2026年苏教版高三数学第二十七章复数与向量练习题试卷

2026年苏教版高三数学第二十七章复数与向量练习题试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数z满足z²+2z+3=0，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：B解析：由z²+2z+3=0得z=-1±√2i，对应的点为(-1,√2)或(-1,-√2)，均位于第二象限，故选B。2.若复数z=a+bi（a,b∈R）的模为2，且z/(1+i)为实数，则a与b的关系为（）A.a=bB.a=-bC.a+b=0D.a-b=0参考答案：D解析：|z|=2即a²+b²=4，z/(1+i)=(a+bi)/(1+i)=(a+b)/(1+i)+(b-a)i为实数，虚部为0，即b-a=0，故a=b。3.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a+b的模长等于（）A.5B.√5C.√13D.√21参考答案：C解析：a+b=(1+3,2-4)=(4,-2)，|a+b|=√(4²+(-2)²)=√20=2√5，故选C。4.若向量u=(1,1)与向量v=(k,2)的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（）A.k<0B.k>2C.k<-1或k>2D.k<-1参考答案：C解析：向量u与v的夹角为钝角，则u•v<0且u≠kv，u•v=1×k+1×2=k+2<0，解得k<-2；同时u≠kv即(1,1)≠k(1,2)，解得k≠1/2，故k<-2或k>2，但k<-2已包含k<-1，故选C。5.已知非零向量a=(1,1)，b=(1,-1)，则向量2a+b与向量a-3b的夹角余弦值为（）A.1/√2B.-1/√2C.1/2D.-1/2参考答案：A解析：2a+b=(2+1,2-1)=(3,1)，a-3b=(1-3,1+3)=(-2,4)，(2a+b)•(a-3b)=3×(-2)+1×4=-2，|2a+b|=√(3²+1²)=√10，|a-3b|=√((-2)²+4²)=√20，cosθ=-2/(√10×√20)=-2/(√200)=-2/(10√2)=-1/√2，故选A。6.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，则复数z=z₁/z₂的模长等于（）A.1/2B.1C.√2D.2参考答案：C解析：z=z₁/z₂=(1+i)/(1-i)=((1+i)(1+i))/((1-i)(1+i))=(1+2i+i²)/(1-i²)=(1+2i-1)/2=2i/2=i，|z|=|i|=1，故选C。7.已知向量a=(2,3)，b=(x,1)，若向量a与向量b的夹角为锐角，则实数x的取值范围是（）A.x>0B.x<0C.x>3/2D.x<-3/2参考答案：C解析：向量a与向量b的夹角为锐角，则a•b>0且a≠kb，a•b=2x+3>0，解得x>-3/2；同时a≠kb即(2,3)≠k(x,1)，解得k≠2/x，故x>3/2，故选C。8.已知复数z满足|z-1|=1且argz=π/3，则复数z等于（）A.1/2+√3/2iB.1/2-√3/2iC.1/2+√3/2i或1/2-√3/2iD.-1/2+√3/2i参考答案：A解析：设z=x+yi，由|z-1|=1得|(x-1)+yi|=1，即(x-1)²+y²=1；由argz=π/3得tan(π/3)=y/x=√3，即y=√3x，代入前式得(x-1)²+(√3x)²=1，即x²-2x+1+3x²=1，即4x²-2x=0，解得x=0或x=1/2，当x=0时y=0不符合argz=π/3，故x=1/2，y=√3/2，即z=1/2+√3/2i，故选A。9.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a×b的值等于（）A.-10B.10C.-14D.14参考答案：B解析：向量a与向量b的叉积在二维中定义为标量|a||b|sinθ，其中θ为夹角，a×b=1×(-4)-2×3=-10，故选B。10.已知复数z₁=2+i，z₂=1-2i，则复数(z₁+z₂)•(z₁-z₂)等于（）A.10B.-10C.5iD.-5i参考答案：A解析：(z₁+z₂)•(z₁-z₂)=(3-i)•(1+3i)=3+9i-i-3i²=3+8i+3=6+8i，(z₁-z₂)•(z₁+z₂)=|z₁+z₂|²=|3-i|²=3²+(-1)²=10，故选A。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）1.已知复数z=3-2i，则复数z的共轭复数z的模长等于________参考答案：√13解析：z的共轭复数为3+2i，其模长为√(3²+2²)=√13。2.若向量a=(2,1)，b=(1,k)，且向量a与向量b的夹角为45°，则实数k的值等于________参考答案：1或-3解析：向量a与向量b的夹角为45°，则a•b=|a||b|cos45°，2×1+k×1=√(2²+1²)×√(1²+k²)×1/√2，解得k²-6k+1=0，k=3±2√2，故k=1或k=-3。3.已知向量u=(1,2)，v=(3,-4)，则向量u×v的值等于________参考答案：10解析：向量u与向量v的叉积在二维中定义为标量|u||v|sinθ，u×v=1×(-4)-2×3=-10，故值为10。4.若复数z满足|z|=2且argz=π/4，则复数z²的模长等于________参考答案：8解析：z²=|z|²=2²=4，故模长为4。5.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a+b的模长等于________参考答案：√13解析：a+b=(1+3,2-4)=(4,-2)，|a+b|=√(4²+(-2)²)=√20=2√5，故值为2√5。三、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知复数z₁=1+i，z₂=2-3i，（1）求复数z₁+z₂的模长；（2）求复数z₁z₂的辐角主值。解：（1）z₁+z₂=(1+i)+(2-3i)=3-2i，|z₁+z₂|=√(3²+(-2)²)=√13；（2）z₁z₂=(1+i)(2-3i)=2-3i+2i-3i²=5-i，辐角主值θ满足tanθ=-1/5，θ=arctan(-1/5)，故辐角主值为arctan(-1/5)。2.已知向量a=(3,4)，b=(1,2)，（1）求向量a与向量b的夹角余弦值；（2）若向量c与向量a垂直且|c|=5，求向量c的坐标。解：（1）a•b=3×1+4×2=11，|a|=√(3²+4²)=5，|b|=√(1²+2²)=√5，cosθ=11/(5×√5)=11/(5√5)=11√5/25；（2）设c=(x,y)，由a•c=0得3x+4y=0，|c|=√(x²+y²)=5，联立得x²+y²=25，解得x=±4，y=∓3，故c=(4,-3)或c=(-4,3)。3.已知复数z满足|z|=2且argz=π/3，（1）求复数z的代数形式；（2）求复数z³的模长和辐角主值。解：（1）z=|z|(cosθ+isinθ)=2(cosπ/3+isinπ/3)=2(1/2+√3/2i)=1+√3i；（2）z³=(1+√3i)³=1+3√3i+9i²+3√3i³=1+3√3i-9-3√3i=-8，模长为8，辐角主值为π。4.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，（1）求向量a与向量b的夹角正弦值；（2）若向量c与向量a平行且c的起点为(1,2)，终点为(3,m)，求实数m的值。解：（1）a•b=3×1+(-4)×2=3-8=-5，|a|=√5，|b|=√5，sinθ=|a×b|/(|a||b|)=|-10|/(√5×√5)=10/5=2，但sinθ最大为1，故sinθ=1；（2）向量c=(3-1,m-2)=(2,m-2)，向量a=(1,2)，由c∥a得2/m-2=2/1，解得m=1。5.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，（1）求复数z₁/z₂的模长；（2）若复数z满足z²=