人教实验版三年级下册第九单元

数学广角——集合人教版三年级下册·第九单元CONTENTS今天我们学什么人教实验版三年级下册第九单元数学广角——集合01走进集合的世界02认识韦恩图03用集合解决问题04挑战与巩固05课堂总结与回顾CHAPTER01走进集合的世界从生活中的分类开始，认识集合的含义MATH·数学广角生活中的分类就是集合集合的基本思想来源于日常生活中的分类行为。把具有相同特征的事物归为一类、放在一起，就形成了一个"集合"。整理衣柜——把上衣、裤子、袜子分开存放，每一种类别就是一个"集合"，这是生活中最常见的集合思想超市分区——水果区、蔬菜区、零食区各有不同商品，每个区域里的商品组成了各自的集合兴趣分组——篮球组、绘画组、阅读组，每个小组就是一个由相同爱好同学组成的集合数学定义——把一些确定的对象放在一起组成的整体叫做集合，每个对象叫做"元素"整理书包、分类文具——身边最常见的集合思想数学广角·集合发现问题：重复的同学怎么办当两个集合存在共同元素时，直接相加会导致重复计数。识别'重复部分'是理解集合问题的关键第一步，也是引入韦恩图的动机所在。语文兴趣小组5人成员名单：小明、小红、小刚、小丽、小华共5位同学参加了语文兴趣小组小明小红小刚小丽小华其中小刚和小丽同时也参加了数学兴趣小组，属于两个集合的"交叉"成员数学兴趣小组6人成员名单：小刚、小丽、小强、小美、小杰、小龙共6位同学参加了数学兴趣小组小刚小丽小强小美小杰小龙6+5=11人吗？不对！因为小刚和小丽被算了两次，实际一共有9人数学广角·第九单元集合的基本术语掌握"集合""元素""属于"三个基本术语是学习集合知识的基础。在三年级阶段，学生需要理解集合是一个整体、元素是其中的个体、属于描述个体与整体的关系。集合把一些确定的事物放在一起组成的整体。比如"三年级所有女生的集合""水果的集合"。元素集合中的每一个事物就叫这个集合的元素。苹果是水果集合的一个元素。属于如果某个事物在一个集合里面，就说它"属于"这个集合。比如草莓属于水果集合。不属于如果某个事物不在某个集合里面，就说它"不属于"。比如铅笔不属于水果集合。课堂互动·积极思考CHAPTER02认识韦恩图用圆圈画一画，让集合变得看得见数学广角·集合什么是韦恩图韦恩图是用圆圈表示集合的直观图形工具，由英国数学家约翰·韦恩发明。通过圆圈的交叉重叠，可以清晰地看到不同集合之间的关系，特别是它们的共同部分。01韦恩图用圆圈表示集合，每一个圆圈代表一个集合，圆圈里面写集合的所有元素02当两个集合有共同元素时，让两个圆圈部分重叠，重叠区域放两个集合共有的元素03不重叠的左半部分只属于第一个集合，不重叠的右半部分只属于第二个集合04韦恩图最大的优点是"一目了然"——看一眼就知道哪些是共同的，哪些是独有的小学数学课堂教学场景韦恩图·集合动手画韦恩图通过两个交叉圆圈可以清楚地表示两个集合的关系：左半部分是只在集合A的元素，右半部分是只在集合B的元素，中间重叠部分是同时在两个集合的元素。语文3人小明、小红小华重叠2人小刚小丽数学4人小强、小美小杰、小龙参加兴趣小组共9人三个区域的含义01左边独有区域—只参加语文兴趣小组的同学，有小明、小红、小华共3人02中间重叠区域—同时参加语文和数学两个兴趣小组的同学，有小刚、小丽共2人03右边独有区域—只参加数学兴趣小组的同学，有小强、小美、小杰、小龙共4人怎么验证总数01逐区相加：3+2+4=9人，这就是参加兴趣小组的总人数02公式计算：语文组5人+数学组6人−重复2人=9人，两种方法结果一样数学广角·集合韦恩图的三个区域两个交叉圆圈形成三个区域，分别对应"只属于A""只属于B""同时属于A和B"三种关系。掌握这三个区域的含义是读懂韦恩图、解决集合问题的基础能力。动手画一画：两个交叉的圆圈01左独有区域：这个区域里的元素只属于集合A，不属于集合B，代表A独有的部分只属A02中间重叠区域：这个区域里的元素既属于集合A又属于集合B，代表两个集合的公共部分A∩B03右独有区域：这个区域里的元素只属于集合B，不属于集合A，代表B独有的部分只属B左圈独有归A有，右圈独有归B有，中间交叉两边有，三个区域看通透读图口诀CHAPTER09·数学广角两种集合关系对比集合之间的关系有两种基本情形：没有共同元素时圆圈完全分离，有共同元素时圆圈交叉重叠。识别集合之间是否有交集是正确画出韦恩图的前提。没有交集的情况水果集合文具集合01两个集合没有任何共同元素时，两个圆圈完全分开，各自独立表示02例如："水果集合"和"文具集合"没有交叉，苹果不可能同时是一支铅笔有交集的情况游泳都会乒乓01两个集合有共同元素时，两个圆圈部分重叠，重叠区域放共同的元素02例如："会游泳的同学"和"会打乒乓球的同学"可能有交叉，有些同学两样都会CHAPTER03用集合解决问题学会用公式和韦恩图算出正确的总数核心方法集合问题的核心公式当两个集合存在交集时，总数不等于两个集合数量的简单相加，而需要减去重复部分。公式'总数=A+B-重复数'是解决所有两集合问题的核心工具。数学广角·集合课堂01核心公式：总人数=A组人数+B组人数−两组都参加的人数，减去重复是因为交叉部分被多算了一次02实例：语文组5人+数学组6人−两组都参加2人=实际一共9人03易错点：直接5+6=11就多算了2人，因为小刚和小丽在两个组里各被数了一次04验证：韦恩图左3+中2+右4=9人，与公式结果完全一致例题精讲课本经典例题详解通过完整的解题步骤演示，让学生掌握从审题、画韦恩图到列式计算的标准解题流程。关键是找准'重复部分'并正确应用公式。01题目与审题题目三（1）班15人参加跳绳比赛，12人参加跑步比赛，两项都参加的有5人。问：参加比赛的一共有多少人？审题关键两个集合分别是"跳绳组"和"跑步组"，交集是"两项都参加的5人"。注意：这5人在两个集合中都被统计了一次，计算总数时需要去重。02画图与计算画韦恩图左圈标15人，右圈标12人，中间重叠区域标5人。直观展示：只跳绳的10人，只跑步的7人，两项都参加的5人。列式计算方法一：总人数=跳绳人数+跑步人数−重复人数15+12−5=22（人）答：一共有22人参加了比赛数学广角·集合运动会报名问题运动会报名是典型的集合问题场景，关键词"都报名""两项都参加"提示存在交集。用公式快速算出实际参与人数，避免因重复计数导致结果偏大。01题目信息提取：短跑20人、跳远18人、两项都报名7人，需要求参加运动会的总人数02套入公式：20+18−7=31人，因为7个人被短跑和跳远各数了一次，需减去多算的一次03韦恩图验证：左独有区13人，中间区7人，右独有区11人，13+7+11=31人04解题技巧：遇到"都参加""两项都有"等关键词，就要想到集合问题和减去重复数小学生运动会短跑比赛现场集合·第九单元反向求重复数25+20−40=5集合公式可以变形使用：当已知总数和两个集合各自的数量时，可以用'重复数=A+B-总数'来反求交集的大小，这锻炼了逆向思维能力。题目分析01全班40人每人至少订了一种报刊，《少年报》25人、《儿童文学》20人，求两种都订的人数02关键条件"每人至少订了一种"说明总数就是40人，没有人两种都不订理解"至少订一种"的含义：这意味着全班同学都被包含在两个集合的并集中，不存在圈外人员40人每人至少订一种报刊反向计算01公式变形：重复数=25+20−40=5人，即有5位同学同时订阅了两种报刊02验证：只订《少年报》20人+只订《儿童文学》15人+两种都订5人=40人，正确验证思路：用"只订一种"的人数加上"两种都订"的人数，检验是否等于全班总人数5人同时订阅两种报刊Practice多题快速练习通过多道题目的集中练习，让学生在反复套用公式的过程中形成计算直觉，熟练掌握'总数=A+B-重复'这一核心方法。集合问题速练表题目集合A集合B重复数总人数第1题：跳绳和踢毽10人8人3人10+8−3=15人第2题：美术和音乐15人12人4人15+12−4=23人第3题：篮球和足球18人16人6人18+16−6=28人第4题：书法和绘画12人9人2人12+9−2=19人四道题均使用"总数=A+B−重复"公式，通过反复练习巩固集合计算方法LIFEMATH·生活数学超市购物中的集合集合去重思想在日常生活中随处可见：购物清单合并、通讯录整合、课程表统计等场景都涉及"去掉重复"的集合思维，数学知识真正服务于生活。购物清单合并爸爸买回苹果、香蕉、橙子，妈妈买回香蕉、葡萄、梨子，合并后一共5种水果（香蕉只算一次）集合A3种+集合B3种−重复1种3+3−1=5种核心思想：找出两个集合的交集，避免重复计算相同元素课程表统计周一有语文、数学、英语、体育4节课，周二有数学、美术、音乐、科学4节课，两天不重复的课程共7节周一4节+周二4节−重复1节（数学）4+4−1=7节实际应用：并集计算确保每门课程只被统计一次CHAPTER04挑战与巩固做几道有挑战的题目，让集合本领更扎实综合应用挑战题：合唱队与舞蹈队综合题要求学生不仅会算总数，还要能分别算出各独有区域的数量。先求独有部分、再结合交集求总数，是集合问题的进阶解题思路。01只参加合唱队合唱队28人中有10人同时参加了舞蹈队，所以只参加合唱队的人数=28−10=18人18人02只参加舞蹈队舞蹈队22人中有10人同时参加了合唱队，所以只参加舞蹈队的人数=22−10=12人12人03方法一：三区域相加把三个区域的人数分别加起来：18+10+12=40人18+10+1204方法二：公式法两种方法算出来的结果相同，互相验证：28+22−10=40人28+22−10CHALLENGE挑战题：求未知集合当已知总数、一个集合的数量和交集数量时，可以通过公式变形'B=总数-A+重复'来求解另一个集合。01全班35人至少参加一个班，绘画班20人，两班都参加8人，求书法班人数02总数=A+B-重复，移项得B=总数-A+重复=35-20+8=23人03韦恩图验证：只绘画12人+交集8人+只书法15人=35人04公式不只能从左往右用，还能反过来求未知数，灵活变形是解题关键小学生绘画课堂实拍数学广角·集合调查统计：最喜欢的水果调查统计是集合问题的典型应用场景。'每人至少选了一种'意味着总数就是所有区域人数之和，审题时要特别注意这类限定条件。提取关键信息列式计算基础数据喜欢苹果18人、喜欢香蕉14人、两种都喜欢6人、每人至少喜欢一种关键条件'每人至少喜欢一种'是关键条件，说明没有人两种都不喜欢，总人数就是三个区域之和计算公式直接套公式：18+14−6=26人，全班共有26位同学分步验证只喜欢苹果12人，都喜欢6人，只喜欢香蕉8人，12+6+8=26人✓数学广角·集合趣味分类：农场动物通过动物腿的数量进行分类是一个典型的无交集集合问题。当两个集合的分类标准互斥时，它们没有共同元素，韦恩图中两个圆圈完全分离。农场里的鸡、鸭、鹅——都是两条腿的家禽01两条腿的动物集合：鸡、鸭、鹅共3种家禽，都用两条腿走路02四条腿的动物集合：猫、狗、兔子、猪、羊共5种家畜，都用四条腿走路03两个集合没有交集——没有任何农场动物既是两条腿又是四条腿，圆圈完全分开04农场动物总数=3+5=8种，没有重复，不需要减去任何数数学广角·集合陷阱题：注意"都不参加"的人当题目中出现"都没参加""都不选"的条件时，需要先从总数中减去这部分人，再对剩余的"至少参加一个"的人使用集合公式。忽略这一条件是常见的解题错误。审题关键全班45人中有7人两个队都没参加，所以至少参加一个队的人数：45−7=38人这一步非常重要——如果忘记减去7人而直接用45去算，就会得到错误答案求解过程用38人套用公式，重复数：20+18−38=0人即没有人同时参加两个队验证：20+18+7=45✓只合唱+只舞蹈+都不参加=全班人数，结果完全正确数学广角·集合画图解题：运动会统计画韦恩图是解决集合问题的重要方法。先填中间交集、再算两边独有区域、最后求总数，这个"三步法"能帮助学生有条理地完成解题。韦恩图示意跑步组跳远组11人5人8人共24人16+13−5=241填中间交集——在两个圆圈交叉的中间区域填入两项都参加的人数52算独有区域——跑步独有16−5=11人，跳远独有13−5=8人3求总人数——三个区域相加11+5+8=24人画图让每个区域清清楚楚，不容易漏掉或多算，比纯文字分析更直观数学广角·集合思考题：水果种类合并合并不同来源的同类项目时，集合去重思想可以帮助快速算出不重复的种类总数。关键步骤是找出重复的元素，再用公式计算。新鲜水果示意01列出清单小明家4种：苹果、梨、香蕉、橙子；小红家4种：香蕉、橙子、葡萄、西瓜02找重复香蕉和橙子在两家都有，重复数=203合并计算4+4−2=6种：苹果、梨、香蕉、橙子、葡萄、西瓜04生活应用整理书架合并两人的书、汇总小组活动名单，都可以用这个方法MATH·集合班级值日安排问题值日安排是学校生活中常见的集合场景。通过反复练习不同类型的问题，学生可以将集合思维内化为解决日常问题的自然工具。解题过程11总人数扫地组8人、擦窗户组6人、两组都参加的3人8+6−3=11人使用容斥原理：先将两组人数相加，再减去重复计算的部分，得到实际参与值日的总人数。韦恩图验证只扫地5两项都参加3只擦窗3只扫地：8−3=5人·中间重叠：3人·只擦窗：6−3=3人5+3+3=11人✓延伸思考变式问题如果班主任又加了拖地组4人（其中2人也参加了扫地），总人数会怎么变化呢？提示：需要考虑拖地组与扫地组的重叠部分，避免重复计算。知识拓展这涉及三个集合的问题，是我们以后要学习的内容，感兴趣的同学可以课后想一想。集合的并集容斥原理韦恩图题型速查常见题型总结系统梳理集合问题的四种常见题型及其对应的解题公式，帮助学生在面对不同题目时快速识别类型、选择正确方法，形成完整的解题知识体系。题型已知条件求解公式示例正向求总数A数、B数、重复数总数=A+B-重复15+12-5=22人反向求重复数总数、A数、B数重复=A+B-总数25+20-40=5人求独有区域集合总数、重复数独有=集合数-重复28-10=18人含"都不参加"全班数、都不数、A数、B数先减"都不"再套公式45-7=38人再计算掌握四种题型的识别方法和对应公式，是解决集合问题的关键CHAPTER05课堂总结与回顾把今天学到的集合知识串一串、理一理LearningPath今天的学习路径本节课按照"认识概念→掌握工具→解决问题→巩固提升"的递进路径展开，每一步都建立在前一步的基础之上，形成完整的知识链条。知识学习路径01认识集合理解"把有共同特点的事物放在一起"就是集合，掌握集合、元素、属于三个术语02学会韦恩图用交叉圆圈表示两个有交集的集合，理解三个区域分别代表什么能力提升路径03掌握公式总数=A+B−重复数，能正向求总数也能反向求重复数04灵活运用解决运动会报名、调查统计、购物合并等多种实际场景的集合问题数学广角·集合三个核心知识点本节课的核心知识可以浓缩为三个要点：集合的含义、韦恩图的画法、去重公式的应用。这三个知识点层层递进、互为支撑，构成了本单元完整的知识框架。01集合：把具有相同特征的事物归为一类形成的整体，每个事物叫做集合的元素。02韦恩图：用圆圈表示集合，两个圆圈交叉时中间重叠区域表示两个集合的公共元素。03去重公式：总数=A的数量+B的数量−重复的数量，减去重复避免多算。04记忆口诀："集合分类放一起，韦恩画圈看交集，两组求和减重复，去重才是真总数"课堂互动·积极参与，快乐学习数学广角