离散程度，但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少.知识点二方差、标准差的定义(4)平均数(6)标准差为注1:如果总体中所有个体的变量值分别Y,Y₂,…,Y,总体平均数为Y,则称S²=知识点三方差和标准差的取值范围注：s=0、s²=0表示这组数据中的每个数据到平均数的距离都是0,这组数据的知识点四方差、标准差的意义(1)标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小.(2)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策，在平均数相等知识点五具有线性关系的数据的平均数和方差若数据x1,x2,…,xn与y1,y2,…,yn之间满足关系yi=axi+b,且数据x1,x2,…,xn的平均数为x,方差为s²,那么y1,y2,…,yn