2027山东专升本高等数学一 闭区间连续函数性质专项练习题（含解析）

山东专升本高等数学一闭区间连续函数性质专项练习题（含解析）考试说明：本套题目严格贴合2027山东专升本高数一考纲，聚焦闭区间连续函数四大核心性质（有界性定理、最值定理、介值定理、零点存在定理），题型包含选择题、填空题、解答题，难度适配升本基础+中档必考题型，每题紧跟详细答案解析。核心考点回顾：若函数f(x)1.有界性：f(x)2.最值定理：存在最大值M、最小值m；3.介值定理：对任意μ∈[m,M]4.零点存在定理：若f(a)⋅f(一、单项选择题（共5题，每题4分，共20分）第1题下列函数中，在闭区间[-1,2]上连续且一定存在最大值和最小值的是（）A.f(x)=1xC.f(x答案：B解析：根据闭区间连续函数最值定理，函数需在闭区间[-1,2]上全程连续。

A选项：x=1处无定义，为间断点，区间内不连续，排除；

B选项：二次函数为多项式函数，定义域内处处连续，在[-1,2]上连续，满足最值定理条件，存在最大、最小值；

C选项：分段点x=0处，左极限1、右极限-1，极限不存在，间断，排除；

D第2题设函数f(x)在闭区间[a,b]A.存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0B.存在ξ∈(a,b)答案：A解析：由题意，f(x)在[a,b]连续，最值区间m≤f(x)≤M，且f(a)=2,f(b)=-3，可知0∈[-3,2]。

根据零点存在定理（介值定理推论），第3题下列关于闭区间连续函数性质的说法，正确的是（）A.函数在开区间上连续，一定有界B.函数在闭区间上不连续，一定无界

C.函数在闭区间上连续，一定有界D.有界函数一定存在最大值和最小值答案：C解析：闭区间连续函数有界性定理：函数在[a,b]上连续，则一定在该区间有界，C正确。

A错误：例f(x)=1x在(0,1)连续但无界；

第4题方程x3-3x+1=0在区间(0,1)A.0B.1C.2D.3答案：B解析：令f(x)=x3-3x+1，该函数为多项式函数，在[0,1]上连续。

代入端点：f(0)=1>0，f(1)=1-3+1=-1<0，满足f(0)⋅f(1)<0。第5题设f(x)在[1,3]上连续，且f(1)=1,f(2)=4,f(3)=2，则下列数值中，A.5B.3C.0D.-1答案：B解析：函数在[1,3]连续，函数值的取值范围包含区间内所有中间值。由已知函数值可知，函数最值区间包含[1,4]，3属于该区间。

根据介值定理，必存在ξ∈[1,3]，使得f(ξ)=3。

5、0、二、填空题（共3题，每题4分，共12分）第6题函数f(x)=x2-4答案：-1解析：f(x)为二次函数，在[0,3]上连续，满足最值定理。

配方得f(x)=(x-2)2-1第7题方程ex-x-2=0至少有一个根的区间为答案：(1,2)（答案不唯一）解析：令f(x)=代入区间端点：f(1)=e-已知自然常数e≈2.71828，代入计算：e2≈7.38906，f(2)≈7.38906-4=3.38906>0，满足f(1)⋅第8题若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b答案：一定成立解析：闭区间连续函数有界性定理为充要结论：只要函数在闭区间上连续，就必然在该闭区间上有界，无例外情况。三、解答题（共3题，总分68分）第9题（22分）证明：方程x4-2x3证明&解析：1.构造函数并判断连续性

令f(x)=x4-2.计算区间端点函数值

f3.应用零点存在定理

可得f(2)⋅f(3)<0，根据闭区间连续函数零点存在定理：若f(x)在[a,b]连续，且端点函数值异号，则至少存在一点第10题（22分）设函数f(x)在[0,2]上连续，且f(0)=0,f(2)=2，证明：存在证明&解析：1.构造辅助函数

要证f(ξ)=ξ，即证2.判断辅助函数连续性

已知f(x)在[0,2]上连续，一次函数y=x3.计算端点函数值

F(0)=f(0)-0=0-0=0

F(2)=f(2)-2=2-2=0

补充验证区间内部：取区间中点分析，同时可利用介值定理推广，若端点值相等，函数必能取到中间值，本题可严谨推导：

若F(x)≡04.结论

综上，存在ξ∈(0,2)，使得F(ξ第11题（24分）证明：若函数f(x)在[1,4]上连续，且1≤f(x)≤4证明&解析：1.构造辅助函数

令F(x)=f(x)-x，由f(2.分析端点函数值符号

当x=1时，由1≤f(1)≤4，得F(1)=f(