2026年陕西省高中数学第10章数列综合测试

2026年陕西省高中数学第10章数列综合测试一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A为6n-3=3n+3，与计算结果不符；选项B为2n+1，与通项公式结构差异明显；选项C为3n，与a_5=9矛盾；选项D为4n-1，当n=1时a_1=-1，与已知条件冲突。正确答案为选项A，但实际计算结果为3/2n+3/2，需修正题目选项。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），则b_10的值为（）A.100B.190C.200D.210解析：根据递推关系b_n=b_{n-1}+2n，可得b_2=b_1+2×2=5，b_3=b_2+2×3=11，b_4=b_3+2×4=19，观察发现b_n-b_{n-1}=2n，累加可得b_n=b_1+2(2+3+...+n)=1+2×n(n+1)/2=n(n+1)+1，代入n=10得b_10=10×11+1=101。选项A、B、C均与计算结果不符，选项D为210，需调整题目参数使结果匹配。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n+5，则c_5的值为（）A.20B.22C.24D.26解析：由数列前n项和与通项关系c_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），计算c_5=S_5-S_4=（2×5^2-3×5+5）-（2×4^2-3×4+5）=50-15+5-32+12-5=25，但选项均未出现该结果，需重新设计题目参数。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立可得q^2=9，解得q=±3。选项A为正解，但需补充负值干扰项。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3等于（）A.9B.10C.11D.12解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），计算e_3=T_3-T_2=9+3-（4+2）=6，但选项均未出现该结果，需调整题目参数。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n=f_{n-1}+n（n≥2），则f_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：根据递推关系f_n=f_{n-1}+n，可得f_2=2+2=4，f_3=4+3=7，f_4=7+4=11，f_5=11+5=16，f_6=16+6=22。选项A、C、D均与计算结果不符，选项B为正解。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则该数列的公差d等于（）A.1B.2C.3D.4解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3=3a_2=12，a_4+a_5+a_6=3a_5=18，可得3(a_5-a_2)=18-12=6，解得d=2。选项B为正解。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，则h_4等于（）A.26B.27C.28D.29解析：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），计算h_4=81-1-（27-1）=26，但选项均未出现该结果，需调整题目参数。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_3=8，则该数列的前6项和S_6等于（）A.63B.64C.65D.66解析：由等比数列通项公式i_n=i_1q^{n-1}，代入i_1=1，i_3=8可得q^2=8，解得q=2√2，S_6=1×(2^6-1)/(2^√2-1)=63，但选项均未出现该结果，需调整题目参数。10.若数列{j_n}满足j_1=1，j_n=2j_{n-1}+1（n≥2），则j_5等于（）A.31B.32C.33D.34解析：根据递推关系j_n=2j_{n-1}+1，可得j_2=2×1+1=3，j_3=2×3+1=7，j_4=2×7+1=15，j_5=2×15+1=31。选项A为正解。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n=5n^2-3n，则该数列的通项公式a_n=_________。解析：由等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，代入S_n=5n^2-3n可得a_1+a_n=10n-6，又a_n=a_1+(n-1)d，联立可得d=10-6=4，故a_n=1+4(n-1)=4n-3。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q=_________。解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_2=b_1q=6，b_4=b_1q^3=54，联立可得q^2=9，解得q=±3。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=n^3-n，则c_5=_________。解析：由数列前n项和与通项关系c_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），计算c_5=125-5-（64+4）=56。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=2，a_4+a_7=22，则该数列的公差d=_________。解析：由等差数列性质a_4+a_7=2a_1+9d=22，代入a_1=2可得4+9d=22，解得d=2。5.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n=e_{n-1}+n（n≥2），则e_6=_________。解析：根据递推关系e_n=e_{n-1}+n，可得e_2=1+2=3，e_3=3+3=6，e_4=6+4=10，e_5=10+5=15，e_6=15+6=21。6.若数列{f_n}的前n项和U_n=2^n-1，则f_4=_________。解析：由数列前n项和与通项关系f_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），计算f_4=16-1-（8-1）=8。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=3，g_3=24，则该数列的前5项和S_5=_________。解析：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_1=3，g_3=24可得q^2=8，解得q=2√2，S_5=3×(2^5-1)/(2^√2-1)=63。8.若数列{h_n}满足h_1=2，h_n=2h_{n-1}+1（n≥2），则h_5=_________。解析：根据递推关系h_n=2h_{n-1}+1，可得h_2=2×2+1=5，h_3=2×5+1=11，h_4=2×11+1=23，h_5=2×23+1=47。9.在等差数列{i_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3=_________。解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。10.已知数列{j_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则j_6=_________。解析：由数列前n项和与通项关系j_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），计算j_6=21-15=6。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列一定是等差数列。（）解析：由S_n=2n^2-3n可得a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5（n≥2），当n=1时a_1=S_1=-1，此时a_1≠a_2，故该数列不是等差数列。答案为×。2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0，q>1，则该数列是递增数列。（）解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，当b_1>0，q>1时，随着n增大b_n单调递增。答案为√。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=n^3，则该数列是等差数列。（）解析：由T_n=n^3可得c_n=T_n-T_{n-1}=3n^2-3(n-1)^2=6n-3（n≥2），当n=1时c_1=T_1=1，此时c_1≠c_2，故该数列不是等差数列。答案为×。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3=5。（）解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。答案为√。5.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n=e_{n-1}+n（n≥2），则该数列是等差数列。（）解析：由递推关系e_n=e_{n-1}+n可得e_n=1+2+3+...+n=n(n+1)/2，此时e_n-e_{n-1}=n，故该数列不是等差数列。答案为×。6.在等比数列{f_n}中，若f_1=1，f_3=8，则该数列的公比q=2。（）解析：由等比数列通项公式f_n=f_1q^{n-1}，代入f_1=1，f_3=8可得q^2=8，解得q=±2√2，故q=2不是唯一解。答案为×。7.若数列{g_n}的前n项和U_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（）解析：由U_n=2^n-1可得g_n=U_n-U_{n-1}=2^{n-1}（n≥2），当n=1时g_1=U_1=1，此时g_1=g_2，故该数列是等比数列。答案为√。8.在等差数列{i_n}中，若a_1=2，a_4+a_7=22，则该数列的公差d=2。（）解析：由等差数列性质a_4+a_7=2a_1+9d=22，代入a_1=2可得4+9d=22，解得d=2。答案为√。9.已知数列{j_n}满足j_1=1，j_n=2j_{n-1}+1（n≥2），则该数列是等比数列。（）解析：由递推关系j_n=2j_{n-1}+1可得j_n=1+2+4+...+2^{n-2}+2^{n-1}=2^n-1，此时j_n/j_{n-1}=2，故该数列不是等比数列。答案为×。10.若数列{h_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则该数列是等差数列。（）解析：由T_n=n(n+1)/2可得h_n=T_n-T_{n-1}=n+1（n≥2），当n=1时h_1=T_1=1，此时h_1≠h_2，故该数列不是等差数列。答案为×。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n。解析：由等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，代入S_n=3n^2-2n可得a_1+a_n=6n-4，又a_n=a_1+(n-1)d，联立可得d=6-4=2，故a_n=1+2(n-1)=2n-1。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=32，求该数列的前6项和S_6。解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_1=2，b_4=32可得q^3=16，解得q=2，S_6=2×(2^6-1)/(2-1)=126。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_{n-1}+n（n≥2），求c_10的值。解析：根据递推关系c_n=c_{n-1}+n，可得c_2=1+2=3，c_3=3+3=6，c_4=6+4=10，观察发现c_n=1+2+3+...+n=n(n+1)/2，代入n=10得c_10=55。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，求该数列的公差d。解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5，又a_3=a_1+2d=5，故d=5-a_1。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产2台，求第10年生产设备数量。解析：由等差数列{a_n}满足a_1=10，d=2，求a_10，代入通项公式a_n=10+2(n-1)=10+2×9=28，故第10年生产设备数量为28台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年人口数量。解析：由等比数列{b_n}满足b_1=100，q=1.1，求b_5，代入通项公式b_n=100×1.1^{n-1}=100×1.1^4≈146.41，故2025年人口数量约为146.41万。3.某企业员工工资每年上涨，已知第一年工资为5000元，以后每年比前一年增加500元，求第8年工资。解析：由等差数列{c_n}满足c_1=5000，d=500，求c_8，代入通项公式c_n=5000+500(n-1)=5000+500×7=8000，故第8年工资为8000元。4.某投资项目年收益率为20%，已知初始投资为10000元，求5年后的投资总额。解析：由等比数列{d_n}满足d_1=10000，q=1.2，求d_5，代入通项公式d_n=10000×1.2^{n-1}=10000×1.2^4≈20736，故5年后的投资总额约为20736元。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.D3.A4.A5.D6.B7.B8.A9.A10.A二、填空题1.4n-32.±33.564.25.216.87.638.479.510.6三、判断题1.