线性代数复习课件

《线性代数》

总复习第一章教学要求：1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。3．理解克莱姆法则及其应用。n阶行列式的计算方法很多，除直接按定义计算外，一般还有下列方法：

1．利用行列式的性质化为三角形行列式计算法

2.降阶展开法

行列式的计算第二章教学要求：1．理解矩阵的概念。2．了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。3．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式。4．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆。

5．掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法；及求矩阵的秩的方法。6．了解分块矩阵及其运算。第三章教学要求：1．了解n维向量的概念。2．理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论。3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和求向量组的极大线性无关组及秩。4．了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的关系。重要结论2重要结论15．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。6．理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念及求法。3．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。4．掌握用行初等变换求非齐次线性方程组通解的方法。Ax=br(A)=r(A,b)=n有唯一解r(A)

r(A,b)无解齐次方程的基础解系克拉默法则，r(A)=r(A,b)<n有无穷多解初等变换，非齐次方程的一个特解非齐次方程的通解b=0b≠0

step1.增广矩阵初等行变换化为行阶梯形矩阵step2.

讨论方程组的解step3.（无穷解时）进一步将矩阵化为各首非零元为1，所在列其余元素为零的矩阵step4.

选择自由未知量，基本未知量step5.

写出同解方程step6.

求出基础解系step7.

写出通解怎样选择？怎样求？齐次线性方程组求解过程

step1.增广矩阵初等行变换化为行阶梯形矩阵

step2.

讨论方程组的解step3.（无穷解时）进一步将矩阵化为各首非零元为1，所在列其余元素为零的矩阵step5.

求出非齐次线性方程组的特解step7.求出齐次线性方程组的通解step8.

写出非齐次线性方程组的通解怎样求？非齐次线性方程组求解过程step4.

写出非齐次线性方程组的同解方程组step6.

写出齐次线性方程组的同解方程组第四章教学要求：1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。2．了解相似矩阵的概念、性质及掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件。3．掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法。结论4．了解内积的概念，掌握线性无关向量组标准规范化的施密特正交化方法。向量的单位化等。第五章教学要求：1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解二次型秩的标准形、规范形的概念，了解正、负惯性指标（数）。2．掌握化二次型为标准形的方法（配方法）。3．会判定二次型和对应矩阵的正定性等。化二次型为标准形的方法二次型不出现平方项，只有xixj的乘积项.平方项系数至少有一个不等于零。

判别n元实二次型正定的充要条件是：1）A是正定矩阵2）f的正惯性指数为n3）f的规范形为4）f的标准形5）存在可逆矩阵C，使实对称矩阵A=CTC6）实对称矩阵A合同于I7）实对称矩阵A的n个特征值全大于零。课程全部结束预祝大家取得好成绩充要条件1线性相关一般情况当向量个数＝向量维数相应的齐次线性方程组x1a1+x2a2+…+xmam＝θ有非零解系数行列式D＝0线性无关相应的齐次线性方程组x1a1+x2a2+…+xmam＝θ只有唯一零解系数行列式D≠0充要条件2线性相关其中至少有一个向量可以由其余m-1个向量线性表示线性无关其中每一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示部分与整体长短变化向量个数与维数线性相关部分相关=>

整体相关缩短不变性若向量组中向量个数＞向量维数必线性相关线性无关整体无关=>

部分无关加长不变性Rn

中，任一无关组向量个数≤向量维数n向量组a1,a2,···,am线性无关，而添加β

形成的向量组a1,a2,···,am,β

线性相关，则β可由a1,a2,···,am

线性表示，且表示唯一。结论1结束计算问题1）怎样求矩阵A的秩？------

行、列则秩（A）＝行阶梯形矩阵中非零行的行数－－最常用2）怎样求向量组

的秩？------

行、列⑴以向量组中各向量作为列向量，构成矩阵A；⑵求出矩阵A的秩，也即原向量组的秩3）怎样判断向量组

的相(无)关性？------

行、列⑴求出秩（）＝r⑵比较r与s的大小r=s

线性无关r＜s线性相关当向量个数＝向量维数时求D

0线性无关D=0线性相关4）怎样求向量组的一个极大无关组？-----

行⑴以向量组中各向量作为列向量，构成矩阵A；⑵

则B中各首非零元所在列对应的A的部分向量组就为向量组的极大线性无关组。5）怎样利用4)中求出的极大无关组表示其余向量？-----

行⑴

求出向量组的极大无关组；(2)解非齐次线性方程组即可。

“关于矩阵的秩”怎样的情况下矩阵的秩不变？初等变换不改变矩阵的秩矩阵等价矩阵转置乘可逆矩阵矩阵的秩不变矩阵运算对秩的影响？

⑴r(A+（－）B)≤r(A)+r(B);⑵r(AB)≤

min{r(A)，r(B)}.

行秩＝列秩＝矩阵的秩方阵的秩与行列式的关系A是可逆矩阵称A是可逆，非奇异，非退化，满秩的。A是不可逆矩阵称A是不可逆，奇异，退化，不满秩的。

设A是n阶方阵返回(2)方阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关.(3)设是n阶方阵A的一个k重特征值，则A的属于特征值的特征向量中，极大线性无关组包含的向量个数不多于k个。亦即齐次线性方程组的基础解系包含的向量个数最多有k个。

(4)设A

是一个n阶实对称矩阵，则向量个数恰有k个.求正交矩阵Q的步骤(1)求出A的特征多项式的全部不同的根，即为A的全部不同的特征值；(2)对每个特征值，解齐次线性方程组求出它的一个基础解系(3)将正交化、单位化，得到一个正交单位向量组是属于特征值的一组线性无关的量；

(4)将对应于全部不同特征值的线性无关特征向量

作为列向量构成矩阵Q，即为所求之正交矩阵．亦即使得Q-1AQ为对角矩阵，其主对角线上的元素即为A的全部特征值．结束$number{01}《线性代数第1讲》ppt课件目录线性代数的定义与性质矩阵的基本概念向量与向量空间线性方程组与矩阵的秩特征值与特征向量01线性代数的定义与性质0302线性代数是研究线性方程组、向量空间、矩阵等数学对象的学科。01线性代数的定义线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于科学、工程和经济学等领域。它主要关注线性关系和线性变换，通过这些概念来描述和解决实际问题。线性代数的基本性质线性代数是解决实际问题的有力工具，如线性方程组的求解、最小二乘法、主成分分析等。线性代数是学习其他数学分支的基础，如微积分、概率论、复变函数等都需要用到线性代数的知识。线性代数在计算机科学和工程领域也有广泛应用，如计算机图形学、机器学习、信号处理等都涉及到线性代数的概念和方法。线性代数的重要性02矩阵的基本概念矩阵是线性代数中的基本概念，由mxn个数按m行n列排列而成。矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，通常表示为二维数组。矩阵的行数和列数分别用m和n表示，矩阵中的每个元素都有一个行标和一个列标。矩阵的定义详细描述总结词总结词矩阵的运算包括加法、减法、数乘、乘法等，每种运算都有其特定的规则。详细描述矩阵的加法是将两个矩阵的对应元素相加，减法、数乘和乘法也有相应的规则。在进行矩阵运算时，必须确保参与运算的矩阵具有相同的维度或满足特定的运算规则。矩阵的运算总结词特殊类型的矩阵包括零矩阵、单位矩阵、对称矩阵、反对称矩阵等，每种矩阵都有其独特的性质和用途。详细描述零矩阵是所有元素都为零的矩阵；单位矩阵是主对角线上的元素都为1，其他元素都为零的方阵；对称矩阵是满足AT=A的矩阵；反对称矩阵是满足AT=-A的矩阵。这些特殊类型的矩阵在解决实际问题中有着广泛的应用。特殊类型的矩阵03向量与向量空间基础定义向量是有大小和方向的量，通常用实数和字母表示。向量具有加法、数乘和向量的模等基本性质。向量的模是衡量其大小的标准，计算公式为$sqrt{a^2+b^2}$。01020304向量的定义与性质03向量空间是线性代数研究的基本对象，是解决实际问题的重要工具。01抽象空间02向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、加法和数乘的结合律、加法和数乘的分配律等基本性质。向量空间的概念向量的线性组合与线性变换01变换与组合02向量的线性组合是向量加法和数乘的推广，通过线性组合可以得到向量空间中的任意向量。03线性变换是向量空间中一种特殊的映射，它将一个向量映射到另一个向量，保持向量的线性性质不变。04线性变换在几何、物理和工程等领域有广泛应用，如平移、旋转、伸缩等。04线性方程组与矩阵的秩123线性方程组的解法矩阵分解法将系数矩阵分解为几个简单的矩阵，简化计算过程，如LU分解、QR分解