小学数学四年级大单元知识清单：乘法运算律

小学数学四年级大单元知识清单：乘法运算律一、核心素养导向的单元教学目标概述【基础】【重要】本知识清单围绕“乘法交换律和结合律”这一核心内容展开，旨在引导学习者从运算意义和数形结合的角度，深度理解乘法运算中的基本规律。教学目标并非仅仅停留在会用公式进行简便计算，而是着力于培养学习者的数感、运算能力、推理意识以及模型意识。通过对乘法交换律和结合律的探究，学习者将经历“观察发现—提出猜想—举例验证—归纳概括—应用拓展”的完整知识形成过程，体会数学抽象与建模的思想，为后续学习乘法分配律以及更复杂的整数、小数、分数运算奠定坚实的基础。【热点】【难点】本单元的核心素养聚焦点在于：引导学习者从“算术思维”向“代数思维”的初步过渡。具体表现为：能够用符号（字母）表示发现的运算规律，理解字母表示数的一般性与简洁性；能够在具体情境中，识别并灵活运用运算律进行简便运算，提升运算策略的优化意识；能够通过类比迁移，将乘法运算律的探究方法应用于加法运算律的回顾与未来知识的学习中，形成结构化的知识网络。二、大单元知识框架：乘法运算律（第一板块）（一）单元核心概念图谱【基础】本单元属于“数与代数”领域，是整数运算知识的深化与系统化。知识脉络以“运算意义”为根基，以“运算律”为主干，向上生长出“简便计算”与“问题解决”的枝叶。1.基石：乘法的意义——求几个相同加数和的简便运算。2.主干：乘法运算律——交换律、结合律（本清单重点）、分配律。3.应用：运用运算律改变运算顺序，使计算变得简便；运用运算律解释现实生活中的数量关系。（二）知识前后联系【重要】1.已有知识基础：三年级上册学习了乘法的初步认识与表内乘法；三年级下册学习了两位数乘两位数的笔算，初步接触了乘法的计算顺序（如用第二个因数的每一位去乘第一个因数），这为理解乘法结合律（分步相乘）提供了感性经验。加法交换律和结合律的学习经验也为本单元提供了探究方法的范式。2.后续知识延伸：本单元知识将直接应用于四年级下册的小数加减法和五年级上册的小数乘法、分数乘法中，是数域扩张后运算律保持一致的逻辑基础。同时，它也是初中阶段学习整式运算、因式分解等代数知识的必要前提。三、乘法交换律知识清单（一）概念定义与本质理解【基础】【非常重要】1.文字定义：在乘法算式中，交换两个因数的位置，它们的积不变。这叫做乘法交换律。2.符号定义：用字母表示为a×b=b×aa\timesb=b\timesaa×b=b×a。通常也写作a⋅b=b⋅aa\cdotb=b\cdotaa⋅b=b⋅a或ab=baab=baab=ba。3.本质理解：1.4.数量关系视角：乘法交换律描述的是乘法运算中的一种“对称性”。例如，求3行5列的点子图总数，既可以横着看，每行5个，有3行，列式为5×35\times35×3；也可以竖着看，每列3个，有5列，列式为3×53\times53×5。虽然观察角度不同，但总数不变。这揭示了乘法交换律的几何直观背景。2.5.运算意义视角：乘法是加法的简便运算，3×53\times53×5表示5个3相加，而5×35\times35×3表示3个5相加。虽然加法算式不同，但根据加法的计算结果，它们的和是相等的（15），这从代数运算的角度验证了交换律的成立。3.6.数学模型视角：交换律刻画了乘法运算的一种内在属性，即运算结果与参与运算的两个对象的顺序无关。（二）典型应用与简便计算【高频考点】乘法交换律最常见的应用是“凑整”。当一个算式中的两个或多个因数相乘时，如果交换因数的位置，能使某些因数结合成整十、整百、整千的数，计算就会变得非常简便。1.基础应用：纯乘法算式中的因数交换。1.2.例：计算25×37×425\times37\times425×37×4。2.3.分析：观察到25和4相乘可以凑成100。应用乘法交换律，将37和4交换位置，算式变为25×4×3725\times4\times3725×4×37。3.4.解答：25×4×37=100×37=370025\times4\times37=100\times37=370025×4×37=100×37=3700。5.综合应用：在连乘算式中，交换律通常与结合律协同使用。但单独考查交换律时，题目可能设计为直接交换位置。1.6.例：125×3×8125\times3\times8125×3×8。2.7.分析：看到125，想到它的“好朋友”8，因为125×8=1000125\times8=1000125×8=1000。交换3和8的位置。3.8.解答：125×8×3=1000×3=3000125\times8\times3=1000\times3=3000125×8×3=1000×3=3000。（三）易错点辨析【难点】【易错点】1.混淆运算符号：误以为交换律也适用于除法或减法。需要反复强调，交换律是乘法特有的性质（加法也有交换律）。对于a÷ba\divba÷b和b÷ab\divab÷a，除非a=ba=ba=b，否则结果一般不同。1.2.典型错例：25÷5×4=25×5÷425\div5\times4=25\times5\div425÷5×4=25×5÷4（错误地把除号后的数也交换了）。2.3.正确辨析：25÷5×425\div5\times425÷5×4只能按照从左到右的顺序计算，或者利用除法的性质进行转化，但不能随意交换除数和被除数的位置。4.交换不彻底或无效交换：在连乘算式中，只交换了部分因数，或者交换后并没有达到简算的目的。1.5.典型错例：25×16×5=25×5×1625\times16\times5=25\times5\times1625×16×5=25×5×16。虽然交换了16和5，但25×5=12525\times5=12525×5=125，125乘16依然需要列竖式，并未实现简便。此时应想到将16拆分成4×44\times44×4，再与25结合，这需要结合律和拆分技巧。6.书写格式错误：在脱式计算中，忘记写等号，或者等号对齐不规范。四、乘法结合律知识清单（一）概念定义与本质理解【基础】【非常重要】1.文字定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，它们的积不变。这叫做乘法结合律。2.符号定义：用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)(a\timesb)\timesc=a\times(b\timesc)(a×b)×c=a×(b×c)。3.本质理解：1.4.运算顺序视角：结合律告诉我们，在只有乘法运算的算式中，运算顺序是可以改变的。括号的作用是改变运算顺序，而结合律保证了改变顺序后结果的一致性。这极大地解放了计算思维，允许我们寻找最简便的路径。2.5.几何直观视角：计算一个长方体的体积（长a、宽b、高c）。可以先计算底面积a×ba\timesba×b，再乘以高c；也可以先计算前面这个面的面积a×ca\timesca×c，再乘以宽b；还可以先计算侧面面积b×cb\timescb×c，再乘以长a。无论先计算哪两个面的乘积，最终体积不变。这直观地解释了乘法结合律的合理性。3.6.乘法意义视角：(a×b)×c(a\timesb)\timesc(a×b)×c可以理解为有c个a×ba\timesba×b相加；而a×(b×c)a\times(b\timesc)a×(b×c)可以理解为有b×cb\timescb×c个a相加。虽然计数单位不同（一个是“a×b”，一个是“a”），但总数相等。（二）典型应用与简便计算【高频考点】乘法结合律的核心价值在于“凑整”。通过改变运算顺序，让能够直接口算出整十、整百、整千数的两个因数先相乘。1.标准“好朋友”组合：1.2.常见的好朋友数对：2×5=102\times5=102×5=10，4×25=1004\times25=1004×25=100，8×125=10008\times125=10008×125=1000，16×625=1000016\times625=1000016×625=10000等。2.3.例：计算37×4×2537\times4\times2537×4×25。3.4.分析：观察到4和25是一对“好朋友”，可以结合成100。4.5.解答：应用乘法结合律，先计算后两个数的积：37×(4×25)=37×100=370037\times(4\times25)=37\times100=370037×(4×25)=37×100=3700。5.6.注意：在书写时，原题没有括号，我们添加括号是为了改变运算顺序，这正是结合律的应用体现。7.因数拆分与重组（综合应用）：1.8.当一个算式中没有直接出现明显的“好朋友”时，需要对其中一个因数进行拆分，使其能与另一个因数结合。2.9.例：计算25×32×12525\times32\times12525×32×125。3.10.分析：看到25和125，需要找到4和8。32恰好可以拆分成4×84\times84×8。4.11.解答：25×32×125=25×(4×8)×125=(25×4)×(8×125)（这一步同时运用了交换律和结合律）=100×1000=\begin{aligned}25\times32\times125=25\times(4\times8)\times125\\=(25\times4)\times(8\times125)\quad\{（这一步同时运用了交换律和结合律）}\\=100\times1000\\=\end{aligned}25×32×125​=25×(4×8)×125=(25×4)×(8×125)（这一步同时运用了交换律和结合律）=100×1000=​5.12.这是乘法结合律与交换律协同运用的经典范例，体现了运算律的综合价值。（三）易错点辨析【难点】【易错点】1.混淆乘法结合律与乘法分配律：1.2.这是整个运算律单元最大的难点。结合律只涉及乘法运算（或连乘），分配律则涉及乘加或乘减混合运算。2.3.典型错例：25×(4+8)=25×4+825\times(4+8)=25\times4+825×(4+8)=25×4+8或=25×4×8=25\times4\times8=25×4×8。3.4.正确辨析：25×(4+8)25\times(4+8)25×(4+8)是乘法对加法的分配问题，应使用乘法分配律：25×4+25×8=100+200=30025\times4+25\times8=100+200=30025×4+25×8=100+200=300。而25×(4×8)25\times(4\times8)25×(4×8)才是结合律的应用场景。5.括号使用不当或丢失：1.6.在应用结合律时，需要正确地添加括号。有些学生在心里想好了凑整，但书写时漏掉括号，导致运算顺序错误。2.7.典型错例：125×7×8=125×8×7=1000×7=7000125\times7\times8=125\times8\times7=1000\times7=7000125×7×8=125×8×7=1000×7=7000（虽然结果对，但书写过程跳步，第二步应为(125×8)×7(125\times8)\times7(125×8)×7以体现结合）。3.8.更严重错误：125×7×8=125×(7×8)=125×56125\times7\times8=125\times(7\times8)=125\times56125×7×8=125×(7×8)=125×56（错误的结合，没有达到简算目的）。9.在加减混合运算中滥用结合律：1.10.结合律只适用于同级运算中的乘法。在加减乘除混合运算中，不能随意添加括号改变运算顺序，除非符合运算法则（如连减、连除的性质）。五、乘法交换律和结合律的辨析与综合运用（一）对比分析【重要】特征维度乘法交换律乘法结合律关注点因数的位置发生改变运算的顺序发生改变变化形式因数之间互换位置添加或去掉括号，改变结合方式参与对象通常涉及两个因数（交换）至少涉及三个因数（结合）本质作用调整因数与谁相邻，为结合创造条件优先计算能凑整的相邻因数字母公式a×b=b×aa\timesb=b\timesaa×b=b×a(a×b)×c=a×(b×c)(a\timesb)\timesc=a\times(b\timesc)(a×b)×c=a×(b×c)核心口诀交换位置，积不变改变顺序，积不变（二）综合运用策略模型【高频考点】【热点】在解决复杂的连乘简便计算问题时，交换律和结合律往往是“孪生兄弟”，需要协同作战。解题策略可以归纳为以下三个步骤（“一看二拆三结合”）：1.看（观察）：快速扫描算式中的因数，识别出“好朋友”数对（如25和4，125和8，5和2等）。如果没有直接相邻，则需要考虑交换位置。2.拆（拆分）：如果其中一个因数不是标准的好朋友（如32、16、72等），思考它是否可以拆分成两个因数的乘积，使其中的一部分能与另一个好朋友结合。例如，32=4×832=4\times832=4×8，72=8×972=8\times972=8×9，44=4×1144=4\times1144=4×11等。3.结合（重组）：运用乘法交换律将拆分后的因数与它的“好朋友”调换到一起，再运用乘法结合律给它们加上括号，优先计算，实现凑整。【典型例题精讲】1.题目：计算125×88×25125\times88\times25125×88×25。2.第一步（看）：看到125，想到它的好朋友8；看到25，想到它的好朋友4。3.第二步（拆）：观察88，可以拆分成8×118\times118×11吗？是的，但这样只能和125结合，25没有朋友。更好的拆法是88=8×1188=8\times1188=8×11，或者88=4×2288=4\times2288=4×22，或者最理想的88=8×1188=8\times1188=8×11后，再考虑11是否需要拆分？不，11不需要。但我们有25，需要4。88里含有4吗？88=4×2288=4\times2288=4×22。哪个拆分能同时满足125和25的需求？88=8×1188=8\times1188=8×11只能满足125；88=4×2288=4\times2288=4×22只能满足25。所以需要更巧妙的拆分：88=8×1188=8\times1188=8×11，但我们并没有4。等一下，8×118\times118×11中，8已经和125配对了，那25怎么办？它没有4可以结合了。这说明一种拆分策略不好。再思考：125×88125\times88125×88本身也可以拆125×(80+8)125\times(80+8)125×(80+8)这是分配律。但这里要求用交换律和结合律。所以必须把88拆成两个数相乘，且这两个数分别能与125和25结合。88=8×1188=8\times1188=8×11不行。88=4×2288=4\times2288=4×22也不行（22不是25的朋友）。88=2×4488=2\times4488=2×44也不行。那么，我们是否可以把125和25先结合？125×25=3125125\times25=3125125×25=3125，不简便。所以，需要把其中一个数拆得足够细。事实上，88最完美的拆法应该是8×118\times118×11吗？不，为了同时结合，我们可以把88拆成(8×11)(8\times11)(8×11)，然后把125和8结合，得到1000，再乘11，再乘25。这样就变成了1000×11×251000\times11\times251000×11×25。这时，1000和25没有直接的凑整关系，仍需计算1000×275=1000\times275=1000×275=，虽然可以口算，但不是最优。另一种思路：88=4×2288=4\times2288=4×22，125和4结合得500，500乘22得11000，再乘25？11000×2511000\times2511000×25也麻烦。由此可见，此题若只用交换结合律，很难一步到位直接口算。这时需考虑更高级的拆分：88=8×1188=8\times1188=8×11，但11可以写成(4+7)(4+7)(4+7)吗？那又变成分配律。所以，对于125×88×25125\times88\times25125×88×25，最标准、最简便的解法通常是在第二步“拆”之后，结合乘法交换律和结合律进行分组：125×88×25=125×(8×11)×25=(125×8)×(11×25)（这里既交换了25和11的位置，又结合了125×8和11×25）=1000×275=\begin{aligned}125\times88\times25=125\times(8\times11)\times25\\=(125\times8)\times(11\times25)\quad\{（这里既交换了25和11的位置，又结合了125×8和11×25）}\\=1000\times275\\=\end{aligned}125×88×25​=125×(8×11)×25=(125×8)×(11×25)（这里既交换了25和11的位置，又结合了125×8和11×25）=1000×275=​或者另一种拆分：125×88×25=(125×8)×11×25先拆88=8×11，结合125×8=1000×25×11交换1000和25？不，应交换11和25=1000×(25×11)结合25和11=1000×275=\begin{aligned}125\times88\times25=(125\times8)\times11\times25\quad\{先拆88=8×11，结合125×8}\\=1000\times25\times11\quad\{交换1000和25？不，应交换11和25}\\=1000\times(25\times11)\quad\{结合25和11}\\=1000\times275=\end{aligned}125×88×25​=(125×8)×11×25先拆88=8×11，结合125×8=1000×25×11交换1000和25？不，应交换11和25=1000×(25×11)结合25和11=1000×275=​这个例子说明，有时即使不能一次凑成整万，但通过合理分组，也能将计算转化为口算级别（如1000×275）。4.总结：综合运用时，需灵活调整策略，目标是将计算分解为一系列简单的一位数乘整十、整百、整千数的运算。六、与加法运算律的类比与结构（一）知识体系的类比迁移【基础】1.运算律的对称性：1.2.加法交换律：a+b=b+aa+b=b+aa+b=b+a，对应乘法交换律：a×b=b×aa\timesb=b\timesaa×b=b×a。2.3.加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)，对应乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)(a\timesb)\timesc=a\times(b\timesc)(a×b)×c=a×(b×c)。4.类比学习的重要性：通过对比，可以发现数学知识内在的和谐与统一。加法和乘法是同级的两种基本运算，它们都具有交换和结合的特性。这种类比有助于减轻记忆负担，并培养系统化思维。（二）本质区别的深层理解【难点】尽管形式类似，但两者基于的运算意义完全不同，这导致了它们在应用上的差异：1.计数单位的区别：加法是相同计数单位的累加，交换律体现的是部分数相加顺序不影响总量。乘法是求几个相同加数的和，交换律和结合律体现的是对“相同加数个数”和“每份数”的重新组合，这种组合远比加法复杂。2.简便计算的“量级”不同：加法结合律凑整通常得到整十数（如37+23=60），而乘法结合律凑整可以产生100、1000等更大数量级的数，因此对计算速度的提升更为显著。3.与后续知识的关联深度：乘法运算律（特别是分配律）在代数领域的重要性远超加法运算律，它们是多项式运算的基础。七、常见题型与考点全解析（一）基础题型（考查概念理解）【基础】1.填空题：1.2.例：根据乘法运算律，在□里填上合适的数。2.3.15×16=16×□15\times16=16\times□15×16=16×□（考查交换律）3.4.(25×5)×2=25×(□×2)(25\times5)\times2=25\times(□\times2)(25×5)×2=25×(□×2)（考查结合律）4.5.125×7×8=125×□×7125\times7\times8=125\times□\times7125×7×8=125×□×7（考查交换律和结合律的混合意识）6.判断题：1.7.例：判断对错并说明理由。2.8.8×4×25=8×(4×25)8\times4\times25=8\times(4\times25)8×4×25=8×(4×25)应用了乘法结合律。（√）3.9.9×4×25=(9×4)×259\times4\times25=(9\times4)\times25...×25=(9×4)×25没有应用运算律，只是原运算顺序。（√或者从概念上说，这是原式，没有改变顺序，但确实符合结合律的模型，可以说“可以应用结合律变成...”通常判断为对，因为它体现了结合律的模型）4.10.125×8×9=125×9×8125\times8\times9=125\times9\times8125×8×9=125×9×8只应用了乘法交换律。（√）5.11.25×32×125=25×4+8×12525\times32\times125=25\times4+8\times12525×32×125=25×4+8×125（×，这是典型错误，混淆了结合与分配）（二）计算题（考查运算律的应用）【高频考点】1.直接应用运算律进行简便计算：1.2.例：计算下面各题，怎样简便就怎样算。2.3.23×5×223\times5\times223×5×2（基础：23×(5×2)=23×10=23023\times(5\times2)=23\times10=23023×(5×2)=23×10=230）3.4.50×37×250\times37\times250×37×2（交换律：50×2×37=100×37=370050\times2\times37=100\times37=370050×2×37=100×37=3700）4.5.125×7×8125\times7\times8125×7×8（交换结合：(125×8)×7=1000×7=7000(125\times8)\times7=1000\times7=7000(125×8)×7=1000×7=7000）5.6.25×1625\times1625×16（灵活变式：25×4×4=100×4=40025\times4\times4=100\times4=40025×4×4=100×4=400）6.7.125×25×32125\times25\times32125×25×32（高阶：125×25×(4×8)=(125×8)×(25×4)=1000×100=125\times25\times(4\times8)=(125\times8)\times(25\times4)=1000\times100=125×25×(4×8)=(125×8)×(25×4)=1000×100=）（三）解决问题（考查建模能力）【热点】1.情境建模题：1.2.例：一个游泳池长50米，小明游了4个来回，他一共游了多少米？2.3.解法一（分步）：先求一个来回50×2=10050\times2=10050×2=100米，再求4个来回100×4=400100\times4=400100×4=400米。列式为(50×2)×4(50\times2)\times4(50×2)×4。3.4.解法二（综合）：先求游了多少个50米。游4个来回，即游了4×2=84\times2=84×2=8趟，列式为50×(4×2)50\times(4\times2)50×(4×2)。4.5.结合律应用：(50×2)×4=50×(2×4)=50×8=400(50\times2)\times4=50\times(2\times4)=50\times8=400(50×2)×4=50×(2×4)=50×8=400米。通过这个例子，学生能深刻体会到改变运算顺序的合理性。6.表格信息题：1.7.例：某商店运来5箱乒乓球，每箱有12盒，每盒有10个。一共有多少个乒乓球？2.8.学生可以列出不同算式：5×12×105\times12\times105×12×10，12×5×1012\times5\times1012×5×10，5×(12×10)5\times(12\times10)5×(12×10)等，并用运算律解释其等价性。（四）拓展与变式（考查思维灵活性）【难点】【拓展】1.在数域扩张中的应用：虽然目前只学整数，但可以渗透小数。1.2.例：2.5×13×4=2.5×4×13=10×13=1302.5\times13\times4=2.5\times4\times13=10\times13=1302.5×13×4=2.5×4×13=10×13=130。说明乘法交换律在小数乘法中同样适用。3.逆用运算律：1.4.通常我们习惯正向运用，但有时需要逆向思维。2.5.例：125×56=125×(8×7)=(125×8)×7=1000×7=7000125\times56=125\times(8\times7)=(125\times8)\times7=1000\times7=7000125×56=125×(8×7)=(125×8)×7=1000×7=7000。这是拆分与结合律的正向运用。3.6.逆向：36×25=9×(4×25)=9×100=90036\times25=9\times(4\times25)=9\times100=90036×25=9×(4×25)=9×100=900。也可以看成是把36拆开，但核心仍是结合。7.利用运算律进行推理和证明：1.8.例：不计算，比较25×24×425\times24\times425×24×4和24×(25×4)24\times(25\times4)24×(25×4)的大小，并说明理由。2.9.分析：运用交换律和结合律，可以将第一个式子转化为25×4×24=100×2425\times4\times24=100\times2425×4×24=100×24，第二个式子24×100=240024\times100=240024×100=2400，两者相等。八、易错题与重难点专项突破（一）典型错例分析与矫正【易错点】1.错例一：125×88125\times88125×881.2.错误解法1：125×88=125×(80+8)=125×80+8=10000+8=10008125\times88=125\times(80+8)=125\times80+8=10000+8=10008125×88=125×(80+8)=125×80+8=10000+8=10008（漏乘了125×8中的125）2.3.错误解法2：125×88=125×8×11=1000×11=11000125\times88=125\times8\times11=1000\times11=11000125×88=125×8×11=1000×11=11000（正确解法，但若题目要求用结合律，这是对的。但若学生写成了125×8×11=125×(8×11)125\times8\times11=125\times(8\times11)125×8×11=125×(8×11)则又错了，因为8×118\times118×11还是88，没有体现结合的目的）3.4.错误解法3：125×88=(125×8)×(125×11)125\times88=(125\times8)\times(125\times11)125×88=(125×8)×(125×11)（严重错误，乱用分配律）4.5.矫正策略：强化“好朋友数”的敏感度，并通过对比辨析，明确“拆分法”在乘法结合律中的正确使用方式（拆成乘积形式）与乘法分配律中拆成和的形式进行区分。专项练习：25×3625\times3625×36（拆成4×94\times94×9用结合律，还是拆成30+630+630+6用分配律？让学生体会到两种方法皆可，但过程不同，需根据数据特点灵活选择）。6.错例二：44×2544\times2544×251.7.正确解法1（结合律）：44×25=(11×4)×25=11×(4×25)=11×100=110044\times25=(11\times4)\times25=11\times(4\times25)=11\times100=110044×25=(11×4)×25=11×(4×25)=11×100=1100。2.8.正确解法2（分配律）：44×25=(40+4)×25=40×25+4×25=1000+100=110044\times25=(40+4)\times25=40\times25+4\times25=1000+100=110044×25=(40+4)×25=40×25+4×25=1000+100=1100。3.9.错误解法：44×25=40×25+4×2544\times25=40\times25+4\times2544×25=40×25+4×25书写为1000+4×25=1000+100=11001000+4\times25=1000+100=11001000+4×25=1000+100=1100（虽然结果对，但过程不规范，应先算出两个乘积再相加）。4.10.矫正策略：展示两种解法的异同，让学生明白运算律的选择是多样的，但每一步都必须有理有据。重点强调脱式计算的规范步骤。（二）思维拓展：寻找“好朋友”的进阶技巧【拓展】1.特殊数的分解：1.2.37是一个特殊的质数，但37×3=11137\times3=11137×3=111，所以当37出现时，可以寻找3的倍数。例如37×15×2=37×(15×2)=37×30=111037\times15\times2=37\times(15\times2)=37\times30=111037×15×2=37×(15×2)=37×30=1110。更进一步的，37×18=37×3×6=111×6=66637\times18=37\times3\times6=111\times6=66637×18=37×3×6=111×6=666。2.3.143是一个合数，143=11×13143=11\times13143=11×13，有时也会用到。4.5、25、125、625系列的联动：1.5.记住一些常见的乘积：5×2=105\times2=105×2=10，25×4=10025\times4=10025×4=100，125×8=1000125\times8=1000125×8=1000，625×16=10000625\times16=10000625×16=10000。2.6.进阶：25×8=20025\times8=20025×8=200，125×4=500125\times4=500125×4=500，125×6=750125\times6=750125×6=750，125×12=1500125\times12=1500125×12=1500等，虽然不是整百整千，但在某些计算中也能简化步骤。7.乘法运算律在算式谜中的应用：1.8.例：在下面的○里填上“>”“<”或“=”。2.9.A×25×4A\times25\times4A×25×4○A×(25×4)A\times(25\times4)A×(25×4)（相等，结合律）3.10.125×5×8×2125\times5\times8\times2125×5×8×2○(125×8)×(5×2)(125\times8)\times(5\times2)(125×8)×(5×2)（相等，交换结合律）九、大单元教学建议与学法指导（一）探究式学习路径【重要】1.创设情境，感知规律：不直接给出公式，而是通过具体问题情境（如计算正方体模块总数、体育场座位数等），让学生在解决问题的过程中列出不同的算式，通过比较结果，初步感知“积不变”的现象。2.举例验证，提出猜想：引导学生再举出一些类似的例子（正例和反例），通过大量例证，丰富感性认识，并尝试用自己的语言描述发现的规律。3.抽象概括，构建模型：引入字母或符号，将发现的规律抽象成数学模型，即乘法交换律a×b=b×aa\times