湖南省长沙市2026-2027学年高三秋季开学学情数学自测卷（人教版A）（原卷版）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省长沙市2026-2027学年高三秋季开学学情自测卷数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．复数（

）A． B． C． D．3．已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（

）A． B． C． D．4．函数图象的对称中心可能是(

)A． B． C． D．5．将函数的图象向左平移（）个单位后，所得的图象仍然关于原点对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．已知，当时，的最小值是，则（

）A． B． C． D．7．已知点是棱长都为2的正四棱锥的棱的中点，空间中一点满足，其中，，，且．当最小时，有（

）A．为钝角三角形B．C．与底面所成的角是D．四棱锥的外接球被二面角所夹的几何体的体积为8．若函数有两个极值点，且，则（

）A． B． C． D．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（

）A．圆锥母线与底面所成的角为B．圆锥的侧面积为C．挖去圆柱的体积为D．剩下几何体的表面积为10．若为数列的前项和，且，则下列说法中正确的是（

）A． B．C．是等比数列 D．是等比数列11．一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（

）A．取出的最大号码X服从超几何分布B．取出的黑球个数Y服从超几何分布C．取出2个白球的概率为D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．已知，则的最大值为__________．13．已知数列的前n项和为，，，则__________（用数字作答）.14．已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是__________.解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数与函数在处有公共的切线.（1）求实数的值；（2）记，求的极值.16．如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点．(1)证明：平面；(2)求平面与平面ABCD的夹角的余弦值；(3)求三棱锥的体积．17．已知点，分别是椭圆的左、右焦点，，椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程.(2)若是椭圆上的一个动点，点经过第次变动（各次变动之间相互独立）后落在的位置（异于椭圆的左、右顶点，且时，允许），点是的内心（即内切圆的圆心），满足，其中，为坐标原点.①证明：；②若，且对任意都有的面积为，求对任意都有的概率.18．为迎接我校校庆，文创中心组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小江负责在弦歌台服务点发放纪念品．在做准备工作时，小江清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向文创中心申请补领，其余纪念品的份数如下表所示：书签明信片手绘款40普通款150120(1)设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小江补领了手绘款明信片40张．记事件A：首位抵达的校友抽到手绘款纪念品，事件：首位抵达的校友没有抽到明信片，分别计算、，并判断事件A，是否独立；(2)设每位抵达的校友可以随机抽取2份纪念品．若小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于0.2，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则他应该申请补领多