河南省天立教育联盟2025-2026学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河南省天立教育联盟高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是（）A. B.

C. D.2.已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，，则|PF|=（）A.4 B.6 C.8 D.103.在等比数列{an}中，a1+a2=-16，，记Tn=a1a2…an（n=1，2，…），则数列{Tn}（）A.无最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项

C.有最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项4.已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为（）A. B. C. D.5.如图，在四面体OABC中，，，，，，且=（）A.

B.

C.

D.6.过直线x-y-m=0上一点P作⊙M：（x-2）2+（y-3）2=1的两条切线，切点分别为A，B，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为（）A.-3＜m＜5 B.-5＜m＜3 C.m＜-5或m＞3 D.m＜-3或m＞57.在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（）A.若，则m=2

B.若，则

C.若为锐角，则

D.若在上的投影向量为，则8.设数列{an}的通项公式为an=（-1）n（2n-1）•cos，其前n项和为Sn，则S120=（）A.-60 B.-120 C.180 D.240二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下面四个结论正确的是（）A.若A，B，C三点不共线，面ABC外的任一点O，有，则M，A，B，C四点共面

B.有两个不同的平面α，β的法向量分别为，且=（1，2，-2），=（-2，-4，-4），则α∥β

C.已知为平面α的一个法向量，为直线l的一个方向向量，若＜，＞=，则l与α所成角为

D.已知向量=（1，1，x），=（-3，x,9），若x＜，则＜，＞为钝角10.已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d,前n项和为Sn，且是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是（）A.d=1 B.S5=15 C.an=n D.11.设F1，F2为椭圆的左，右焦点，直线l过F1交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是（）A.△ABF2的周长为定值8 B.△ABF2的面积最大值为

C.|AF1|2+|AF2|2的最小值为8 D.存在直线l使得△ABF2的重心为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知实数x,y满足的方程为（x-3）2+（y-3）2=6，则的最大值为

.13.已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1位于平面α的同侧，且顶点A在平面α上，若顶点B，D到平面α的距离分别为，，则顶点A1到平面α的距离是

.14.已知数列{an}中，，n（an+1-an）=an，n∈N*，数列的前n项和为Sn.若对于任意的n∈N*，不等式Sn＜t恒成立，则实数t的取值范围是

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f（x）=lnx-ax2（a∈R），且.

（1）求a的值；

（2）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程.16.(本小题15分)

已知离心率为的椭圆与抛物线有共同的焦点F，P是椭圆C1上任意一点，且|PF|的最小值是1.

（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；

（2）过点F的直线l与椭圆C1相交于A，B两点，与抛物线C2相交于M，N两点，若，求直线l的方程.17.(本小题15分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且，bn=log2an.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{anbn}的前n项和；

（3）证明：.18.(本小题17分)

如图，在三棱锥P-ABC中，D，E分别为PA，BC的中点，F为AB上一点，且BF=2AF.

（1）证明：PE∥平面CDF；

（2）设底面ABC是边长为7的等边三角形，点P到底面ABC的距离为，且点P在底面ABC上的射影恰好在线段CF上.

（i）求二面角P-CF-D的正切值；

（ii）若三棱锥P-ACE的所有顶点都在同一球面上，求该球表面积的最小值.19.(本小题17分)

已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，半焦距为，A为C的左顶点，直线l：x=my+t（m≠±1）.

（1）求C的方程.

（2）若l过定点B（-1，0），且交C于E，F两点（异于点A），证明：直线AE与AF的斜率之积为定值.

（3）若l与C有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别与x轴y轴相交于P（x,0），Q（0，y）两点，当点M运动时，求点N（x,y）的轨迹方程.

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】ABC

11.【答案】ACD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】[4，+∞）

15.【答案】a=2

3x+y-1=0

16.【答案】设椭圆C1的焦距为2c,由椭圆C1的离心率是，得，

因为|PF|的最小值为a-c=1，所以，

所以椭圆C1的方程为，

因为椭圆C1的焦点坐标为（±1，0），椭圆C1与抛物线C2有共同的焦点F，

所以，

所以抛物线C2的方程为y2=4x

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，

此时|AB|=3，|MN|=4，不符合条件，舍去．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），

联立得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，Δ=64k4-4（3+4k2）（4k2-12）=144k2+144＞0，

，

所以=，

联立，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

，

则，

因为，所以，

解得，

所以直线l的方程为或

17.【答案】an=22n-1；

+•22n+1；

由=＞=-，

可得++...+＞-1+-+...+-=-1；

由（）2-（+）2=（-）2＞0，可得＞+，

由==＜=（-），

则得++...+＜（1-0+-1+-+...+-）=，

综上，可得

18.【答案】证明：如图，设G为AE与CF的交点，连接DG．过点E作EM//AB，交CF于点M．

因为E为BC的中点，且BF=2AF，所以，故AG=EG．

又D为PA的中点，所以DG为△APE的中位线，故DG∥PE．

因为DG⊂平面CDF，PE⊄平面CDF，

所以PE∥平面CDF．

（i）；（ii）

19.【答案】解：（1）设半焦距为c,

由题意得，离心率为e==，且a2+b2=c2=10，

解得a=，b=，

所以C的方程为．

（2）证明：因为l过定点B（-1，0），所以l：x=my-1（m≠±1），

联立，消去x得（m2-1）y2-2my-4=0，

由Δ=4m2+16（m2-1）＞0，m≠±1，得，且m≠±1，

设E（x1，y1），F（x2，y2），则，，

因为A（-，0），

所以，，

所以

=

=，

即直线AE与AF的斜率之积为定值．

（3）因为l：x=my+t（m≠±1）与C有唯一的公共点M，

所以l与C相切，

当m=0时，过M且与l垂直的直线与x轴重合，不合题意，所以m∈（-1，0）∪（0，1），

联立，消去x得（m2-1）y2+2mty+t2-5=0．

由Δ=