2026届高中数学（人教A版2019）8.2 立体图形的直观图 例题、课后习题及变式题【附答案】

/8.2立体图形的直观图例1用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.画法：（1）如图8.2-4（1），在正六边形中，取所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，两轴相交于点O.在图8.2-4（2）中，画相应的轴与轴，两轴相交于点，使.（2）在图8.2-4（2）中，以为中点，在轴上取，在轴上取.以点为中点，画平行于轴，并且等于；再以为中点，画平行于轴，并且等于.（3）连接，，，，并擦去辅助线轴和轴，便获得正六边形水平放置的直观图（图8.2-4（3））.练习1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内写正确，错误的写错误．1.相等的线段在直观图中仍然相等．（）【答案】错误【解析】【分析】由斜二测画法判断．【详解】斜二测画法中，平行轴的线段长度不变，平行轴的线段长度变为原来的一半，长度不相等了．故答案为：错误．2.平行的线段在直观图中仍然平行．（）【答案】正确【解析】【分析】根据斜二测定义判断．【详解】根据斜二测的画法，首先与坐标轴平行的线段，仍然平行，而不与坐标平行的线段，由于与坐标平行的线段变化方法一样，因此它们的平行性保持不变．长度仍然相等．故答案为：正确．3.一个角的直观图仍是一个角．（）【答案】错误【解析】【分析】根据空间图形直观图的画法判断．【详解】空间的一个角的直观图可能成为一条线段或一条直线，故答案为：错误．4.相等的角在直观图中仍然相等．（）【答案】错误【解析】【分析】根据斜二测画法作答．【详解】根据斜二测画法，在直角坐标系中，原点处四个直角在直观图中，两个变为，两个变为，因此不一定相等．故答案为：错误．5.用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）.（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形【答案】见解析【解析】【分析】根据斜二测画法的规则，即可得到平面图形的直观图，得到答案.【详解】（1）根据斜二测画法的规则，可得：（2）根据斜二测画法的规则，可得：（3）根据斜二测画法的规则，可得：（4）根据斜二测画法的规则，可得：【点睛】本题主要考查了水平放置的平面图形的直观图的画法，其中解答中熟记斜二测画法的规则是解答此类问题的关键，同时画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题，圆的直观图通常为椭圆，着重考查了数形结合思想，属于基础题.例2已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图.分析：画棱柱的直观图，通常将其底面水平放置.利用斜二测画法画出底面，再画出侧棱，就可以得到棱柱的直观图.长方体是一种特殊的棱柱，为画图筒便，可取经过长方体的一个顶点的三条棱所在直线作为x轴、y轴、z轴.画法：（1）画轴.如图8.2-6，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点，使，.（2）画底面.在x轴正半轴上取线段，使；在y轴正半轴上取线段，使.过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则就是长方体的底面的直观图.（3）画侧棱.在x轴正半轴上取线段，使，过B，C，D各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段，，.（4）成图.顺次连接，，，，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图了.例3已知圆柱的底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图.解：（1）画轴.如图8.2-7，画x轴、z轴，使.（2）画下底面.以O为中点，在x轴上取线段，使.利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点.这个椭圆就是圆柱的下底面.（3）画上底面.在上截取点，使，过点作平行于轴轴.类似下底面的作法作出圆柱的上底面.（4）成图.连接，，整理得到圆柱的直观图.例4某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图.分析：画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图.本题中没有尺寸要求，画图时只需选择合适的大小，表达出该几何体的结构特征就可以了.画法：如图8.2-10，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.练习6.用斜二测画法画一个棱长为3cm的正方体的直观图.【答案】见解析【解析】【分析】根据斜二测画法的规则，在空间直角坐标系中画出一个正方体的直观图，进而得到正方体的直观图，得到答案.【详解】如图所示：在空间直角坐标系中画出一个正方体的直观图，擦除坐标轴，即可得到直方图的直观图.【点睛】题主要考查了空间几何体的的直观图的画法，其中解答中熟记斜二测画法的规则，同时注意“一变两不变”的原则是解答此类问题的关键，着重考查了数形结合思想，属于基础题.7.用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图.【答案】见解析【解析】【分析】利用斜二测画法画出底面正六棱柱的底面正六边形的直观图，再画出正六棱柱的侧棱，即可得到几何体的直观图，得到答案.【详解】（1）如图，在正六边形中，取所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，两轴相交于点O.在图中，画相应的轴与轴，两轴相交于点，使；（2）根据斜二测画法法，画出正六边形水平放置的直观图；（3）画侧棱，过各点分别作z轴的平行线，得到正六棱柱的侧棱；（4）成图，顺次连接，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），【点睛】本题主要考查了空间几何体的的直观图的画法，其中解答中熟记斜二测画法的规则，同时注意“一变两不变”的原则是解答此类问题的关键，同时画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题，圆的直观图通常为椭圆，着重考查了数形结合思想，属于基础题.8.一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心，画出这个组合体的直观图.【答案】见解析【解析】【分析】画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图，得到答案.【详解】如图所示，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和球共同的轴线上确定球的半径，最后画出圆柱和半球，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.【点睛】本题主要考查了空间几何体的的直观图的画法，其中解答中熟记斜二测画法的规则，同时注意“一变两不变”的原则是解答此类问题的关键，同时画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题，圆的直观图通常为椭圆，着重考查了数形结合思想，属于基础题.习题8.2复习巩固1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内写正确，错误的写错误．9.三角形的直观图是三角形．（）【答案】√【解析】【分析】根据平面图形的直观图的画法规则，平面图形的形状不会发生改变﹒【详解】由斜二测画法规则知，水平放置的三角形的直观图还是三角形﹒故答案为：√10.水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形．（）【答案】正确【解析】【分析】根据斜二测画法的定义判断．【详解】斜二测画法是一种平行投影，水平放置的平行四边形两组对边在水平面上的直观图上仍然保持平行．故答案为：正确11.正方形的直观图是正方形．（）【答案】错误【解析】【分析】根据斜二测画法判断．【详解】由于斜二测画法中，直角坐标系变成，且，角度有变化，另外平行于的线段长度变为原来的一半，平行轴的线段长度不变，因此正方形的直观图一般是不正方形．故答案为：错误．12.菱形的直观图是菱形．（）【答案】错误【解析】【分析】根据斜二测画法的概念判断．【详解】菱形的四条边相等，但相等的线段在直观图中不一定相等，因此菱形的直观图是菱形不正确．故答案为：错误．13.用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图；（1）直角边横向；（2）斜边横向.【答案】见解析.【解析】【分析】直角边横向即直角边在轴，斜边横向，即斜边在轴，轴在直观图中，为轴，轴夹角为45°，平行于轴的线段仍平行于轴，长度不变，平行于轴的线段仍平行于轴，长度为原来的一半，确定各顶点后连线，然后擦去坐标轴．【详解】（1）直角边横向如图①②.（2）斜边横向如图③【点睛】本题考查斜二测画法，掌握斜二测画法的概念是解题基础．14.用斜二测画法画出底面边长为2cm，侧棱长为3cm的正三棱柱的直观图.【答案】见解析.【解析】【分析】建立空间直角坐标系，可以底面三角形一边所在直线为轴，高所在直线为轴，过这边中点，与底面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，斜二测画法中，轴水平，轴与轴垂直，轴与夹角为45°，平行于轴、轴的线段仍平行于轴、轴，长度不变，平行于轴的线段仍平行轴，但长度为原来的一半．画出图形后，擦去坐标轴得直观图．【详解】正三棱柱直观图如图：【点睛】本题考查空间几何体的斜二测画法，属于基础题．15.画底面半径为1cm，母线长为3cm的圆柱的直观图。【答案】见解析.【解析】【分析】以底面圆圆心为原点，两条垂直的直径所在直线为轴，上下底中心连线为轴建立空间直角坐标系，斜二测画法中，，轴表示水平面，轴与轴垂直，轴与夹角为45°，平行于轴、轴的线段仍平行于轴、轴，长度不变，平行于轴的线段仍平行轴，但长度为原来的一半．画出图形后，擦去坐标轴得直观图．【详解】圆柱直观图如图：【点睛】本题考查空间几何体的斜二测画法，属于基础题．综合运用16.一个菱形的边长为4cm，一内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，试用斜二测画法画出这个菱形的直观图。【答案】见解析.【解析】【分析】以菱形的对角线所在直线为轴建立平面直角坐标系，在直观图中，为轴，轴夹角为45°，平行于轴的线段仍平行于轴，长度不变，平行于轴的线段仍平行于轴，长度为原来的一半，确定各顶点，然后连线，最后擦去坐标轴得直观图．【详解】菱形直观图如下：【点睛】本题考查平面图形的斜二测画法，属于基础题．17.已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成，画出这个圆锥的直观图.【答案】见解析.【解析】【分析】以底面圆圆心为原点，两条垂直的直径所在直线为轴，圆锥高为轴建立空间直角坐标系，斜二测画法中，，轴表示水平面，轴与轴垂直，轴与夹角为45°，平行于轴、轴的线段仍平行于轴、轴，长度不变，平行于轴的线段仍平行轴，但长度为原来的一半．画出图形后，擦去坐标轴得直观图．【详解】圆锥直观图如下：【点睛】本题考查空间几何体的斜二测画法，属于基础题．18.一个几何体的三视图如图所示，画出这个几何体的直观图.【答案】见解析.【解析】【分析】先由三视图确定这个组合体是由哪些基本几何体怎样组合而成的，然后由直观图的画法作图．【详解】易知几何体上部是一个球，下部是一个倒放的圆锥，此时球的直观图只要画一个竖立的圆即可，以圆锥顶点为原点，圆锥高所在直线为轴，水平面上两条垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，斜二测画法中，，轴表示水平面，轴与轴垂直，轴与夹角为45°，平行于轴、轴的线段仍平行于轴、轴，长度不变，平行于轴的线段仍平行轴，但长度为原来的一半．画出图形后，擦去坐标轴得直观图．如图所示：【点睛】本题考查空间几何体的斜二测画法，考查三视图，属于基础题．拓广探索8．画出你所在学校一些建筑物的直观图（尺寸自定）．变式练习题19.画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．【答案】作图见解析【解析】【分析】根据斜二测画法作图：（1）在已知图形中作直角坐标系；（2）作出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，截取相应的点，并连线；（3）擦去辅助线得直观图．【详解】【解】（1）在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．（2）画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.（3）所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.20.已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．【答案】答案见解析【解析】【分析】画法步骤：（1）画坐标轴；（2）画下底面：按水平放置的平面图形的直观图的画法作出下底面的直观图；（3）画上底面：与画下底面相同方法作出下底面直观图．（4）连线并擦去辅助线得直观图．【详解】【解】（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.（2）画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．（3）画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．（4）连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图如图②）