初中数学七年级下册 三角形核心知识清单

初中数学七年级下册三角形核心知识清单一、三角形的基本概念与要素（一）三角形的定义与表示法【基础】【必考】1、定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的平面图形称为三角形14。这一定义包含三个不可或缺的条件：其一是三条线段；其二是线段不在同一条直线上；其三是首尾顺次相接，三者缺一不可。2、表示法：三角形用符号“△”表示。顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”14。在表示时，通常按逆时针或顺时针方向依次书写三个顶点字母。（二）三角形的基本元素1、顶点：三角形中相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。△ABC有三个顶点：A、B、C。2、边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边。△ABC的三条边分别是线段AB、BC、CA。为了便于表示，顶点A所对的边BC常用a表示，顶点B所对的边AC常用b表示，顶点C所对的边AB常用c表示4。3、内角：三角形相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。△ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C4。（三）三角形的相关概念辨析【易错点】1、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于一点，这一点位于三角形内部。2、三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于一点，这一点称为三角形的重心，位于三角形内部。3、三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高26。▲【难点】【高频考点】三角形的高线是一条线段，而垂线是一条直线。由于三角形形状的不同，高线的位置也会出现差异：锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条高恰好是两条直角边，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形外部，一条高在三角形内部。这一特性是考试中识图与作图的易错点。二、三角形的内角和定理（一）定理内容【基础】1、三角形三个内角的和等于180°14。这是三角形最基本的数量关系，也是解决角度计算问题的基石。2、在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。（二）定理的推论与应用1、直角三角形的两个锐角互余【重要】：在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A+∠B=90°14。这一推论在解决直角三角形角度问题时非常实用。2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和【高频考点】。这一定理将内角与外角联系起来，是解决折角、拐点问题的重要工具。3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。（三）三角形按角的分类【基础】1、锐角三角形：三个角都是锐角的三角形（所有角都小于90°）14。2、直角三角形：有一个角是直角的三角形（有一个角等于90°）14。直角三角形用符号“Rt△”表示。3、钝角三角形：有一个角是钝角的三角形（有一个角大于90°且小于180°）14。（四）★【高频考点】角度计算的常见题型1、直接应用内角和定理：已知两角求第三角。2、结合角平分线、高线求角度：如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，CD平分∠ACB，DE∥BC，求∠EDC、∠BDC的度数1。解题关键：先利用内角和求出∠ACB=60°，再由角平分线得∠BCD=30°，最后利用平行线性质或三角形内角和求解。3、利用方程思想求解：若已知三角形的几个角之间存在比例关系或和差关系，通常设未知数列方程求解。例如：在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，则各角度数可设为2x、3x、4x，由2x+3x+4x=180°解得x=20°，进而求出各角。三、三角形的三边关系（一）定理内容【基础】1、三角形任意两边之和大于第三边148。用字母表示：a+b>c，a+c>b，b+c>a。2、三角形任意两边之差小于第三边148。用字母表示：|ab|<c，|ac|<b，|bc|<a。（二）★【高频考点】【易错点】三边关系的应用1、判断三条线段能否组成三角形：简便方法：只需检验两条较短线段之和是否大于最长线段4。若大于，则能组成；否则不能。例如：长度为3cm、4cm、5cm的三条线段，3+4=7>5，能组成三角形；而长度为8cm、7cm、15cm的三条线段，8+7=15，不大于15，不能组成三角形8。2、确定第三边的取值范围【重要】：已知三角形的两边长分别为a和b，则第三边x的取值范围是：|ab|<x<a+b48。特别提醒：要注意“大于两边之差，小于两边之和”，且这里的差是绝对值，结果应为正数。例如：两边长为3和9，则第三边x的取值范围是6<x<12。3、等腰三角形中的三边关系讨论【难点】：已知等腰三角形的两边长，求周长时，必须分类讨论哪条是腰、哪条是底，并利用三边关系进行检验8。【典型例题】等腰三角形的两边长分别为4和9，求其周长。解题步骤：①若腰长为4，底边为9，则三边为4、4、9。检验：4+4=8<9，不满足三边关系，舍去。②若腰长为9，底边为4，则三边为9、9、4。检验：9+4>9，9+9>4，均成立。③周长为9+9+4=22。【关键提醒】涉及等腰三角形边长问题时，必须先用三边关系检验合理性，这是考试的必考点和易错点。4、化简含绝对值的代数式【拓展】：已知a、b、c为三角形的三边长，化简|abc|+|bca|+|c+ab|8。解题原理：根据三角形三边关系，abc=a(b+c)<0，bca=b(c+a)<0，c+ab>0。再利用绝对值的性质去掉绝对值符号，即可化简。（三）三角形按边的分类【基础】1、不等边三角形：三条边都不相等的三角形。2、等腰三角形：有两条边相等的三角形8。在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。3、等边三角形：三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形8。四、全等三角形的概念与性质（一）全等图形的定义1、能够完全重合的两个图形称为全等图形4。2、全等图形的特征：形状相同，大小相等。（二）全等三角形的定义1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形4。2、对应顶点：两个三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点。3、对应边：互相重合的边叫做对应边。4、对应角：互相重合的角叫做对应角。5、表示法：“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。例如，△ABC≌△DEF，表示点A与点D对应，点B与点E对应，点C与点F对应。（三）全等三角形的性质【基础】1、全等三角形的对应边相等14。2、全等三角形的对应角相等14。3、全等三角形的周长相等，面积相等。4、全等三角形的对应中线、对应角平分线、对应高线分别相等。五、★【核心考点】全等三角形的判定（一）判定方法综述【重要】三角形全等的判定是本章的核心内容，也是后续几何学习的基础。判定两个三角形全等，需要根据已知条件选择合适的方法。七年级下册主要学习以下四种基本判定方法：1、SSS（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等14。书写格式：在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AC=DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)。应用场景：已知三边长度，或通过证明得到三边相等。2、ASA（角边角）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等14。书写格式：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，∴△ABC≌△DEF(ASA)。应用场景：已知两角及其夹边对应相等。3、AAS（角角边）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等，这两个三角形全等14。书写格式：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF(AAS)。应用场景：已知两角及其中一角的对边相等。注意，AAS与ASA本质上相通，都是利用三角形内角和固定，第三角必然相等。4、SAS（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等14。书写格式：在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，∴△ABC≌△DEF(SAS)。应用场景：已知两边及夹角对应相等。特别强调：这里的角必须是两边的夹角，不能是其中一边的对角。（二）▲【难点】【易错点】判定方法的辨析与使用1、【高频易错】SSA（边边角）不能判定两个三角形全等26。在已知两边及其中一边的对角分别相等的情况下，两个三角形不一定全等。这一点在选择题和判断题中经常出现，必须牢记。2、AAA（角角角）不能判定两个三角形全等。如果两个三角形的三个角分别相等，只能说明它们形状相同（相似），但大小不一定相等。3、证明三角形全等时，必须严格按照判定方法的要求列出三个条件，且这三个条件必须对应同一个三角形中的相应元素7。（三）【高频考点】全等三角形的证明思路1、直接证明型：题目直接给出部分边或角相等，通过简单推理即可得到三个条件。2、间接证明型：需要先通过平行线性质、中点定义、公共边、公共角、对顶角等条件，推导出所需的全等条件。3、常见隐含条件：公共边：如图，AC是△ABC和△ADC的公共边。公共角：如图，∠A是△ABC和△ABD的公共角。对顶角：如图，∠AOB与∠COD是对顶角。等角或等边的传递性：等量加等量和相等，等量减等量差相等。4、典型例题分析：如图，已知∠1=∠2，要说明△ABD≌△ACD，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（）1A.∠ADB=∠ADCB.∠B=∠CC.DB=DCD.AB=AC解析：本题需逐一分析每个选项能否构成全等。选项A是ASA；选项B是AAS；选项C是SSA，不能判定全等；选项D是SAS。故错误选法是C。六、尺规作图与三角形的稳定性（一）尺规作图【基础操作】1、作一个三角形与已知三角形全等：（1）已知三边作三角形（SSS）；（2）已知两边及其夹角作三角形（SAS）；（3）已知两角及其夹边作三角形（ASA）。2、作角的平分线7。3、作线段的垂直平分线。（二）三角形的稳定性【基础】1、三角形具有稳定性：三角形的三边一旦确定，其形状和大小就完全确定，这种性质叫做三角形的稳定性1。2、应用举例：生活中的三角架、起重机、屋顶的三角形结构等，都是利用三角形的稳定性。3、判定依据：三角形的稳定性可由SSS判定解释——三边确定，则三角形唯一确定。七、利用全等三角形测距离（一）原理【重要】1、构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，将不可直接测量的距离转化为可测量的距离。2、基本步骤：构造全等→证明全等→转化距离→得出结论。（二）常见模型【高频考点】1、中间建桥型：如图，要测量池塘两岸相对两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长。原理是△ABC≌△EDC(ASA)。2、倍长中线型：如图，AD是△ABC的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则△ADC≌△EDB(SAS)，从而可得AC=BE，将AC转移到可测的三角形中。3、垂直平移型：如图，要测量河宽，可以在河对岸选定一个目标点A，再在河这边取点B和C，使AB⊥BC，再从点C作BC的垂线，取点E使E、A、B在一条直线上，则BC的长度即为河宽。八、★【综合拓展】解题思想与方法整合（一）分类讨论思想【难点】1、在等腰三角形问题中的应用：当已知等腰三角形的边或角不确定时，需分类讨论。（1）边长问题：已知两边，需讨论哪边是腰；已知周长和一边，需讨论该边是腰还是底。（2）角度问题：已知一个角，需讨论该角是顶角还是底角3。【典型例题】等腰三角形的一个角是30°，求另外两个角的度数。解析：若30°角是底角，则另一底角也是30°，顶角为180°30°30°=120°；若30°角是顶角，则两个底角各为(180°30°)÷2=75°。故有两种可能：30°、30°、120°或30°、75°、75°。（3）▲【易错警示】等腰三角形底角只能是锐角，不可能是直角或钝角3。若题目中出现的角是钝角或直角，它只能作为顶角。（二）方程思想1、在角度计算中，当已知角度间的数量关系时，常设未知数列方程求解。2、在边长计算中，利用周长或三边关系列方程。（三）转化思想1、利用全等三角形将边或角进行转移。2、利用三角形内角和定理及外角性质，将复杂图形中的角度问题转化为三角形内角问题。（四）构造思想【拓展】1、当题目条件分散时，通过添加辅助线构造全等三角形或特殊三角形。2、常见辅助线作法：（1）倍长中线法：将中线延长一倍，构造全等三角形3。（2）截长补短法：证明线段和差关系时常用。（3）作平行线法：利用平行线得到角相等，构造全等或相似。九、【备考指南】常见题型与解题规范（一）选择题与填空题【基础】1、考查要点：概念辨析、三边关系判断、全等判定条件选择、角度简单计算。2、解题技巧：（1）三边关系题：直接验证“最短两边之和大于最长边”。（2）全等判定题：熟记SSS、SAS、ASA、AAS可用，SSA、AAA不可用6。（3）角度计算题：注意利用外角性质、平行线性质等隐含条件。（二）解答题规范要求【重要】1、证明过程条理化：（1）明确已知条件与求证结论。（2）写出推理依据，步步有据，不能随意省略7。（3）证明三角形全等时，用大括号按顺序列出三个条件，条件与结论之间逻辑清晰7。2、几何语言规范化：（1）正确使用“∵”“∴”符号。（2）准确表述全等三角形的对应关系。（3）在图中标注已知条件，帮助理清思路。3、分步得分意识：即使不能完整解答，也要写出能推出的结论，争取步骤分9。（三）【易错点警示】1、概念混淆：角平分线是一条线段，不是射线；中线与高线不能混淆。2、忽视检验：等腰三角形边长问题求出结果后，必须用三边关系检验。3、对应关系错误：书写全等三角形时，顶点必须按对应顺序写，否则可能导致对应边、对应角判断错误。4、判定条件遗漏：证明全等时，必须三个条件