复变函数与积分变换：理论基础与工程方法 课件 第2章 解析函数

CONTENTS目录第2章解析函数2.1复变函数的导数2.2解析函数2.3解析函数与调和函数初等复变函数及其工程应用2.42.5MATLAB编程练习与演示本章小结2.6

2.1复变函数的导数2.1.1复变函数的可导性2.1.2复变函数导数的运算法则2.1.1复变函数的可导性1.复变函数导数的概念复变函数的导数定义形式上与实函数导数一致，均可以定义为当自变量的增量趋于0时，函数的增量与自变量增量之比的极限值。（1）复变函数导数的定义对于一元实函数y=f(x)，函数在点x0处的导数f’(x0)是当自变量x在附近的增量∆x无限趋于0时，函数值的

增量与自变量增量∆x之比值的极限。用数学定义的形式表示为：若极限存在且为有限值，则称f(x)在x0可导，该极限值就是f(x)在x0处的导数。对于复变函数w=f(z)的导数，与实函数的导数概念十分相似。2.1.1复变函数的可导性定义2.1复变函数的导数设函数w=f(z)在区域D内有定义，，且。若极限存在有限的极限值A，则称f(z)在z0处可导，并称此极限值为f(z)在z0

处的导数，记作（2.1）也称或为f(z)在z0

处的微分。实际上，在复变函数中，函数w=f(z)在z0

处可导与在z0处可微是等价的。显然，若f(z)在z0处可导或可微，则f(z)在z0处连续。但函数f(z)在z0

处连续，却在该点不一定可导。这个特性与一元实函数是相同的。若函数f(z)在区域

D内的每一点可导，则称f(z)在区域

D内可导，则称f’(z)或为函数f(z)在区域

D内的导函数，记为（2.2）于是，有2.1.1复变函数的可导性2.与一元实变函数导数定义的差别从定义2.1的形式上来看，复变函数导数与一元实函数导数的定义十分相似，都可以理解为自变量增量趋于0时，函数值增量与自变量增量之比的极限值。但两者导数的核心要求和本质内涵的差异是非常显著的。关于自变量增量的趋近方式：由于一元实函数的自变量x是定义在x轴上的，故∆x→0只有两条路径，即从左边趋近于0和从右边趋近于0；但是，复变函数的自变量z是定义在二维z平面上的，其∆z→0有无穷多条路径，或称为有无穷多种方式，例如水平方向、竖直方向、任意曲线、甚至是螺旋线，等等。关于导数存在的条件：对于一元实函数来说，只须满足左右导数存在且相等即可；但是对于复变函数来说，所有路径、所有方式的极限都存在且相等，才能满足导数存在的条件，因此条件更为严苛。关于导数的几何意义：对于一元实函数来说，我们熟知其导数的几何意义是函数所表示的曲线在x0处的切线斜率；而对于复变函数来说，其导数表示的几何意义是函数映射后曲线的伸缩率与旋转角，构成保角映射的基础（将在后续章节具体介绍）。2.1.1复变函数的可导性【复变函数导数的工程意义】：

复变函数导数的工程意义，核心是用“复平面映射的伸缩率与旋转特性”精确描述工程技术中的“二维耦合物理量”的变化规律。它不像实函数导数仅表示“一维变化率”，而是直接对应场分布、信号变换、流场形态的核心特征，在电磁场、信号处理和流体力学等领域具有不可替代的作用。2.1.1复变函数的可导性【例2.1】求函数的导数.解对于复平面内任一点z，由导数定义式（2.2），有

由z的任意性，可知在复平面内处处有2.1.2复变函数导数的运算法则由于复变函数导数的定义与一元实函数导数的定义在形式上完全一致，并且复变函数的极限运算法则也与实函数的极限运算法则相同，故实函数中的求导法则可以直接推广到复变函数中来，且证明方法也相同。定理2.1给出了复变函数的导数运算法则。定理2.1导数运算法则设复变函数f(z)和g(z)在区域D内连续且导数f’(z)和g’(z)存在，C为复常数，则：

2.2解析函数2.2.1解析函数的概念2.2.2函数解析的充分必要条件2.2.1解析函数的概念解析函数是复变函数理论的核心研究对象。解析函数是指在复平面某区域内处处可导的复变函数，也常称为全纯函数或正则函数。定义2.2解析函数若函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析，z0称为f(z)的解析点。

若f(z)在区域D内每一点解析，则称f(z)是

D内的一个解析函数。若函数f(z)在z0点不解析，则称z0为函数f(z)的奇点。例如，函数在复平面上除z=2外都是解析的，z=2是其奇点。根据定义可知，函数在区域内解析与在区域内可导是等价的。但是，函数在一点处解析与在一点处可导不是等价的概念。若函数在一点处解析，则其必在该点处可导；而函数在一点处可导，则不一定在该点处解析。可见，函数在一点处解析比在该点处可导的要求更高。式（2.3）给出了函数在点z0处和在区域

D内解析与可导的关系。1.解析函数的定义2.2.1解析函数的概念2.解析函数的运算性质解析函数的运算性质是关于解析函数经过代数运算、复合运算后是否仍为解析函数的问题。定理2.2解析函数的运算性质设函数f(z)和g(z)在区域D内解析，则f(z)和g(z)的和、差、积、商（除去分母为0的点）在

D内也解析。由于函数在区域内解析等价于函数在该区域内可导，故定理2.1给出的结论也适用于区域内解析的函数。此外，多项式函数在复平面内处处解析。有理分式函数在除去分母为0的点的区域内是解析的。满足定义域嵌套条件的解析函数，其复合函数仍为解析函数。具体来说，若两个复变函数中的内层函数在区域D内解析，外层函数在区域G内解析，且内层函数的值域完全包含于外层函数的解析区域，即满足。则复合函数在区域

D内解析。若函数w=f(z)是区域

D内的单值解析函数，且，则其反函数在对应的区域内也解析。2.2.1解析函数的概念【例2.2】求有理分式函数的解析区域和该区域上的导函数.解由于，知时，函数f(z)是解析的，即函数f(z)在复平面上除去点的区域内是解析的。f(z)的导函数为2.2.1解析函数的概念3.复变函数的奇点在复变函数中，函数不解析的点称为奇点。具体说来，奇点有以下几种情况：①f(z)的不连续点为函数的奇点；②中，u和v不可微的点为函数的奇点；③f(z)的不可导的点为函数的奇点；④f(z)不满足解析定义的点为函数的奇点；⑤f(z)不满足柯西-黎曼条件的点为函数的奇点。有关柯西-黎曼条件的详细介绍，将在2.2.2节中给出。2.2.2函数解析的充分必要条件1.为什么要判定一个复变函数是否为解析函数判定一个复变函数是否解析，是复变函数理论从“抽象定义”走向“工程应用”的关键环节，其意义体现在数学性质挖掘和工程问题求解这两个层面。在数学层面，若一个复变函数被确定为解析函数，就意味着该函数自动具备一系列实函数不具备的强性质，这些性质是复变函数理论的核心价值。在工程层面，其中大量的二维问题，例如电磁场、流场、通信信号传输与分析等，本质上需要寻找满足特定边界条件的调和函数（有关调和函数的概念将在本章后面部分介绍），而解析函数是构造这类调和函数的最优工具。因此，判定一个复变函数是否解析，本质上是筛选出具备“强数学性质”的函数，使其成为连接复变函数理论与工程问题的桥梁。2.判定复变函数解析的有力工具：柯西-黎曼条件定义2.2关于解析函数的定义，可以看作是一种判定复变函数是否解析的方法或依据。即若函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导，则可判定f(z)在z0解析；若在区域D内每一点解析或可导，则可判定f(z)是D内的一个解析函数。但是实际上，如果只根据解析函数的定义来判定函数的解析性，往往是十分困难的。幸运的是，柯西-黎曼条件给出了一种非常简便的判定复变函数解析性的充分必要条件。2.2.2函数解析的充分必要条件定理2.3柯西-黎曼条件（一点处可导）函数定义在区域D内，则f(z)在D内一点可导的充分必要条件是u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微，且满足柯西-黎曼方程（称为C-R方程）：（2.4）2.2.2函数解析的充分必要条件证明必要性由于f(z)在点处可导，由导数定义，可知

从而得

（2.5）其中，令，其中a与b为实数，与为二元实函数，则式（2.5）可表示为

从而有

由于，所以因此，u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微，且满足柯西-黎曼方程2.2.2函数解析的充分必要条件证明充分性由于u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微，则这里，由柯西-黎曼方程，可设

则有

于是

因为，故当时，上式右端的最后两项都趋于0。因此，

即f(z)在点处可导。2.2.2函数解析的充分必要条件证明充分性由以上证明知，当定理2.3的条件满足时，可得到一个计算复变函数导数的有用公式为（2.6）需要注意的是，C-R方程只是函数f(z)在z0可导的必要条件，而非充分条件。这是因为一个二元函数在某一点有偏导数甚至不能保证函数在该点连续，更不要说在该点可微了。例如我们可以找到这样的函数尽管二者在z=0这点满足C-R方程，但由二者构成的复变函数在z=0处是不连续的，因而是不可导的。不过，当补充偏导数在z0处连续的条件后，C-R方程就成为复变函数在该点可导（且解析）的充要条件了。2.2.2函数解析的充分必要条件定理2.4柯西-黎曼条件（区域D内解析）函数在区域D内解析（即在区域D内可导）的充分必要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内处处可微，且满足C-R方程

根据解析函数的定义和相关定理，可以得到判定复变函数解析性的方法如下：①若能依据复变函数求导公式与法则确定复变函数f(z)的导数在区域

D处处存在，则可根据解析函数的定义判定f(z)在区域

D内是解析的。②若复变函数中的u(x,y)和v(x,y)在

D内的各一阶偏导都存在且连续，使得u(x,y)和v(x,y)可微，并满足柯西-黎曼方程，则根据解析函数的充要条件可以判定

D内解析。2.2.2函数解析的充分必要条件【例2.3】给定复变函数(1)试依据柯西-黎曼条件判定该函数在复平面上的解析性。(2)试计算f(z)的导数f’(z).解(1)由给定复变函数，知，，计算偏导数，有

由于上述4个偏导数在复平面上连续，且满足柯西-黎曼条件，即

故，给定复变函数在复平面上为解析函数。(2)因，故有2.2.2函数解析的充分必要条件【例2.4】给定复变函数试求出常数的值，使得f(z)在复平面内处处解析

.解根据给定f(z)的表达式，有。求4个偏导数，有

为使柯西-黎曼方程成立，即成立，只需联立求解上述方程组，可得

则复变函数f(z)在复平面内处处解析。2.2.2函数解析的充分必要条件【解析函数的重要性】：解析是复变函数中最核心的概念，它贯穿复变函数研究的全流程，定义了函数的“良好性质”，是后续章节关于柯西积分定理、洛朗级数、留数等重要理论成立的前提，也是复变函数区别于实函数的关键特征。解析函数的重要性可以从以下几个方面来理解：第一，解析定义了复变函数的“研究主体”。复变函数的主要研究对象就是“解析函数”。解析函数的定义，筛选出了具有“良好局部性质”的函数，后续所有理论都是针对这类函数进行分析的。第二，解析是复变函数理论中所有重要定理的“前提条件”。本书后续章节的所有核心定理（包括：柯西积分定理、柯西积分公式、泰勒展开定理、洛朗展开定理、留数定理等），无一不要求函数“在某区域内解析”，没有解析的前提，这些定理都不成立，复变函数的理论体系会直接崩塌。第三，解析是复变函数“实用价值”的来源。解析函数的独特性质（任意阶可导、柯西积分公式所体现的“局部决定整体”等），让它成为解决实际问题的工具。例如在工程信号分析中，傅里叶和拉普拉斯变换依赖解析函数的积分性质；流体力学和电磁学中的场论分析，其核心是解析函数的应用。这些实用场景的本质，都是解析函数良好性质的延伸。第四，函数解析的概念是区分复变函数与实函数的关键要素。实函数中“可导”≠“任意阶可导”，但复变函数中“解析”（区域内可导）却意味着“任意阶可导”，且能展开为幂级数。这种“更强的性质”，让复变函数形成了独立且严谨的理论体系，而函数的解析性正是这种差异的根源所在。2.3解析函数与调和函数2.3.1调和函数的概念2.3.2解析函数与调和函数的关系2.3.3共轭调和函数2.3.4解析函数在工程技术中的应用2.3.1调和函数的概念在诸如流体力学和电磁学等科学技术领域，有许多问题需要使用一种称为调和函数的方式来描述和分析。本质上，调和函数是一类满足“局部平均值等于中心值”的光滑函数，其核心特点是没有局部极大值和极小值，可对应于物理和工程问题中的“稳态平衡”状态。另一方面，调和函数与解析函数是密切相关的。1.调和函数的定义定义2.3调和函数若二元实函数在区域D内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程（2.7）则称为区域D内的调和函数，或称在区域

D内调和。式（2.7）中，称为拉普拉斯算子。简单说来，调和函数是满足拉普拉斯方程的二阶连续可微函数。2.3.1调和函数的概念调和函数最直观的物理解释，是函数的平均值等于其中心点值。例如：若函数u(x,y)是圆盘形区域内的调和函数，则圆盘中心点的函数值，等于圆盘边界上所有点函数值的平均值。具体来说，在一个稳态的均匀金属圆板上，中心点的温度，等于圆板边缘所有点温度的平均值—边缘温度高的地方和低的地方，会通过热传导让中心点温度稳定在平均水平。再如，一杯静置的水，水面任意一点的高度，等于周围一圈水面高度的平均值，所以水面最终会变成平面（没有局部高低起伏），也就是说，水的表面高度函数是调和函数。【调和函数的直观解释】：2.3.1调和函数的概念2.调和函数的性质调和函数的主要性质是围绕“无局部极值”和“平均值特性”展开的，这些性质是其在工程物理场中应用的理论基础，主要包括：①平均值性质，即圆盘中心点的函数值等于圆盘边界上函数值的平均。这是调和函数最具辨识度的性质，也是推导其他性质的基础。这个性质直接对应稳态场的平衡特性，比如稳态温度场中，内部任意点温度由边界温度的平均值决定，无局部过热/过冷情况。②极值性质，即极值只能出现在区域的边界上，调和函数在区域内部无局部最大值和最小值。其工程意在于，在稳态温度场中，金属板的最高/最低温度一定在边缘；在静电场中，导体内部电势处处相等，极值在导体表面。③解析函数关联性质，这是复变函数中调和函数的核心特性，也是构造解析函数的依据。④其他重要性质，例如光滑性、唯一性及调和性不变性等。光滑性为工程中的数值计算（如有限元法）提供了光滑性保证；唯一性确定了稳态场的解由边界条件唯一确定，比如金属板的温度分布仅由边缘温度决定，解是唯一的，等等。2.3.1调和函数的概念3.调和函数的工程意义与应用场景调和函数是复变函数与数学物理方程的桥梁，核心应用都与稳态场有关。①热传导问题：当一块金属板的边缘温度固定，经过足够长时间后，板内温度分布函数就是调和函数。此时热量不再流动，温度场达到稳态，没有局部热点或冷点。②静电场稳态问题：无电荷区域内的电势函数是调和函数，满足拉普拉斯方程。例如平行板电容器之间的电势分布，没有局部电势极值，电场线是均匀分布的。③流体力学无旋流动：不可压缩、无旋的理想流体的速度势函数和流函数都是调和函数，用于描述流体的稳态流动（比如水流绕过障碍物时的流线分布）。④复变函数的共轭性：任意一个解析函数，其实部和虚部都是调和函数，且满足柯西-黎曼方程。这实际上是使用复变函数解决二维场问题的关键依据。2.3.2解析函数与调和函数的关系定理2.5给出了解析函数与调和函数之间的对应关系和相互依存关系，从而构成了复变函数理论的一个核心纽带。定理2.5解析函数与调和函数设函数在区域

D内解析，则f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是区域

D内的调和函数。证明设函数在区域

D内解析，则其满足柯西-黎曼方程

由于解析函数具有任意阶导数（将在后续章节介绍，这里先行利用），故u(x,y)和v(x,y)均存在任意阶连续导数。这样，有又因为因此，同理有可见，u(x,y)和v(x,y)都满足拉普拉斯方程，故二者均为区域

D内的调和函数。2.3.2解析函数与调和函数的关系【例2.5】判定复变函数的实部和虚部是否为调和函数.解实部，计算二阶偏导数，有，则满足拉普拉斯方程。虚部，计算二阶偏导数，有，则满足拉普拉斯方程。因此，u(x,y)和v(x,y)都是调和函数。2.3.3共轭调和函数1.共轭调和函数的概念共轭调和函数是针对二维调和函数定义的概念，其核心是建立两个调和函数的关联，使其能组合成解析函数，是复变函数连接数学物理场问题的关键纽带。定义2.4共轭调和函数设u(x,y)和v(x,y)均为区域D内的调和函数，且满足柯西-黎曼方程

则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数。由共轭调和函数的概念可以推知，复变函数在区域

D内解析的充分必要条件是，在区域

D内f(z)的虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和函数。由解析函数与共轭调和函数的关系，可以实现由一个调和函数与其共轭调和函数构造出一个解析函数的方法。2.3.3共轭调和函数2.由调和函数的共轭性构造解析函数的方法（1）偏积分法若已知一个调和函数u(x,y)，则可以利用柯西-黎曼方程求得其共轭调和函数v(x,y)，从而构成一个解析函数，这种方法称为偏积分法。偏积分法的算法步骤为：①依据拉普拉斯方程验证u(x,y)是一个调和函数。计算u(x,y)的二阶偏导数和，并验证②由柯西-黎曼方程求v(x,y)的偏导数。根据柯西-黎曼方程，有③对偏导数进行积分求v(x,y)选择偏导数中的一个进行积分运算，以对关于y的积分为例，有，其中是积分常数，是关于x的函数，与y无关。将v(x,y)的积分是代入另一个柯西-黎曼方程，求解④组合为一个解析函数。也可将u(x,y)和v(x,y)转化为的形式，以简化函数。2.3.3共轭调和函数【例2.6】判已知调和函数，求解析函数.解①验证调和性：由，知满足调和条件，故为调和函数。②求v(x,y)的偏导数：③积分求v(x,y)：对关于y积分，有。再对v(x,y)求x的偏导。结合，得，从而得到（常数）取，则有④构造解析函数：2.3.3共轭调和函数（2）线积分法当区域D为单连通区域时，可通过与路径无关的线积分求v(x,y)，本质是利用全微分条件。由于单连通域内积分与路径无关的问题将在后续章节介绍，故此处对线积分法构造解析函数的方法不做详细介绍，仅给出一例简要说明之。【例2.7】给定调和函数与例2.6相同，仍为，试采用线积分法求解v(x,y).解①计算偏导数：②分两段积分：路径1：，路径2：，③总积分：，取，则有，与例2.6的结果相同。2.3.3共轭调和函数3.共轭调和函数的几何意义与物理意义（1）共轭调和函数的几何意义共轭调和函数u(x,y)和v(x,y)的几何意义主要体现在二者的等值线簇的正交性上。对于共轭调和函数对u(x,y)和v(x,y)，其等值线分别为（2.8）式中，C1和C2为常数。设解析函数，等值线是以为渐近线的双曲线簇；等值线则是以坐标轴为渐近线的双曲线簇。如图2.1所示。若u(x,y)表示静电位（也称为静电势），则表示等电位线（也称为等电势线）。若u(x,y)表示温度，则表示等温线。2.3.3共轭调和函数图2.2表示了图2.1中实部和虚部两簇等值线叠加的情况叠加之后，实部和虚部两条等值线在交点处的法向量分别表示为和，由柯西-黎曼方程，有

上式表明，两等值线簇在交点处相互垂直，即正交。2.3.3共轭调和函数（2）共轭调和函数的物理意义共轭调和函数的物理意义是对同一二维稳态场的“势分布”与“通量分布”的互补描述，二者结合可完整刻画场的性质，这里结合静电场问题简介如下：在静电场描述中，调和函数u(x,y)表示静电位，其满足拉普拉斯方程，表示无电荷区。等值线是等电位线。共轭调和函数v(x,y)表示电通量函数，等值线表示电力线。等电位线与电力线处处正交，电场强度方向沿电力线切线方向，且垂直于等电位线；通过的等值线密度可判断电场强度大小（密度越大，场强越强）。例如平板电容器的等电位线是水平直线，电力线是竖直直线，二者正交，符合电场分布规律。共轭调和函数的几何正交性，决定了描述场的两个函数必须满足柯西-黎曼方程，进而表现为等值线簇的正交特性；反之，通过几何正交性可验证物理场描述的合理性。2.3.4解析函数在工程技术中的应用1.电磁场与微波工程中场分布的精确求解无电荷或无电流区域的静电场、恒定磁场，其电势函数和磁势函数均满足拉普拉斯方程，属于调和函数。由此构造解析函数，即为复势函数，可同时描述势分布和场强分布，而解析函数的导数f’(z)则直接对应电场强度/磁场强度。

2.信号处理与控制工程中的系统稳定性分析控制系统的传递函数是解析函数，其中自变量为复频率。传递函数的极点和零点分布直接决定系统的稳定性。设控制系统的传递函数为，其中K为系统增益。现需要根据的极点分布确定系统的稳定性。由的表达式知其极点为，且在复平面除极点外处处解析。构造闭合曲线包围右半复平面，计算沿该曲线的辐角变化量。若辐角变化量即右半复平面极点数量与零点数量之差为0，则系统稳定。最终确定系统增益K的稳定范围，以指导控制系统参数设计与调试。2.3.4解析函数在工程技术中的应用【例2.8】假设两根平行的偏心圆柱导体，半径分别为，偏心距为，带等量异号电荷，求解导体间的电场分布.解利用分式线性变换（后续将介绍的一种解析函数），设，将偏心圆柱边界映射为同心圆柱边界，大幅化简边界条件。构造同心圆柱的复势函数，其中实部为电势，虚部为电通量函数。逆变换回原偏心圆柱坐标系，通过数f’(z)计算电场强度分布，可得到导体表面的电场集中区域，从而指导电缆绝缘层厚度的设计，以避免电场击穿。2.4初等复变函数及其工程应用2.4.1指数函数2.4.2对数函数2.4.3幂函数2.4.4三角函数与反三角函数2.4.5双曲函数与反双曲函数2.4.6初等函数的工程应用2.4.1指数函数指数函数的定义定义2.5指数函数对于任何复数，指数函数定义为（2.9）也常记为定义2.5给出的指数函数的定义，实际上是对复指数函数的定义。由于本书讨论的都是复变函数，在不引起混乱的情况下，常省略“复”字。由上述定义可得指数函数的模和辐角为（2.10）此外，指数函数是单值函数。当时，有，则复指数函数退化为实指数函数；若，有，则复指数函数退化为纯虚指数函数

，表示为三角形式，有（2.11）即为欧拉公式。实际上，复指数函数是实指数函数在整个复平面上的解析拓广。2.4.1指数函数

2.指数函数的性质性质2.1指数函数的解析性指数函数在复平面上处处解析，且证明设，则由指数函数的定义，有这样，，显然这四个偏导数连续且满足柯西-黎曼方程，故在整个复平面上处处解析，且有性质2.2指数函数的周期性指数函数是以为周期的周期函数。证明设，则性质2.3指数函数无零点对于任意复数，证明因，其中，且，故总有性质2.4指数函数时极限不存在即指数函数不存在。证明由于，故不存在。性质2.5指数函数的运算规则设任意两个复数和，其指数函数乘积与商的运算规则为指数函数常用于描述周期性物理场，例如交变电场的复振幅等参数。2.4.1指数函数【例2.9】设，试求.解因，故2.4.2对数函数1.对数函数的定义定义2.6对数函数满足方程的函数称为对数函数，记为（2.12）令则方程变为，由此可推出

由上式可进一步解得

式中，u是单值的，而v可取无穷多个值。由于，是z的辐角，故有这样，有（2.13）显然，为多值函数，且每两个值相差的整数倍。若规定取主值，可得到的一个单值分支，称为的主值，记作这样，有（2.14）而其余各值可由得到2.4.2对数函数2.对数函数的性质性质2.6对数函数的解析性的主值在复平面上除原点及负实半轴外处处解析，且满足（2.15）的各分支也在除原点及负实半轴的复平面内解析。且有（2.16）性质2.7对数函数运算规则对数函数有以下运算性质（2.17）需要说明的是，以上运算性质应理解为等式左右两边集合相等。对数函数常用于构造静电场、流场的复势函数，例如无限长带电直线的复电势为2.4.2对数函数解的值为

主值为【例2.10】求的值和主值.2.4.3幂函数1.幂函数的定义定义2.7幂函数设是任意复数，对于，用下列等式定义z的次幂函数（2.18）还规定，当为正实数且时，。由于是多值函数，故一般是多值函数。若将用其主值表示，有（2.19）2.幂函数的性质性质2.8幂函数的解析性幂函数的各个分支在除原点和负实轴的复平面内是解析的，且其导数为（2.20）2.4.3幂函数性质2.9取不同值时的幂函数幂函数的指数取不同值时，幂函数有不同的特性。①当为正整数n时，有为复平面上的单值函数。②当（n为正整数）时，是一个n值函数，只有当

时取不同的值。③当为有理数（其中为既约分数）时，是一个n值函数，记为④当为无理数或任意复数（以上三种情况除外）时，有，是无穷多值函数。【例2.11】求的值.解2.4.4三角函数与反三角函数

1.正弦函数与余弦函数的定义定义2.8正弦函数与余弦函数对任意复数，由（2.21）所规定的函数，分别称为z的正弦函数和余弦函数。实际上，正弦函数和余弦函数的定义，可以由欧拉公式导出。由定义2.8