考研数学（数学一）模拟试卷576

考研数学(数学一)模拟试卷576

一、选择题(本题共7题，每题7.0分，共7分。)

=春,

1、设P(AIB)-P(BIA)=43,贝以).

L

A、事件A,B独立且P(A+B尸12

5

B、事件A,B独立且P(A+B尸也

1_

C、事件A,B不独立且P(A+B)=I2

且

D、事件A,B不独立且P(A+B)=

标准答案：C

]—9

TP(A)=

知识点解析：由P(AIB)=P(BIA尸’得P(A)=P(B),再由3,得

且P(AB)=5P(A)=上，

12

P(A)=P(B)=34因为P(AB)，P(A)P(B),所以A,B不独

—2•—1ZZZ7—■

12

立，故P(A+B)=P(A)+P(B)—P(AB)=312选(C).

：/(z)=广叫，7°，；

2、设le'+hg，*>°，在x=0处二阶导数存在，则常数a,b分别是

A、a=l,b=l

B、a=1,2

C、a=l,b=2

D、a=2,b=l

标准答案：B

〃、X<X0

/(x)=I

知识点解析：我们考虑分段函数必(")・'N"。其中fl(x)和f2(x)均在

x=xo邻域k阶可导，则f(x)在分界点X=xo有k阶导数的充耍条件是f[(x)和f2(x)有

x=xo有相同的k阶泰勒公式：fi(x)=f2(x)=a()+ai(x-xo)+a2(x-xo)2+...+a“x-

xo)k+o((x-xo/)(XTXO)把这一结论用于本题：取x()=0.f|(x)=l+ax+x2

_L±

x22222222

f2(x)=e+bsinx=l+x+2x+o(x)+b(x+o(x))=l+x十(b+jx+o(x)因此f(x)在x=0

a=1,6+[=1即a=1=--.

时二阶可导v=>22选B.

3、设随机变量X服从参数为P的几何分布，m,n为非零正整数，则P{X>

m+nIX>m）（）

A与

、m无关，与n有关，且随n的增大而减少。

B与

、m无关，与n有关，且随n的增大而增大.

c与

、n无关，与m有关，且随m的增大而减少.

D与

、n无关，与m有关，且随m的增大而增大.

标准答案：A

知识点解析：本题考查的是几何分布的条件概率与参数之间的联系.由条件概率定

〈-卜”>_

X>tn4n|X〉m>_PX>m,X>"iP{X>m4-nI

义得）随机变量

X服从参数为p的几何分布，即P{X=k}=(l—p/Jp(k=l,2,…).所以

P，X>〃？+"}=X(1—H(1―/>)•,,.(■«)

■I

（一/>>'（］一"”.联、〃*）,（**）,（***）

式得P{x>m+nIx>m）=（l—p）n.即P{x>m+nIX>m}与m无关，与n有关，

且随n的增大而减少.

4、

当％0时,3x-4sinx+sinxco&x与x"为母陟无多小,，则n=

(A)2.(B)3..(C)'4.*(D)5.

】

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：

【分析一】利用泰勒公式是确定无穷小域阶的重要方法.由

41)IszS\

sin*=%-+o(x),

=siruccosx=-yain2x=+工(2*),+o(/)].

/ZO1ZU

n3x-4sinx+sinxcosx=+o(xs)(x—♦0).

因此n=5.故应选(D).

【分析二】令/(*)=3x-46inx+einxoocx=3x-43：n*+■^"3in2x,用洛必达法则确定n,

使得

lim&i=4眄0.

ix-

oo

../(x)03-4cosx+cos2x°..4sinx-2sin2x

lim^................lim---------------r.....................hm-----------------r-

1%"c>I1nxn>2«-o/»(a-1)x'

4..sinx(1—cosx)",51

=n(«-I)四定3^，

其中]加1-：°s”=4.因此/=5.故应选(D).

・-oxL

评注①若/(%)在弁=0处有泰勒公式

/(*)=Ax*+o(x*)(x0),

其中A芦0,则X-0时/(工)是工的”阶无穷小量.

②若/(彳)在4=0处〃阶可导，又

/(0)=广(0)=-=/(-°(0)=0.

/<-)(0)，0=4To时/(*)是=的”阶无穷小量.

因为此时/(式)衣”=0死有泰勒公式

/(x)o(x-)(x♦()).

n!+

或连埃用n-1次洛必达法则

1•/(*)r/'(")[.

hm<----匚=lim<-r*=•••=lim<--------------,

»-•x"-0nx°~■Qn\x

最后用n阶导数定义得

k华=】而；C2㈤.二匕3=1/-(0)^0.

■7x・闻n!xn!

5、设正项级数…发散，令Sn=ai+a2+…+a.则下列结论正确的是

(A)£R一定收敛(B)火2一定发散

—I".一］>

(C)y三上可能收敛也可能发散(D)z二^一定收敛

().Ws.RS.

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：

34MOO

令a・=1，显然»“发散，'/=X，发散JA）不对；令/=〃.显然»>.

L1忖-j■一|〃.一|

发散，gW元〃马1）收敛,（B）不对,因为正项级数发散,所以（S.}单调增加且

oe

lim.S.卜力•由交错级数审敛法知仁/上一定收敛.选（D）.

6、已知E（X）=1,E（X2）=3>用切比雪夫不等式估计P{—1VXV4}M则a的最大

（A）-（B）-（C）<（D）1

值为（）.J4《

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

D（X）=2.由切比雪夫不等式得

n（Y\o

打1X-E（X）|<€）I一匕字=>?<1一£VXv1+M》1一！.

€~e

1<X<nP：-1<X<3}>P!|X-1|<2}>y,

M

的最大值为〈,选（C）.

知识点解析:

设正项级数发散，令50=5+%+…+*•则下列结论正确的是（）.

（A）SR一定收敛（B）£；R一定发做

（c）s（二W可能收敛也可能发散（D）£♦•匚一定收敛

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析:

令4、=I,显然发散,Z9=2~~发散•(A)不对；令41t=〃・显然X。"发

敢J--X——3收敛.(B)不小因为正项级数发放•所以，s力地调增加且limS.

“iS”.〃(〃♦1).।

«**

=+8,由交错级数审敛法知.X工一定收敛，选(D).

二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

8、

将一颗骰子连续抛掷三次.a、6、c分别表示第一、二、三次掷出的点数•若已知第一次掷出的

点数是奇数,则矩阵［:I是奇异矩阵的概率是.

标准答案：1/27,

知识点解析：

【分析】设事件/!表示第一次掷出奇数点，事件8表示矩阵［:；］是奇异矩阵，则条件概

率P(5IA)为所求.

将一颗骰子连续掷三次,试验的样本点总数为6、=216,显然尸(A)=0.5.本题关键是

求出有利于事件AB的样本点数从而计算出P(AB).

AB=|(a,6,c)Ib2=ae,其中Q=1,3,5,b,c=1,2,,61.

对于a=1,QC只有1,2,3,4,5,6各值，这时只有当6=1或6=2时，才能满足6’=砒,类

似地，对于a=3,在ac所可能取的3,6,9,12,15,18各值中只有8=3才满足y=ac.同

样对于a=5,只有6=5才满足炉=ac,因此有利于事件48的样本点数是4个，即

AB=|(1,1,1)；(1,2,4)；(3,3,3)；(5,5,5)|,

故P(8IA)=lb=XT7X__=—.

'P(4)2160.527

9、

微分方程＜=yj,的通解为________・

2xfy-x2

标准答案：

/=多孔+5其中C为任意常数.

知识点解析：

【分析】将原方程改写为

(k212

-----X=--产・

dyyyr

以，•为自变盘为因变灵，这是伯努利方程.两边乘X-2得

d,1、2,1.I

丁(一)+—(­)=­•

uyxyx

以」•为未知函数,这是一阶线性的，两边再乘四G)==/得

X

"心=立

ayx

枳分得金=当3c.

x3

通解为/=多孔+Cx.其中。为V常数.

..1-彳，

11m----------工—=_________・

r-I1一；r十InJ-

1in1J、

标准答案：2

知识点解析：

Irtr=ln[l+(“一1)J—(x—1)一./，+。((jr—1))♦则

11、

某系统由”个部件组成，在运行期间每个部件损坏与否是相互独立的•且损坏的概率都是0.1.如

果至少有85%的部件完好时系统才能正常工作,则根据棣莫弗拉普拉斯定理，为使系统正常工作的概率

不小于0,975,应有n2.

标准答案：139

知识点解析：

分析:设系统在运行期间“个部件中完好的部件个数为X,则X〜B(n,O.9).根据棣莫弗一拉普

拉斯定理可知，系统能够正常工作的概率为

X-0.9”>0.85n—0.9n

P{X>0.85n}=P

〃XO9XO1/X0.9X0,1

*…(¥)=喈),

由于取1.96)=0.975,依题意有

P{X>0.85律)%咄)>0(1.96),

因此

叁》1.96,

O

解得n2138.3.

lim"七=1

12、设产y(x)为方程丫”+出—1)「+*2丫=«*的满足初始条件-01的解，则

lim业户

L0x_

标准答案：1

知识点解析：

由lim=1,得y(0)=0.j*(0)—1.

X1

因为y=j(x)满足y”+(x—1)y+-ry=e3所以y"(0)=2,

于是|加普二=1lim也二1=|痴皿-也=1/(0)=1.

jr乙xLxL

y—2-

13、W3+1)2、

标准答案:2(l-ln2)

OD

令SQ)=X-T-TX^C-KX<1).

5'(工〉=2=4",1=，0)=，(曰，=/7冽

S(z)=S(x)—S(0)=|■—■■-7dr=ln(l—x)4-7——,

Jo(1—/)*1—JT

从而超商kS(?=i2.

故£舟为=2(】一如

知识点解析:

三、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)

14、

二次型/=%；+（。+4）*+3x；+4X|X,-4孙与经正交变换x=Qy化为标准形

打：+5/j-

（I）求明〃的值及所用正交变换；

（D）若二次型/正定，求。的取值范围.

标准答案：

【解】（1）二次型及其标准形矩阵分别是

I20■b

4=2a+4-2与A=5

-0-23■-1■

经正交变换，有A~4,故

JI+(a+4)+3=6+5+(-1),

=a=-2,6=2.

I|A|=3a-4--5b=|B|•

因为矩阵A的特征值是2,5.-1,由（2E-A）x=0,

-1-20-|ri-20■

-202-02-1

2-1」L。

•000■

得到A=2的特征向M功=（2,l,2）r.

类似地，解方程组（5Z-4）x=0与（-E-A）x=0得到八=5与4=-1的特征向量分

别为小=（1,2,-2）丫与小=（-2,2,1）T.

因为特征值不同，特征向量已经正交，只需单位化，有

-2--1'

1

=12

yi%3%

-2-•—2-

•21-2'

Q=(»，％)=,

所以122

•2-21-

那么经坐标变换X=Qr即

-2_L2_-

Tr3~

航7\

12_2_

TrTy2

22_LnJ

LT3T」

（n）二次型/正定的充分必要条件是顺序主子式全大于。，即

△I=1>0,A2==a>0,=|A|3«-4>0,

a+4

因此

知识点解析：暂无解析

15、求微分方程(l+x)y”二k/ny(xK))满足初始条件y(0尸y，(0尸0的特解，其中常

数k>0。

一】+p',ip—^zz-=k

标准答案：令p=y',则y"=p',故有(l+x)p，=k八+P%,两边积分

k

得ln(p+1♦P')=kln(l+x)+lnC|,即p+/l+P,=C|(l+x)o由p(O)=y'(0)=0可知，

Cl=l,故nV+p=(l+X)k,上式分子有理化，得"可故

ps/s1[(l+x)*--L-7].

2

%(1+x)-1+x)+C2,4=1,

所以>(*)=

i尸♦占(I一)“〕+G，-Oi由「(o)=o得cz二.

4,'-1-炉，因此特解为

Y(1+4)'-4-ln(l♦x)-A=1,

y(«)«/4

♦占(i.幻1)+战，*>0,A.

知识点解析：暂无解析

16、

设(>,y)的联合密度函数为‘(孙外=『‘=*>"二：°'令z=*+2上

I0.其他.

(1)求Z的分布函数Fz(z)及密度函数人(z);

(2)求E(Z),OZ.

标准答案:

【分析】(1)一般用分布函数法,即根据定义确定七(Z),再求导得概?

率密度.(2)利用(1)的结果用定义计算.

【详解】(I)G(z)=PlZWzI=PIX+2y经z].

当zWO时，〃z(z)=o.

X+2y=z(;>0)

当z>0时，F,z)=[J。2e~'*2'dydx

=Iy_z。-'.

于是小二｛一7.J：：'则

(2)E(Z)=笳-&=2.

D(Z)=E(Z2)-E2(Z),E(Z2)=("z)Tdz=6.故。(Z)=6-4=2.

“评注】本题为甚础题型，用分布函数法求二重积分时,为了帮助确定枳分限，可画一草四,找出

满足X+2YWZ与概率由度不为零的公共部分.

窗版百丽瓦…丽完标诉...............................

17、

已知10只同种元件中布•2只废品，装配仪器时，需要从中取出2只正品，今从这些元件中

任取】只，若为正品，则留下备用；若为废品则扔掉，在余下的元件中再取一只，如此直至取出

2只正品为止，设X表示所取次数，求X的概率分布律，数学期望及方差.

标准答案：

【解析】主要是求随机变量X的取值及其相应的概率.不难确定,X的值为2,3,4.易得

其分布律.

由题意可知X=2为第1,第2的两次都取到正品;X=3为第1次废品而第2,3两次皆

为正品；或第1次正品，第2次废品，第3次正品；而至多只取4次，所以分布律为

X23

P-*8•—7-as28—8•—2—•■7■■■+.2——•—8•—7——1—4

109451098109845

X4

P.1——28——14•=~1

454515

故E(X)=2X寞+3X兴+4X+=§,

286

E(X2)=

45

D(X)-E＜X2)

知识点解析：暂无解析

18、

设/(x)在［0,1］上可导，且力＞/(x),/(0)•/(DV0,试证:方程/(力-0在(0,1)内有且仅有

一个实根.

标准答案：

分析:利用闭区间上连续函数的性质(零点存在定理)证明根的存在性;再利用函数的单调性证明

根的唯一性.

证:(存在性)因/(J)在［0,1］上可导,故/(x)在［0.1］上连续，又八0)・/(I)V0.于是由零点存在定

理知，至少存在一点(0，D，使/(£)=0•即WW(0,1)是方程/Cr)=0的实根.

《啡一性)令6力=「/(1)，因/(幻=尸［八力一/(1)］＞0,故/］)在［0.1］上单潮增加可奴外

在(0,1)内只有一个零点，于是/(工)在(0,1)内也只有一个零