数列考试重点题型和全面答案详解

数列考试重点题型和全面答案详解考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知数列`{a_n}`的前`n`项和为`S_n`，若`S_n=n^2+an`，则数列`{a_n}`是（）。A.等差数列，公差为`2`B.等差数列，公差为`a`C.等比数列，公比为`2`D.等比数列，公比为`a`2.在等差数列`{a_n}`中，`a_3+a_11=40`，则`a_8+a_14`的值等于（）。A.20B.40C.60D.803.已知等比数列`{b_n}`中，`b_1=1`，`b_2=2`，则`b_5`的值等于（）。A.4B.8C.16D.324.已知数列`{c_n}`满足`c_1=1`，`c_{n+1}=2c_n+1`，则`c_4`的值等于（）。A.7B.8C.9D.105.等差数列`{a_n}`中，若`a_1=-10`，`a_6=2`，则其前`n`项和`S_n`达到最小值时，`n`的值为（）。A.3B.4C.5D.66.已知等比数列`{d_n}`的前`n`项和为`T_n`，若`T_3=6`，`T_6=42`，则该数列的公比`q`等于（）。A.2B.3C.-2D.-37.设等差数列`{a_n}`的公差`d`不为零，若`a_1,a_2,a_3`成等比数列，则`d`与`a_1`的关系是（）。A.`d=a_1`B.`d=2a_1`C.`d=-a_1`D.`d=-2a_1`8.已知数列`{a_n}`的通项公式为`a_n=(-1)^(n+1)*(n+1)/n`，则该数列的前`10`项和等于（）。A.9B.10C.11D.129.在等比数列`{a_n}`中，`a_5=16`，`a_9=256`，则该数列的公比`q`为（）。A.2或-2B.3或-3C.4或-4D.8或-810.已知数列`{a_n}`满足`a_1=2`，`a_{n+1}=a_n+n`，则`a_5`的值等于（）。A.15B.16C.17D.18二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）11.已知等差数列`{a_n}`中，`a_1=5`，`d=-2`，则`a_10`的值等于________。12.已知等比数列`{b_n}`中，`b_1=3`，`q=-2`，则`b_4`的值等于________。13.已知数列`{c_n}`满足`c_n=n(n+1)`，则该数列的前`n`项和`S_n`等于________。14.在等差数列`{a_n}`中，若`S_5=25`，`S_10=70`，则`a_15`的值等于________。15.已知数列`{a_n}`满足`a_{n+1}=a_n/(a_n+1)`，且`a_1=2`，则`a_3`的值等于________。三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分15分）已知等差数列`{a_n}`中，`a_3=7`，`a_5=13`。(1)求该数列的通项公式`a_n`；(2)求数列`{a_n}`的前`n`项和`S_n`；(3)若`S_n=60`，求`n`的值。17.（本小题满分15分）已知等比数列`{b_n}`中，`b_1=1`，`b_4=16`。(1)求该数列的公比`q`；(2)求数列`{b_n}`的前`n`项和`T_n`；(3)若`T_n=31`，判断`n`的值是否唯一，并说明理由。18.（本小题满分15分）已知数列`{a_n}`满足`a_1=1`，`a_{n+1}=3a_n+2^n`。(1)求证数列`{a_n+1}`是等比数列；(2)求数列`{a_n}`的通项公式`a_n`。19.（本小题满分15分）已知数列`{c_n}`的前`n`项和为`S_n`，满足`S_n=n^2+1`。(1)求数列`{c_n}`的通项公式`c_n`；(2)令`b_n=2^n*c_n`，求数列`{b_n}`的前`n`项和`T_n`。20.（本小题满分15分）已知数列`{a_n}`的前`n`项和为`S_n`，满足`S_n=an^2+bn`，且`a_1=3`，`a_2=8`。(1)求实数`a`和`b`的值；(2)证明数列`{a_n}`是等差数列；(3)若`c_n=a_n*(-1)^(n+1)`，求`c_1+c_2+...+c_n`的表达式（用`n`表示）。试卷答案1.A2.B3.B4.C5.A6.B7.B8.C9.A10.A11.112.-4813.n(n+1)(n+2)/314.1515.2/916.解：(1)由等差数列性质，a_4=(a_3+a_5)/2=(7+13)/2=10。设公差为d，则a_4=a_1+3d。又a_3=a_1+2d=7。联立解得a_1=1,d=3。故通项公式a_n=1+(n-1)*3=3n-2。(2)S_n=n(a_1+a_n)/2=n(1+(3n-2))/2=n(3n-1)/2=3n^2-n/2。(3)令S_n=60，即3n^2-n/2=60。化简得6n^2-n-120=0。解得n=5或n=-8/3。由于n为正整数，故n=5。17.解：(1)由等比数列性质，q=(b_4/b_1)^(1/3)=(16/1)^(1/3)=2。(2)当q=2时，T_n=b_1(1-q^n)/(1-q)=1*(1-2^n)/(1-2)=2^n-1。(3)令T_n=31，即2^n-1=31。解得2^n=32，故n=5。由于q>0，数列单调递增，故n的值唯一。18.解：(1)证：由a_{n+1}=3a_n+2^n，得a_{n+1}+1=3a_n+2^n+1=3(a_n+1)。故数列{a_n+1}是首项为a_1+1=2，公比为3的等比数列。(2)由(1)知a_n+1=2*3^(n-1)。故a_n=2*3^(n-1)-1。19.解：(1)当n=1时，c_1=S_1=1^2+1=2。当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=n^2+1-[(n-1)^2+1]=2n-1。又c_1=2也满足此式。故c_n=2n-1。(2)b_n=2^n*c_n=2^n*(2n-1)。T_n=1*2^1+3*2^2+5*2^3+...+(2n-1)*2^n。令S=T_n。则2S=1*2^2+3*2^3+...+(2n-3)*2^n+(2n-1)*2^(n+1)。两式相减得-S=2^1+2^2+2^3+...+2^n-(2n-1)*2^(n+1)=2*(1-2^n)/(1-2)-(2n-1)*2^(n+1)=-2^(n+1)+2-(2n-1)*2^(n+1)。故S=(2n-3)*2^(n+1)+2。20.解：(1)由a_1=S_1=a*1^2+b*1=a+b=3。由a_2=S_2-S_1=a*2^2+b*2-(a*1^2+b*1)=3a+b=8。联立解得a=2,b=1。(2)证：S_n=2n^2+n。当n=1时，a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1。又a_1=3也满足此式。故a_n=4n-1。则a_{n+1}=4(n+1)-1=4n+3。故a_{n+1}-a_n=(4n+3)-(4n-1)=4。即数列{a_n}是首项为3，公差为4的等差数列。(3)c_n=a_n*(-1)^(n+1)=(4n-1)*(-1)^(n+1)。当n为奇数k时，c_k=(4k-1)*(-1)^k。令n=2m-1，则c_1+c_3+...+c_{2m-1}=[3*(-1)^1+(7)*(-1)^3+...+(4(2m-1)-1)*(-1)^(2m-1)]。这是一个首项为-3，公比为-1的等比数列的前m项和，即c_1+c_3+...+c_{2m-1}=-3*(1-(-1)^(m))/2。当