2025-2026学年重庆市北碚区高二（下）学业水平能力监测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年重庆市北碚区高二（下）学业水平能力监测数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.设f（x）满足，则f′（x0）=（）A.-1 B.-2 C.1 D.22.已知随机变量，则（）A.E（X）=3 B.E（3X+1）=6 C. D.D（3X+1）=123.乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4+b5）（c1+c2+c3+c4）展开后共有（）项.A.60 B.80 C.30 D.454.已知P（A|B）=P（A），，，则=（）A. B. C. D.5.某汽车总装厂从甲、乙、丙三家供应商处采购了同一型号的智能驾驶系统，数量分别为500套、300套、200套，用于装备其生产的同款汽车.已知甲、乙、丙三家供应的该系统的故障率分别为1%，4%，5%.现从已售出的该款汽车中随机抽取一辆，发现其智能驾驶系统发生故障.若在无法追溯故障部件具体来源的情况下，依据概率推断责任，则甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为（）A.1：4：5 B.5：15：8 C.5：12：10 D.5：3：26.甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排拍照，要求甲在左端或右端，且乙丙要相邻，则不同的排列方式共有（）A.12种 B.16种 C.24种 D.32种7.为了研究一种新的学习方法对学生数学成绩的影响，某研究中心随机选取了200名学生进行对比实验，其中100名学生采用新方法学习，100名学生采用传统方法学习.经过一个学期后，对学生的数学成绩进行评估，结果如表：数学成绩学习方法合计新方法传统方法优秀5070120不优秀503080已知χ2=，其中n=a+b+c+d,且P（χ2≥10.828）=0.001.根据小概率值α=0.001的独立性检验，则（）A.新的学习方法与数学成绩有关

B.新的学习方法与数学成绩无关

C.新的学习方法与数学成绩有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001

D.新的学习方法与数学成绩无关，这个结论犯错误的概率不超过0.0018.若ex-emlnx≥em对∀x∈（e,+∞）恒成立，则实数m的取值范围为（）A.（-∞，0） B.（-∞，1] C.（-∞，e-1] D.（-∞，e]二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.对于样本相关系数r,下列说法正确的是（）A.r的正负可以反映成对样本数据是正相关还是负相关

B.|r|的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度

C.r的值越大，成对样本数据之间线性相关的程度越强

D.r的取值范围是（-1，1）10.设（x2-x）5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则（）A.a4=0 B.a7+a8=0

C.a1+a3+a5+a7+a9=-16 D.a0+a2+a4+a6+a8=1611.已知函数f（x）=x（x-1）（x-a）（a∈R），则（）A.f（x）有两个极值点

B.∃a∈R，使得f（x）为增函数

C.∃a∈R，使得点（2，f（2））为曲线y=f（x）的对称中心

D.当a=1时，过点（0，1）且与曲线y=f（x）相切的直线恰有两条三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量X～N（2，σ2），若P（X≤0）=0.3，则P（X＜4）=

.13.以正方体的顶点为顶点的四面体个数有______．14.若函数f（x）=ex-ax在区间[1，2ln2]内存在单调递减区间，则实数a的取值范围为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的数.（写出必要的过程，结果用数字作答）

（1）可以组成多少个四位数；

（2）可以组成多少个能被5整除的四位数.16.(本小题15分)

已知函数f（x）=lnx-ax-，f（x）在x=2处取得极值ln2-3.

（1）求实数a,b的值；

（2）求f（x）在区间[1，e]上的值域.17.(本小题15分)

新能源汽车的定价是影响其销量的关键因素之一.某公司统计了其一款车型在五个不同定价下的日均销量，数据如表：销售单价x（万元/辆）1416182022日均销量y（辆）11095806555（1）根据上表数据，求日均销量y关于销售单价x的经验回归方程，并据此预测当销售单价为24万元/辆时，该车型的日均销量；

（2）计算表中5个样本点对应的残差ei（i=1，2，3，4，5），用销售单价作为横坐标，残差作为纵坐标，作出残差图，并根据残差图分析该线性回归模型的拟合效果.

附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为：.18.(本小题17分)

某电视台举办“公益猜歌挑战赛”，嘉宾需按指定顺序依次猜测三首歌曲S1，S2，S3的歌名.规则如下：只有猜对当前歌曲才有资格猜测下一首；若猜错任意一首或三首全部猜对，本轮挑战立即结束.已知猜对歌曲S1，S2，S3的概率分别为p1，p2，p3，猜对时获得的公益基金分别为a,b,c（单位：元），各次猜测结果相互独立.

（1）若p1=0.8，p2=0.6，p3=0.4，a=1000，b=2000，c=3000，猜测顺序固定为S1→S2→S3.已知嘉宾最终获得的公益基金不少于1000元，求其获得基金恰好为3000元的概率；

（2）若猜测顺序固定为S1→S2→S3，记随机变量X为嘉宾获得的公益基金总额.写出X的分布列，并用p1，p2，p3，a,b,c表示X的数学期望E（X）；

（3）若三首歌曲满足0＜p1，p2，p3＜1，a＞0，b＞0，c＞0，且.为使E（X）最大，嘉宾应按何种顺序猜测？请说明理由.19.(本小题17分)

已知函数f（x）=x（1-lnx）.

（1）证明：f（x）存在唯一的极值点和唯一的零点；

（2）设f（x）的极值点和零点所对应的点分别为A，B，求证：当x∈（1，e）时，f（x）的图象总在直线AB的上方；

（3）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2-x1＞e（1-a）.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】AB

10.【答案】ABC

11.【答案】AC

12.【答案】0.7

13.【答案】58

14.【答案】（e,+∞）

15.【答案】用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，

先排最高位有6种方法，其余的3个位置没有限制，任意排，有种方法．

根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数的个数为

5的倍数，若末尾是0，则有=120个；

若末尾是5，有个．

共有120+100=220

16.【答案】由题意得，x＞0，

由f（x）在x=2处取得极值ln2-3，

可得，解得a=1，b=2，

此时，

当x＞2时，f′（x）＜0，当0＜x＜2时，f′（x）＞0；

因此f（x）在x=2处取得极值，

所以a=1，b=2

由（1）知，，

则，

当x∈[1，e]时，由f′（x）＜0，得2＜x≤e,由f′（x）＞0，得1≤x＜2；

函数f（x）在[2，e]上单调递减，在[1，2]上单调递增，

所以f（x）max=f（2）=ln2-3，

而，

则f（x）min=f（1）=-3，

所以f（x）在区间[1，e]上的值域为[-3，ln2-3]

17.【答案】由题意得，，

则，，

可得，，

则回归方程为，当x=24时，，

得到预测当销售单价为24万元/辆时，该车型的日均销量为39辆

当x=14时，，e1=110-109=1，

当x=16时，，e2=95-95=0，

当x=18时，，e3=80-81=-1，

当x=20时，，e4=65-67=-2，

当x=22时，，e5=55-53=2，

得到（14，1），（16，0），（18，-1），（20，-2），（22，2），作出残差图，

由图，残差数值都在横轴附近波动，残差点均匀分布在横轴两侧的狭窄带状区域内，

没有明显的曲线趋势与扩散收缩现象，说明该线性回归模型对数据拟合效果很好

18.【答案】计算各情况获得基金及概率：

猜错S1：获0元，概率1-p1=1-0.8=0.2；

猜对S1猜错S2：获a=1000元，概率p1（1-p2）=0.8×（1-0.6）=0.32；

猜对S1S2猜错S3：获a+b=1000+2000=3000元，概率p1p2（1-p3）=0.8×0.6×（1-0.4）=0.288；

猜对S1S2S3：获a+b+c=6000元，概率p1p2p3=0.8×0.6×0.4=0.192，

设事件A为最终获得的公益基金不少于1000元，则P（A）=0.32+0.288+0.192=0.8，

事件B为获得基金恰好为3000元，B⊂A，P（AB）=P（B）=0.288，

所以

随机变量X的可能取值为0，a,a+b,a+b+c,

P（X=0）=1-p1，P（X=a）=p1（1-p2），

P（X=a+b）=p1p2（1-p3），P（X=a+b+c）=p1p2p3，

X的分布列为：X0aa+ba+b+cP1-p1p1（1-p2）p1p2（1-p3）p1p2p3E（X）=0×（1-p1）+a×p1（1-p2）+（a+b）p1p2（1-p3）+（a+b+c）p1p2p3，

化简得E（X）=ap1+bp1p2+cp1p2p3

猜测顺序为S3→S2→S1，理由如下：

设两首歌曲M，N，猜对概率为pM，pN，获得基金为m,n,且，

先猜M后猜N的期望E1=mpM+npMpN，

先猜N后猜M的期望E2=npN+mpNpM，

由得pMm（1-pN）＜pNn（1-pM），

故E2-E1=（npN+mpNpM）-（mpM+npMpN）=pNn（1-pM）-pMm（1-pN）＞0，即E2＞E1，

已知，为使E（X）最大，应按比值从大到小排序，

即猜测顺序为S3→S2→S1

19.【答案】函数定义域为（0，+∞）．求导得f′（x）=1-lnx-1=-lnx.令f′（x）=0，得x=1．

当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，函数单调递减．

因此f（x）在x=1处取得唯一极大值f（1）=1，无极小值，所以极值点唯一．

令f（x）=0，得x（1-lnx）=0，因x＞0，故1-lnx=0，解得x=e.

且函数在（0，1）上递增且f（1）=1＞0，在（1，e）上递减且f（e）=0，故零点唯一为x=e.

综上，f（x）存在唯一的极值点和唯一的零点

极值点为A（1，1），零点为B（e,0）．直线AB的方程为．

令．

求导得，所以h′（x）在（1，e）上单调递减．

又，故h（x）在（1，e）上先增后减，其最小值在区间端点取得．

而，因此在（1，e）内恒有h（x）＞0，

即，所以f（x