数学教学论（第3版）课件 第八章2 解题认知过程及解题教学基本要求

主讲教师：第八章数学解题教学第八章数学解题教学第四节解题认知过程及解题教学基本要求123数学解题的认知过程及解题思维模式数学解题教学的基本要求数学解题的目标转换与路径探求（实例）CONTENT节目录8.4.1数学解题的认知过程及解题思维模式1.解题观点

从教育心理学的观点看，解题过程就是以思维为主导、以题目目标为定向的高级心理活动过程.

实践告诉我们，解题过程是知识的运用过程，是解题者（个人）面向对象的数学化过程，包括对其形式化、表格化、和图形化，进而纳入到一个特定的模式化系统中来，确认系统内部所满足的整体属性和局部属性。

在此基础上确认个别对象在系统中的身份，位置、属性，借以实现它与其它对象的关联，使解题目标明确开来。可见，解题过程首先是一个数学化的过程，进而是主体知识的延伸，或称为扩展。2.解题理论8.4.1数学解题的认知过程及解题思维模式2.解题理论

理论是思想的进一步表述。由上可见，数学解题是实践的，它离不开数学知识本身，知识是它的重要依托。是否可以这样讲，解题是基于知识之上的再创造过程。否则，我们将无法解释为什么有些人已经懂得了那些知识，可是它们却不能有效地回答有关问题了。假若我们可以认同这个观点，那么，解题理论将可以上升为一种学说，即“基于知识之上的数学再创造”的实践学说。由此，作为一种学说，它必须能呈现出有益于实践的数学思维的可操作模式——解题思维模式。8.4.1数学解题的认知过程及解题思维模式3.解题思维模式（四进程）①模式断定。审题，准确地认清题目条件和目标及其“环境”状态。②目标定位。题目的目标是什么，是否考虑转换成更加适宜的新目标？③路径探求。分析题目的条件及各种量之间的关系，探求达到目标的途径。④技术实现。从已知条件出发，采用恰当的技术方法，对探求路径给予落实。8.4.2数学解题教学的基本要求（1）思维严谨，具有自我判断能力。（2）能迅速确定目标、进程，尤其是模式断定具有举足轻重的作用。（3）能用数学语言准确地表达自己的思维活动过程，用数学语言达成自我适应的表述。（4）能合理、准确的进行运算，力求计算正确，作图清晰，表述规范.（5）养成解题后的反思习惯。8.4.3数学解题的目标转换与路径探求（实例）8.4.3数学解题的目标转换与路径探求（实例）8.4.3数学解题的目标转换与路径探求（实例）8.4.3数学解题的目标转换与路径探求（实例）8.4.3数学解题的目标转换与路径探求（实例）8.4.3数学解题的目标转换与路径探求（实例）8.4.3数学解题的目标转换与路径探求（实例）8.4.3数学解题的目标转换与路径探求（实例）第八章数学解题教学第五节培养解题能力的途径和数学解题思想12培养解题能力的基本途径常用的数学解题思想CONTENT节目录8.5.1培养解题能力的基本途径1.培养学生认真审题的习惯，提高审题能力。

数学问题一般包括已知条件和需要解决的问题两部分，审题就是要求学生对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的情况进行分析研究.具体地说，就是要分清题目中哪些是已知，哪些是未知，涉及到哪些数学基本知识点（概念、术语、符号等），进而对系统做出模式断定。对于复杂的综合题，还要注意观察可能的数形特点.8.5.1培养解题能力的基本途径2.引导学生发现规律，寻求解题途径

数学问题中已知条件和需要解决的问题之间有内在的逻辑联系和必然的因果关系，解数学题的过程，就是灵活运用所学知识，去揭示这种联系和关系的过程。揭示了这种逻辑联系也就找到了由条件到结果的途径.寻求解题途径的方法常有顺推法，逆推法，等价转化，特殊化，一般化，归纳，类比等等。解题时运用这些特有方法寻找解题途径是否奏效，关键在于灵活运用和大胆试探.8.5.1培养解题能力的基本途径3.培养学生在解题后进行反思的习惯。

待解决问题之后，再回过头来对自己的解题活动加以回顾与探讨、分析与研究，是非常必要的一个环节.这是数学解题过程的最后阶段，也是对提高学生解题能力最有意义的阶段.学生通过对解题的结果和解法进行细致分析，通过对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括，从解题中抽出数学的基本思想和基本方法加以概括，并将它们运用到新的问题中去.8.5.1培养解题能力的基本途径4.合理地控制学生的解题活动

学生的解题活动最能影响他们的思维发展，要使数学解题活动在发展学生思维方面取得最佳效果，还必须合理地控制学生的解题活动，即要求在教师指导下，由学生独立地进行探索解题.

要合理地控制学生的解题活动，就是要创设情境、启迪思维、指明方向，引导学生主动、独立地活动；向学生提供功能特征显著，又能使他们充分认识其功能作用的数学问题.可见，这是不同于“知识教学”的高层活动。8.5.2常用的数学解题思想1.转化思想

在数学解题教学中，我们常常将困难问题转化为容易问题，陌生问题转化为熟悉问题，这就是转化思想，又称作化归思想．它是解决新问题、获得新知识的重要思想，其他许多重要的数学思想，例如数形结合思想、分类讨论思想、方程与函数思想、整体思想等均体现了化归过程，因此转化思想是数学思想的核心和精髓，是数学思想的灵魂．在课标及新教材中蕴涵转化思想的知识点极多，教学中要十分重视对转化思想的渗透和运用，通过不断地渗透、不断地积累，让学生逐渐内化为自己的经验，形成解决问题的自觉意识．8.5.2常用的数学解题思想2.函数思想

函数思想是指变量与变量的一种对应思想，或者说是一个集合到一个集合的映射思想.数学中常常将某一变量看作另一变量的函数，反过来，把问题中复杂的解析式当作单一字母处理，这就是变量代换。函数思想的核心就是力图把事物之间的关系化作特定函数关系，借助于函数性质解决问题。8.5.2常用的数学解题思想3.方程思想

人们通过长期解决问题的实践，不但对方程的概念、同解方程的原理，解方程的方法有了深刻的认识，而且认识到方程是已知量与未知量构成的矛盾统一体，它是从已知探索未知的桥梁。从分析问题中的数量关系入手，抓住等量关系，运用数学形式语言将相等关系转化为未知量的限制条件，再通过解方程使问题获解的思维方法，称为方程思想.它是笛卡尔首先总结出来的，是解决大量数学问题的导航器，在代数、几何乃至数学各个分支学科中都有广泛的应用.方程思想是函数思想的一种定值变形。8.5.2常用的数学解题思想4.数形结合思想

将数与式的代数信息和点与形的几何信息互相转换，把数量关系的精确性与几何图形的直观性有机结合起来，从而易于将已知条件和解题目标联系起来，使问题得到解决.这种解题方法即数形结合方法.几何图形中存在一定的数量关系，根据图形内在的数量关系，去揭示几何图形的某些性质，从这点出发，可以用代数的方法去解一些几何题.解析法就是通过坐标变换将几何问题化为代数问题的。数形结合关系是双向的。8.5.2常用的数学解题思想5.分类思想

分类思想是一种依据数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的思想，数学分类要满足两点要求：

①相称性，即保证分类对象既不重复又不遗漏.

②同一性，即每次分类必须保持同一的分类标准.分类标准必须根据具体情况而定，即使同一数学对象也有不同的分类标准，导致不同的分类结果.8.5.2常用的数学解题思想6.归纳与类比思想

归纳与类比是重要的数学方法，也是解题的基本思想方法.特别对于非常规数学问题，归纳和类比是探求解题途径的重要手段。我们在解决问题时，往往从特殊的、简