复变函数与积分变换：理论基础与工程方法 课件 第1章 复数与复变函数

CONTENTS目录第1章复数与复变函数1.1复数及其运算1.2复平面上的点集、区域与曲线1.3复变函数

MATLAB编程练习与演示1.41.5本章小结1.1

复数及其运算1.1.1复数的概念1.1.2复数的表示形式1.1.3复数的运算1.1.4工程技术中常用的复数表示1.1.1复数的概念1.复数的定义复数（complexnumber）是高等数学与工程数学的基础概念，是实数系的延伸，其核心作用是解决实数范围内无法求解的方程（例如），同时为信号处理、控制工程、机械电子和电气工程等领域提供高效的数学工具。定义1.1复数

形如（）（1.1）的数称为复数。式（1.1）中，x是复数z的实部（realpart），

记为；y是复数z的虚部（imaginarypart），记为。i是虚数单位，满足。需要注意的是，复数也可以写成的形式，其含义不变。虚数单位i的n次方具有周期性，且周期为4，即满足在式（1.1）中，当时，有，则复数退化为实数。而当时，有，则复数退化为纯虚数。全体复数构成的集合称为复数集，记为。实数集是复数集的子集。②1.1.1复数的概念2.复数的相等与共轭复数的相等性：两个复数和相等的充分必要条件是二者的实部和虚部分别相等，即满足且。需要注意的是，复数不能比较大小，这是复数与实数的重要区别。共轭复数：对于复数，其共轭复数表示为。在工程技术中，共轭复数常表示为。不难证明，共轭复数具有以下性质：①、、③④、此外，若一个复数，必须且只须其实部和虚部同时等于0，即满足。1.1.2复数的表示形式1.复数的几何表示形式（1）复平面的概念复平面（complexplane），又称高斯平面（Gaussianplane），是表征复数的核心几何工具。一个复数本质上是由一对有序实数唯一确定的，于是能够建立全体复数与平面上的点之间的一一对应关系。也就是说，可用点来表述复数。由于横轴x轴上的点对应着实数，故将x轴称为实轴（realaxis）；纵轴y

轴上除了原点外的点对应着纯虚数，故将y轴称为虚轴（imaginaryaxis）。称这种表示复数的平面为复平面，也常称为z平面。复平面为复数运算、复数的模与辐角的定义以及复变函数可视化提供直观的几何载体。图1.1给出了复平面与复数几何表示的示意图。（2）复数的模与辐角如图1.1所示，在复平面上，复数还与从原点到点所引向量构成一一对应关系。因此，也可以用向量来表示复数。1.1.2复数的表示形式复数的模：复数的模表示复数的长度，定义为（1.2）复数的模具有以下性质：1.1.2复数的表示形式复数的辐角（argument）：由复平面实轴正向到向量之间所成角的弧度称为复数的辐角，记为。复数的辐角在工程领域的相位分析和信号调制等场景中应用广泛。具有周期性，周期为，其一般表达式为（1.3）式中，称为主值辐角，常记为，通常表示为的辐角。当时，主值辐角按式（1.4）所示关系确定：1.1.2复数的表示形式

2.复数的解析表示形式（1）复数的代数形式（algebraicform）：如式（1.1）所示的就是复数的代数表示形式，是复数最基本的表示形式，例如和。可看出，复数的代数形式相当于在复平面的直角坐标系中表示复数。（2）复数的三角形式（trigonometricform）：是连接复数代数运算与几何意义的重要工具，在信号处理中的相位计算、电路分析中的阻抗表示等工科领域应用广泛。对于任意非零复数，其三角形式表达式为（1.5）式中，为复数z的模，为复数z的辐角，满足。（3）复数的指数形式（exponentialform）：是连接复数代数形式、三角形式的关键桥梁。基于欧拉公式

（1.6）可将复数的“模—辐角”属性封装为简洁的指数形式。由式（1.5），经欧拉公式转换，可直接得复数的指数形式为（1.7）1.1.2复数的表示形式（4）三种解析形式的互相转换复数的代数形式、三角形式和指数形式可以通过模r和辐角主值实现相互转换，其核心纽带是欧拉公式。表1.1给出了复数三种表示形式的互相转换关系。1.1.2复数的表示形式【例1.1】已知复数

,(a)试将其转换为三角形式;(b)试将其转换为指数形式.解(a)根据表1.1给出的转换关系,分别计算给定复数的模和主值辐角,有,(b)根据表1.1给出的转换关系,可以进一步得到已知复数的指数形式,为这样,有,1.1.2复数的表示形式【例1.2】已知复数.试将其转换为三角形式和指数形式.解故已知复数的三角形式为：，其指数表示形式为：.1.1.3复数的运算1.复数的四则运算设两个复数为，二者的四则运算规则为：复数的加法运算规则为（1.8）复数的减法运算规则为（1.9）复数的乘法运算规则为（1.10）复数的除法运算规则为（）（1.11）与实数的四则运算情形相同，复数的四则运算也满足交换律、结合律和分配律。即：（1.12）（1.13）（1.14）1.1.3复数的运算2.工程技术中复数的常用运算方式（1）复数乘积与商的指数形式利用复数的指数形式（或三角形式），可得关于复数乘除法、乘幂和方根运算的定理。定理1.1复数乘积两个复数乘积的模等于它们模的乘积；两个复数乘积的辐角等于它们辐角的和。因此：（1.15）证明设，则由指数的运算规则，有定理1.2复数的商两个复数的商的模等于它们的模的商；两个复数的商的辐角等于被除数的辐角与除数辐角之差。采用与定理1.1的方式可以得到定理1.2的证明。若将复数表示为指数的形式，则定理1.2可以简明地表示为（1.16）1.1.3复数的运算【例1.3】已知复数

，求和.解由于复数的乘法和除法采用指数形式计算更为方便,故先将z1和z2改写为指数形式,借用例1.2的结果和例1.3的已知条件,有和这样，，按照表1.1给出的转换规则，可以把上述指数形式运算的结果再转换到代数形式和三角形式。请读者自行计算。1.1.3复数的运算（2）复数乘幂与方根的指数形式与实数的乘幂形式相似，复数z的乘幂定义为。其中，n为正整数，z

为非零复数。若将z写为指数形式，则有，这样z的乘幂表示为（1.17）利用欧拉公式可方便地把式（1.17）所示的复数乘幂表示为三角形式。由欧拉公式，有，这样（1.18）若满足，则有棣莫弗（DeMoivre）公式为（1.19）复数的n次方根是复变函数中的基础运算。称满足方程的复数为复数z的n次方根，记作（1.20）设，则有。由于两复数相等时有二者的模与相位分别相等，可知，这样，有

（1.21）1.1.3复数的运算于是（1.22）当取时，可以得到非零复数z的全部n个互异的n次方根，可以写为（1.23）由欧拉公式，式（1.23）也可以写为三角形式为（1.24）显然，还是指数形式的复数表示更为简洁。1.1.3复数的运算【例1.4】求解因为，所以.也可以把该式改写为三角形式和代数形式为1.1.3复数的运算【例1.5】求解因为，所以.请读者自行把上述解转化为三角形式和代数形式。可解出1.1.4工程技术中常用的复数表示

工程技术中各种物理量,广泛地采用不同形式的复数来表示,其核心问题是适配不同应用场景的计算需求与物理意义,而采用代数形式、指数形式或极坐标形式(三角形式的工程简化版)来表示和描述.在工程技术领域,往往约定性地采用

j

来表示虚数单位,而不采用数学领域中普遍采用的

i

,其理由主要是避免与电气工程领域中的电流符号

i

发生冲突.在工程技术中,复数的不同表示形式各有侧重,其中,代数形式便于拆解物理分量,指数形式和极坐标形式便于处理“幅度-相位”的关联运算,等等.1.代数形式的应用如前所述，代数形式是复数最基础的表示形式，其优势是将复数拆解为实部和虚部两个部分，可以分别对应于物理量的两个独立的属性，例如阻抗中的电阻与电抗、通信信号中的同相分量与正交风量等。2.指数形式的应用经由欧拉公式，复数的指数形式可将复数的幅度和相位（辐角）封装为一体，从而显著简化复数的乘法、除法、乘幂和方根运算，在信号处理和通信技术等领域得到普遍的采用。3.极坐标形式的应用复数的极坐标表示是其三角形式（或指数形式）的工程简化，一般直接以“幅度相位”的形式出现，具有直观性和运算便捷性，广泛应用于工程手册、现场调试和口头交流中。

1.2复平面上的点集、区域与曲线1.2.1复平面上的点集1.2.2区域1.2.3曲线1.2.4单连通区域与多连通区域1.2.5工程问题的几何建模定义1.2邻域和去心邻域复平面上以z0为圆心，为半径的圆的内部由所确定的点集，称为点z0的-邻域。由所确定的点集称为点z0的-去心邻域。1.2.1复平面上的点集

复平面上的点集、区域与曲线是研究复变函数定义域、解析性及积分路径的基础几何概念，其定义依托复平面的二维结构，与平面解析几何中的点集、区域等概念相通，但需结合复数的代数与几何属性进行理解。1.点集与邻域的概念复平面上的点集是指由复平面内若干复数点组成的集合，记为，其中每个点对应一个复数，等价于平面直角坐标系中的点(x,y)。1.2.1复平面上的点集2.内点、外点与边界点复平面上点z0与点集E的位置关系可分为三种情况，即：内点：z0完全落在E的内部，周围足够小的范围都是E的点。外点：z0完全落在E的外部，周围足够小的范围无E的点。边界点：z0位于E的边缘上。其任意邻域内既有集合内的点，也有集合外的点。称边界点的全体为点集E的边界，记为。边界点可以属于E，也可以不属于E3.开集与闭集若点集E的所有点均为内点，则称E为开集，开集不含边界。若点z0的任意邻域都含有E的无穷多个点，则称z0为E的聚点。若E的每个聚点都属于E，则称E为闭集。4.有界集与无界集设有正数M，若对于点集E内的点z均满足，则称E为有界集，否则称E为无界集。定义1.3表明，区域是连通的开集，区域D与它的边界一起构成闭区域，也称为闭域，记为，即单位开圆盘是典型的开区域，而单位闭圆盘则是典型的闭区域。值得注意的是，根据定义1.3，区域是开集，闭区域是闭集，除了全平面既是开区域又是闭区域这一特例外，闭区域不是区域。1.2.2区域定义1.3区域若平面点集E满足以下两个条件：（1）E是一个开集；（2）E是连通的，即E中任何两点都可以用完全属于E的一条折线连接起来。则称该平面点集为区域，记为D。1.2.3曲线1.复平面上曲线的概念复平面上的曲线是连接复变函数“几何直观”与“解析运算”的关键载体，既是区域边界的构成元素，也是复积分、场论分析的核心路径，其定义、分类和工程应用均围绕参数化表达展开。其本质是二维平面曲线的复数表示，通过参数方程将实参数映射为复平面上的点。设参数，曲线C可表示为：

其中，和是定义在闭区间上的实值函数。曲线的起点和终点分别记为

和。

参数t遍历时，遍历复平面上的点，形成连续轨迹。2光滑曲线若复平面上曲线C满足以下两个条件，则称其为光滑曲线：（1）一阶导数连续：即和在上连续；（2）导数不同时为零：即对任意，有此外，有限条光滑曲线首尾相接组成的曲线，称为分段光滑曲线。1.2.3曲线3.简单曲线与简单闭曲线在复变函数中，简单曲线也称为若尔当曲线（Jordancurve），是复平面上“不自交的连续曲线”，是构建简单闭曲线、区域边界的基础，其核心特征是“无交叉、无断裂”。对于复平面上的曲线，若同时满足以下两个条件，则称为简单曲线。这两个条件是：（1）连续性：即和在上连续，无间断点；（2）简单性：即曲线在区间内部不相交，对任意，若，则。若对于满足简单曲线条件的曲线补充第三个条件，即（3）闭合性：曲线的起点与终点重合，满足。则称同时满足上述三个条件的曲线为简单闭曲线也称为若尔当闭曲线。简单闭曲线是构成区域边界、支撑柯西积分定理等核心理论的基础几何对象。在工程技术中，简单曲线与简单闭曲线具有重要的应用价值。4.若尔当曲线定理定理1.3若尔当曲线定理任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个部分。除了C外，其中一个是有界区域，称为C的内部；另一个是无界区域，称为C的外部；C是内部和外部的公共边界。1.2.3曲线【例1.6】判断图1.2所示曲线为何种曲线解简单曲线：曲线(1)和曲线(2)；非简单曲线：曲线(3)和曲线(4)；闭曲线：曲线(1)和曲线(3)；非闭曲线：曲线(2)和曲线(4)。因此：曲线(1)为简单闭曲线；曲线(2)为简单非闭曲线；曲线(3)为非简单闭曲线；曲线(4)为非简单非闭曲线。1.2.4单连通区域与多连通区域定义1.4单连通区域与多连通区域若区域D内任意一条简单闭曲线的内部均含于D内，则称D为单连通区域；不是单连通的区域称为多连通区域（又称为复连通区域）。图1.3为单连通区域与多连通区域的示意图。单连通区域D具有以下特征：属于单连通区域D的任何一条简单闭曲线，在D内可以经过连续变形而缩为一点，而多连通域则不具有这个特征。直观地说，区域内没有“空洞”的是单连通区域，而有“空洞”的则为多连通区域。单位开圆盘、右半复平面和常见的带状区域、角形区域、上半平面等都是单连通区域；而圆环域和去心邻域等都是多连通区域。1.2.5工程问题的几何建模1.重要数学性质的工程意义开区域/闭区域的工程意义；单连通区域/多连通区域的工程意义；简单闭曲线的工程意义。2.典型工程场景的几何建模（1）控制工程中系统稳定性的区域建模（2）通信技术中信号调制的点集与区域建模星座点集；星座区域。通过优化星座点集的分布（如圆形星座、矩形星座），可在相同带宽条件下提升通信容量，这是5G、6G调制技术的核心设计思路。3.几何建模的工程应用价值复平面的点集、区域与曲线，本质是工程问题的“降维工具”。它将“幅度-相位”、“实部-虚部”等二维耦合物理量，转化为直观的几何对象，实现三大核心价值：简化计算；直观判据；优化设计。复平面几何建模是连接复变函数理论与工程实践的桥梁，掌握这一工具，可大幅提升工程问题的分析与设计效率。

1.3复变函数1.3.1复变函数的概念1.3.2复变函数的极限1.3.3复变函数的连续性1.3.1复变函数的概念1.复变函数概念的引出复变函数是以复数为自变量和因变量的函数.定义1.5复变函数设G是一个复数集，若对G中每一个复数，按照一定的法则有确定的复数与之对应，则称w为G上关于的复变函数，记为。其中，z是自变量，w是因变量，集合G称为函数的定义域，与G中z对应的w的全体构成的集合

称为函数的值域。若G中的每一个z有且仅有一个w与之对应，则乘此函数为单值函数，否则称为多值函数。

例如，等都是z的单值函数，而则均为z的多值函数。复变函数w和自变量之z间的关系，相当于两个关系式：

它们确定了自变量为x和z=y的两个二元实函数。反之，如果确定了两个二元实函数和，则就构成了的一个复变函数2.复变函数的定义1.3.1复变函数的概念【例1.7】试求出复变函数函数对应的二元实函数和解设，，则，这样，对应于两个二元实函数为1.3.1复变函数的概念3.映射的概念映射是描述两个集合之间元素对应关系的数学概念，简单说就是按一定规则，把一个集合里的元素“对应到”另一个集合里的元素，这个规则就叫映射。复变函数中的“一个复平面到另一个复平面的映射”，就是映射的一种具体应用。例如，对于复变函数，若自变量，代入w后得到。这个过程相当于把z平面上的点(2,3)“平移”到w平面上的点(3,4)。这就实现了z平面上点到w平面的映射。在映射关系中，与点z对应的点w称为点z的像，而点z则称为点w的原像。复数的指数形式（也是极坐标形式）也常用于表示复变函数的映射，见例1.8的例子。1.3.1复变函数的概念【例1.8】试把函数利用极坐标形式进行映射解把复变量z表示为指数形式（即极坐标形式）为，则映射变为

显然，任一非零点z的像可以通过把z的模平方，辐角主值加倍而得到，即

极坐标映射的示意图如图1.4所示，表示了的映射关系。1.3.2复变函数的极限1.复变函数极限的概念复变函数极限的定义在叙述形式上与一元实函数的极限是一致的。定义1.6复变函数的极限设函数在z0的去心邻域内，若有一确定的数A存在，对于任意给定的，相应地必有一正数，使得当时，有

则称A为当z趋向于z0时的极限，记作，或记为当读者需要特别注意的是，定义1.6中z趋向于z0的方式是任意的。即z

无论从什么方向，以何种方式趋向于z0，

都要趋向于同一个常数A。这个条件要比一元实函极限定义的限制要严苛得多。1.3.2复变函数的极限2.复变函数极限存在的充要条件定理1.4复变函数极限存在的充要条件设函数，

则的充要条件是证明必要性：若，则根据极限定义，当时，有，于是，当时，有，即

充分性：若成立，则当时，

有.而，因此，当时，有，即1.3.2复变函数的极限【例1.9】讨论复变函数当时的极限解由给定复变函数，有，当时，有；而当时，有因此，函数当时的极限不存在。1.3.3复变函