线性代数(同济六版)知识点总结

alla12

1.二阶行列式——对角线法则：|aa

a21a22=ll22~%2a21

2.三阶行列式aa

12u

①对角线法则aa=ana22a33+a12a23a3i+a]3a21aM-aaa-aaa,-aaa

21a2223n2332122l3132231

a”a3333

②按行（列）展开法则2

全排列：n个不同的元素排成一列，

所有排列的种数用Pn表示，pn=n!

逆序数：对于排列PiP2“.p〃，如果排在元素上前面，且比Pi大的元素个数有&个，则Pi这个元素的逆序数为5

整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。

奇掉列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n个元素的所有排列中，奇偶各占•半，即孩

对换:一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.

4.

aa1a.3

u2其中：71/273是1,2,3的一个排列，

a

a”a。2s=1(-1/产2j2a3上3是排列/1/2J3的逆序数

aga23a33

5.

下三角行列式:副三角跟副对角相识

0

anlan2•••ann

对角行列式:副对角行列式:

1

Xn(n-l)

—入]入2***入入2

(-1厂认

6.行列式的性质：

①行列式与它的转置行列式相等.（转置:行变列，列变行）。D=DT

②互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：两行（列）相同的行列式值为零。互换两行：勺一ri

③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k,等于用数k乘此行列式。第i行灵k:二

推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面

④行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0

⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如：

ab

ai2(ljC]j).aaa•・・aaa・.・・・・a

il+,inlli2t,inili2C】jin

a22°，.MjC2j)-b・・

a21+*③2na21a22•・•2j-a21a22.C2j•・・a2n

_•-a2n

••+••

*•••*■*•*

******•***

c)aa♦・♦aaa••••・•a

+njz•annnln2,*nnnln2%nn

⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如

aakaaa

U…ii+ij…ij…inailaiiaij…ain

aaa

212i+ka?j…a2j…2na21…a2i…a2j,,,a2n

・

•♦■♦■♦•■•■•••

♦・•♦••••

anl…ani+kanj…anj…annEi.••Q,Q,

nl♦ninjann

第j列的k倍加到第i列上：q+kq

7.重要性质：利用行列式的性质rz+krj或q+kCj，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n阶

行列式的值。（P11页例7）

8.行列式按行（列）展开法则（***重要***）

①重要概念：

余子式：在n阶行列式中，把元素的所在的第/行和第j列划去，剩下的（。-NF个元素按原来的排法构

成的n-1阶行列式叫做的的余子式，记为Mg

代数余子式：记4尸（-1严为元素叫的代数余子式。

②重要性质，定理

1）第i行各元素的余子式，代数余子式与第i行元素的取值无关。

2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,

即.一

D=ailAil+4.........+或。=+为4/+.........+°njAnj

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即

ail^jl+ai2^j2+.........+ain^jn=0i工j

或

aii^lj+a2i^2j+.........+ani^nj=。i工j

使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多。的行（列），从该行选取一个非0元素”，并将该行其他元素

通过性质化为0,则。=3小

9.利用Cramer法则求解n个n元线性方程组：

①若非齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解。等于0,则无解

其中D7（j=l,2...n）是把系数行列式中的第j列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的的n阶行列式

②对于齐次线性方程组，如果系数行列式D#0,则该方程组只有零解，若D=0,则存在非零解。

第二章

1.矩阵相关的概念：

矩阵：由mX/7个数4./（i=l,2,...,m;j=l,2,...,n）排成的m行〃列的数表（是一组数）。

行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列）向量。

同型矩阵；行数，列数均相等的两个矩阵

A=B：矩阵A和矩阵B为同型矩阵，且对应的元素相等。

零矩阵：所有元素为。的矩阵，记为0,不同型的零矩阵是不相等的。

对角矩阵：对角线元素为…'4，其余元素为o的方阵单位矩阵：对角线元素为1,其余元素为。的方阵,

41

/=2.=diag（4,4,…,4）E=.

・•

\"JIb

2.矩阵的运算

1）加法：只有两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运算。A+B等于对应元素相加起来。满足交换律和结合律

2)数与矩阵相乘•••Axil

妈2

A//,,

山，21•••力九①必力），②（〃）/=%，+〃力，

2122In=4（4+

A,A=AA=

•«••«•••••••

③〃/+B）=AA+AB

、九褊急褊•••^（1

mn/

3)矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；AmxsXBsxn

乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；Cmxn

%•=6•也j+。也j+…+*%=Zaikbkj

A=I

即：乘积矩阵的第，.行，第/列元素为前一个矩阵的第i行元素与后一个矩阵的第、/行元素对应相乘再相加。

注意：一般情况下：ABWBAo但是满足结合律和分配律。

EA=AE=A

4)矩阵的嘉：若A是"阶方阵，则：

炉=44A3=AA2……Ak=AAk-x显然：力及力/=小+、(T)：//

(AB)k=AkBk-

(A+B)2=42+2AB+B2.A、B可交换时才成立

(4+6)(4―5)=/2.

3.矩阵的转置：把矩阵4的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作川.

如：/、(14、

(122、7

A=,『=25;

□5J卜J

性质：(1)(AT)T=A\(2)(4+盼,=/+*;

(3)(AA)T=4T;(4)(ABf=笈T.

T

设A为n阶方阵，如果满足A=Af即，则A为对称阵

T

如果满足A=-At即。0=一£1",则A为反对称阵

4.方阵的行列式：由n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作|川或detA

性质：①14TH4|，②|4川二乃|川，③|45|二|川|印。

5.伴随矩阵：其中是与的代数余子式，/称为力的伴随矩阵。(特别注意符号)

|...A\

4【21

,...A注意：元素陶的代数余子式A"是位于

4:...二次的第j行第i列(类似于转置)

・♦♦

...A性质：44*=4*4=I⑷E

InCMy

6.逆矩阵：对于。阶方阵4如果有n阶方阵8,使得AB=BA=E,则称A可逆，

B为A的逆矩阵，记为A-1。且A的逆矩阵是唯一的。

判断方阵A是否可逆：|川W0oA可逆，且逆矩阵4一】=义公

推论：若|川丰0,则|4寸二向。此时称A为非奇异矩阵。若⑷=0,则称A为奇异矩阵。

二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调，副对角线两数反号。A=--->A-1=-^—(d一》)

\cdJad-bc\-caJ

单位矩阵E是可逆的E=E-\零矩阵是不可逆的。

对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数。

推论：如果n阶方阵4、B可逆，那么4-1、AT、入A(AKO)、AB也可逆

：

且(A-'y'=A,(T尸=(/T)『，(5)|4-i|=⑷-】

(4力尸==B'A1.

用逆矩阵求解线性方程组："

已知AXB=C,若AB可逆，贝(JX=A^CB-1(A在X左边，贝必一】必须在C左边，B也如止；)

7.矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；

每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.

分块矩阵的运算：(其运算与矩阵运算基本一致)

1)加法：要求矩阵A和B是同型矩阵，且采用相同的分块法(即相对应的两个子块也是同型的)

2)分块矩阵A的转置芯：除了A整体上需转置外，每一个子块也必须得转置。

8.分块对角矩阵：(4、

设A是〃阶矩阵，若：*4

①A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，A=多.

②其余子块都为零矩阵4,

③对角线上的子块都是方阵IAs)

则称A为分块对角矩阵。/.x

性质：①|A|=|4||4|…|4|4

②若I4I*0,则|A|*0,并且R=".

*

4T

分块副对角矩阵：犷=(1r)

A=O的充分必要条件：ATA=0

第三章

1.初等行变换：(运算符号：〜)•一注意与行列式的运算加以区分

①互换两行，记做h一〃②第i行乘以非。常数k,记做r’xk③第j行的k倍加到第i行上，记做〃+

2.若矩阵A经过有限次初等变换成矩阵B,则称A与B等价，记做

〜Bmxn的充要条件是存在m阶可逆矩阵P及，阶可逆矩阵Q，使PAQ=8

3.矩阵之间等价关系的性质：

①反身性：4〜4②对称性：若4〜B,贝U8〜4③传递性：若4〜B,B〜C,贝！|4〜C

4.行阶梯形矩阵：

1)可画出一条阶梯线，线的下方全为零；

2)每个台阶只有一行；

3)阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.

行最简形矩阵：

4)非零行的首非零元为1;

5)首非零元所在的列的其它元素都为零.

5.初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。(是可逆的)

1)单位矩阵对换i，j行，记作Em(iJ)Em(iJ)T=Em(ij)

2)以常数kHO乘单位矩阵第i行(列)，记作Em(i⑻)Em(i⑻)T=£(i(b)

mK

3)以k乘单位矩阵第j行加到第/行，记作/("⑻)⑻)T=Em(iJ(-k))

性质1：左行右列

设A是一个mXn矩阵，

对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；

对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.

性质2：方阵4可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P】,P2，…,P"使力=丹。2.・・,0.

推论：方阵A可逆的充要条件是A-E

如果,则存在可逆矩阵P,使PA=B。Q（A,E）“B,P）：即当A变换成B是时，E变为P（求P）

求方阵A的逆矩阵方法总结:

方法1：①判断A可不可逆：若⑷HOoA可逆一书中P41页

②4-1=/不：注意伴随矩阵里每个代数余子式对应的符号

方法2：本身蕴含了判断A可不可逆的条件，即41EQA可逆一书中P64页例2

（A,E）」（E/T）：即对矩阵（A,E）进行初等行变换，当A变成E时，E就变成了所求的4T

求4-1〃：该方法用来求方程组AX=BoX=—若XA=B,可先化为川X丁=BT

方法：（48）」（旦4^8）：即对矩阵（A,B）进行初等行变换，当A变成E时，B就变成了所求的4TB

二、矩阵的秩

l.k阶子式：在mXn矩阵A中，任取A行A列（k£m,位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它

们在4中所处的位置次序而得的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式.

mXn矩阵A的k阶子式共有落・C+个

2.矩阵的秩：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有,+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么

D称为矩阵4的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）O零矩阵的秩等于0。

常用:

1）对于n阶方阵A,R（A）=n（称A满秩）=|川00oA可逆

）若贝

24~8,ljR（A）=R（B）.求秩方法：将矩阵化为行阶梯形矩阵

3）对于行阶梯形矩阵，它的秩等于非零行的行数」

4)R(AT)=R(A)

5）若P、Q可逆，则R（PAQ）=R（A）（・.•A〜BQPAQ=B）

即：可逆矩阵与任何矩阵A相乘，都不会改变所乘矩阵A的秩

6)max{R(A),R(B)}SR(A,B)4R(A)+R(B)

当B=b为非零列向量Rt,R(A)4R(A,B)<R(A)+1

7)R(A+B)SR(A)+R(B)

8)R(AB)<min{R(Xl),R(B)}

3.线性方程组的解

n元非齐次线性方程组Ax=b—P75页例13P79页17题

1)无解0R(4)VR(4b)

①有唯一解=RG4)=R(A,b)=n

2)有解<=>R(A)=R(A,b)

一②有无限解<=>R(A)=R(4力)<n

n元齐次线性方程组Ax=b有非零解=久力）V〃

第四章

一、向量组及线性组合

1.n维向量：n个有次序的数也，〃2,…,。〃所组成的数组。这n个数称为该向量的n个分量,

第i个数W•称为第i个分量.

2.向量组：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合

3.给定向量组A：a\,aiyam,对于任何一组实数Ai,A2,…，A”，，表达式

k\a\+〃2。2+...+kmUrn

称为向量组A的一个线性组合。狂心,...,心称为这个线性组合的系数.

4.给定向量组At”1,敢,…,〃m和向量bf如果存在一组实数h,h,…,1m,使得

b=l\a\+hai+...+lntan

则向量b是向量组4的线性组合，这时称向量b能由向量组A的线性表示.

向量b能由向量组4的线性表示=R(A)=R(A,b)=方程组XM+X2“2+…=b有解

5.设有向量组4n,“2,…,“及B：加，历，…，历，若向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示，

则称向量组B能由向量组4线性表示.若向量组4与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价.

两个向量组等价0R(A)=R(B)=R(A,B)

6.向量组8能由向量组A线性表示=存在矩阵K,使8=庆1(Q矩阵方程AX=B有解

=R(A)=R(A,B)=>R(B)<R(A)(这是必要条件)

二、向量组的线性相关性

1.给定向量组A：密,敢,…，叫,如果存在不全为零的实数%,...,心，使得

k\a\+kiaz+...+kmam=(i(零向量)

则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关的.

2.只含一个向量〃的向量组A,当。=0时，A线性相关；a#0时，A线性无关

只含两个向量吗”2的向量组A,线性相关=外,你的分量对应成比例。

向量组4G1,。2,…,0”(mN2)线性相关=向量组A中至少存在一个向量能由其余m-1个向量线性表示。

3.向量组4线性相关Om元齐次线性方程组=〃有非零解

向量组A线性无关Qm元齐次线性方程组力x=。只有零解QR(A)=m

4.n维单位坐标向量组E：e1,e2,…，e”，是线性无关的，且是最大的线性无关组之一。

维单位坐标向量组E：Cl,C2,…，a能由向量组A：41,“2,…,%线性表示0.«(4)=〃

5.定理

1)若向量组A：矶。2,…,而线性相关，则向量组B：altai,am,am+1也线性相关.

其逆否命题也成立，即若向量组B线性无关，则向量组4也线性无关.

2)m个。维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时，一定线性相关.

特别地，〃+1个〃维向量一定线性相关.

3)设向量组A：s,s,…,而线性无关，而向量组B：alfaltam,b线性相关，

则向量b必能由向量组4线性表示，且表示式是唯一的

三、向量组的秩

1.设有向量组A,如果在A中能选出r个向量Gi,%满足

①向量组Ao：alfa2,…,ar线性无关；

②向量组人中任意，+1个向量(如果A中有r+1个向量的话)都线性相关；

那么称向量组4是向量组4的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组.

最大无关组所含向量个数r称为向量组4的秩，记作私。RAS向量组A中向量的个数

只含零向量的向量组没有最大无关组，秩=0o

2.向量组4和它自己的最大无关组4是等价的.

推论：向量组4线性无关；向量组A中任意一个向量都能由向量组4