初一数学一元一次方程应用专题训练4

初一数学一元一次方程应用专题训练4同学们，一元一次方程是我们解决实际问题的重要工具，它像一座桥梁，能将复杂的文字描述转化为清晰的数学关系。通过前几期的学习，相信大家已经对基本题型有了一定的掌握。本期专题训练，我们将进一步深入，探讨一些稍有变化或综合性略强一点的实际应用问题，重点在于提升大家分析问题、寻找等量关系的能力。请大家在练习时，务必仔细审题，耐心思考，逐步养成“审、设、列、解、验、答”的完整解题习惯。一、行程问题的深化与拓展行程问题始终是一元一次方程应用的重点和难点，其核心在于理解路程、速度、时间三者之间的基本关系：路程=速度×时间。在复杂一些的题目中，往往涉及到相遇、追及、环形跑道、水流等具体情境，需要我们仔细辨析运动过程，准确找出等量关系。例题1：相遇与分段行驶甲、乙两地相距若干千米，一辆慢车从甲地出发，每小时行驶40千米。慢车开出半小时后，一辆快车从乙地出发，每小时行驶60千米。两车相向而行，快车开出2小时后与慢车相遇。求甲、乙两地的距离。分析与解答：首先，我们来梳理题目中的信息。慢车先出发半小时，速度是每小时40千米。然后快车从乙地出发，速度每小时60千米，行驶了2小时后两车相遇。这里的关键是，慢车一共行驶了多长时间？它比快车多行驶了半小时，所以慢车的行驶时间是快车行驶时间加上半小时，即2+0.5=2.5小时。我们设甲、乙两地的距离为S千米。但在相遇问题中，更常用的等量关系是“慢车行驶的路程+快车行驶的路程=总路程（甲、乙两地距离）”。慢车行驶的路程=慢车速度×慢车行驶时间=40×2.5快车行驶的路程=快车速度×快车行驶时间=60×2所以，可列方程：40×2.5+60×2=S计算可得：100+120=S，即S=220答：甲、乙两地的距离为220千米。思考：如果我们直接设甲、乙两地距离为x千米，能否列出方程？当然可以，但思路会绕一些。有时，直接利用题目中各部分量之间的关系列出方程，会更简洁。这提示我们，设元之后，寻找等量关系是核心。例题2：追及问题中的变速一环形跑道长400米，小明和小亮在跑道上练习跑步。小明平均每分钟跑240米，小亮平均每分钟跑200米。（1）若两人同时同地同向出发，经过多少分钟小明第一次追上小亮？（2）若小明在小亮前方100米处，两人同时同向出发，小明平均每分钟跑240米，小亮为了在2分钟内追上小明，他的速度至少要提高到每分钟多少米？分析与解答：（1）环形跑道同向追及问题，其等量关系是“快者比慢者多跑一圈（即跑道长）时，快者第一次追上慢者”。设经过x分钟小明第一次追上小亮。小明跑的路程=240x小亮跑的路程=200x等量关系：240x-200x=400化简：40x=400解得：x=10答：经过10分钟小明第一次追上小亮。（2）此问中小明在小亮前方，且同向出发。小亮要追上小明，那么在2分钟内，小亮跑的路程至少要等于小明跑的路程加上他们最初的距离差（100米）。注意，这里是“至少”，所以取等号。设小亮的速度至少要提高到每分钟y米。小亮跑的路程=2y小明跑的路程=240×2等量关系：2y=240×2+100计算：2y=480+100=580解得：y=290答：他的速度至少要提高到每分钟290米。方法归纳：行程问题中，画出线段图或环形图辅助分析，能非常直观地帮助我们找到等量关系。无论是相遇还是追及，核心都是路程之间的关系。二、工程问题的应用工程问题主要研究工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系，基本公式为：工作总量=工作效率×工作时间。通常，我们将工作总量看作单位“1”（尤其在没有具体工作量时）。例题3：合作与分工一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。（1）甲、乙两人合作，几天可以完成这项工程？（2）如果甲先单独做3天，剩下的工程由乙单独完成，乙还需要多少天？分析与解答：将这项工程的工作总量看作单位“1”。甲的工作效率=1/10（每天完成工程的1/10）乙的工作效率=1/15（每天完成工程的1/15）（1）设甲、乙两人合作x天可以完成这项工程。甲、乙合作的工作效率=甲的效率+乙的效率=1/10+1/15根据工作总量=合作效率×合作时间，列方程：(1/10+1/15)x=1通分计算括号内：(3/30+2/30)x=1→(5/30)x=1→(1/6)x=1解得：x=6答：甲、乙两人合作6天可以完成这项工程。（2）甲先单独做3天，完成的工作量为：(1/10)×3=3/10剩余工作量为：1-3/10=7/10设乙还需要y天完成剩下的工程。乙的工作量=乙的效率×时间，即(1/15)y=7/10解得：y=(7/10)÷(1/15)=(7/10)×15=10.5（或21/2）答：乙还需要10.5天。思考：工程问题中，如果涉及到中途有人离开或加入，或者效率发生变化，解题思路是类似的，关键是将各个阶段的工作量相加，等于总的工作总量。三、利润问题的理解与计算利润问题与我们的日常生活密切相关，涉及成本（进价）、售价、利润、利润率等概念。基本关系式有：利润=售价-成本（进价）利润率=利润/成本（进价）×100%售价=成本（进价）×(1+利润率)（在盈利情况下）例题4：打折销售某商店购进一批服装，每件服装的进价为80元。商店准备以每件120元的价格标价，为了吸引顾客，商店决定打折销售。但要保证每件服装的利润率不低于20%，那么商店最低可以打几折销售？分析与解答：首先明确，利润率不低于20%，即利润率≥20%。这里的利润率是相对于进价（成本）而言的。每件服装进价（成本）为80元。设商店打x折销售。注意，“打x折”意味着售价是标价的“x/10”或“0.x倍”。所以，每件服装的售价=120×(x/10)根据利润率公式：利润率=(售价-成本)/成本×100%≥20%我们可以先求出保证利润率为20%时的最低售价。设最低售价为y元，则(y-80)/80×100%=20%即(y-80)/80=0.2解得：y-80=16→y=96所以，售价至少要达到96元。现在，售价是120×(x/10)=12x所以，12x≥96解得：x≥8答：商店最低可以打8折销售。方法归纳：解决利润问题，关键是理清各个量之间的关系，尤其是“利润率”的计算基准是成本（进价），而不是售价或标价。打折、降价等都是在标价基础上进行的。四、巩固练习请同学们独立完成以下练习题，检验一下自己的掌握程度。1.A、B两地相距360千米，一列慢车从A地开出，每小时行60千米；一列快车从B地开出，每小时行100千米。（1）若两车同时开出，相向而行，多少小时后两车相遇？（2）若慢车先开出1小时，快车再从B地开出，两车同向而行（快车在慢车后面），快车开出多少小时后追上慢车？2.一项工作，甲单独做需20小时完成，乙单独做需12小时完成。现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合作，剩下的部分需要几小时完成？3.某商品的进价为200元，标价为300元。若要保证利润率不低于5%，则该商品最多可以降价多少元出售？温馨提示：做题时，不要急于列方程，先静