数学教学论（第3版）课件 第8章 数学解题教学

主讲教师：第八章数学解题教学本章概述学习目标1、了解数学问题及其问题解决的涵义。2、掌握数学问题解决的教学过程。3、掌握基本的数学解题思想。4、掌握培养学生数学解题能力的方法。例子

你能看到，解题的本质是在驾驭知识，是知识学习的高级阶段.第八章数学解题教学第一节数学解题教学的作用123学生的需要教师的需要解题教学的功能CONTENT节目录8.1.1学生的需要1.它能使学生加深并巩固所学基础知识以及基本技能；2.它是教师对学生初步运用所学知识和进行独立作业的检查，是实施个别指导的必要方式；3.它能促成学生综合运用知识和技能的数学实践活动，借以提高对基本问题目标谋求转化的数学思维能力，以及获得可能的思维方法创新；4.它在当今社会的实用性价值已经是不可回避或替代的事实，甚至促使人们试图探索数学对人成长的影响.从学生学习的角度来看：8.1.2教师的需要1.作为学生数学学习的指导者，教师不仅要组织好学生共同完成数学课本上的知识学习、进行必要的技能训练，而且还要能正确熟练地解答学生在数学习题训练中产生的困难，给予他们有效的指导和个别化帮助.2.清楚数学习题的功能和结构，根据教学的具体需要合理地选配习题.3.不仅要熟悉解答中学数学习题的各种技能和技巧（创新），还要掌握解题中的数学思想方法和策略.4.编制具有一定适应性水平的命题和评价，以期与社会需求做出适应性对接.从教师教学的角度来看：8.1.3解题教学的功能1.深化教学内容，促进和考量师生数学思维能力的发展.2.考量数学教师专业水平的优劣，催化数学名师的成长.

作为评价手段。通过解题可以评价教学的效果和水平.虽然对教学效果和水平的评价可以选择其它形式，但目前仍是以解题为主要的评价手段.目前，我国中学数学评价（含日常测试、中考、高考）以考察学生知识水平为主，同时结合考察能力水平。而自主招生考试和各类数学竞赛则以考察能力为主。根据解答情况做出评价，这是对数学解题教学评价功能的一个重要应用.实际上，对学生的评价可间接地表示对教师水平做出的评价。第八章数学解题教学第二节中学数学问题的结构与分类12数学问题及解决中学数学问题及结构CONTENT节目录8.2.1数学问题及解决

在第六届国际数学教育大会上，“问题解决、模型化和应用”课题组的报告中指出：“一个（数学）问题是一个对人具有智力挑战特征的，没有现成的直接解法、程序或算法的未解决的问题情境.”对于数学问题的含义我们可以从两个方面来认识：8.2.1数学问题及解决

一方面，我们可以把问题看成一个系统.

如果对某个人来说，一个系统的全部元素、元素的性质和元素间的关系，都是他所知道的，那么这个系统对于他来说就是稳定系统.如果这个系统中至少有一个元素、性质或关系是他所不知的，那么这个系统对他来说就是问题系统.如果这个问题系统的元素、性质和关系都是有关数学的，那么它就是一个数学问题.

8.2.1数学问题及解决

另一方面，当实际问题转化成数学问题后，都抽去了对象的物质性，变成了抽象的形式，即数学问题的特征是形式化.

例如著名的“哥尼斯堡七桥”问题，当欧拉把它抽象成“一笔画”问题时，它就被形式化了，从而变成了一个数学问题.数学问题形式化后，只保留了数学所要研究的本质属性，这样就有利于数学概念、命题的形成，为研究数学和学习数学提供了便利，更加有利于学生理解和认识数学知识.8.2.1数学问题及解决第一类：非常规问题（数学建模问题），它反映非数学领域（或称现实特征）的问题情境，也包含一定数学概念、规则和结果，目标是建立起符合其规律性的数学模型。第二类：纯粹数学问题，是建立在纯数学领域里的形式化的问题情境.数学问题的分类：8.2.1数学问题及解决

作为“问题解决”中的问题，主要指非常规问题，它包括了非传统的文字应用题以及智力游戏题等开放性问题.从认知心理学的角度看，所谓问题解决就是从已知状态到目标状态（或可能状态）的运动过程，它是一系列指向目标的心理操作.这一过程是将先前已获得的知识用于新的、不熟悉的情况的过程.8.2.1数学问题及解决1.接受性。学生愿意考虑并且具有考虑它们的知识和能力；2.障碍性。学生不能直接看出问题的解法和答案，必须经过思考和转化；3.探究性。学生不能按常规方法套用，需要尝试和探索研究.编选数学问题满足的条件：8.2.2中学数学问题及结构数学题组分部分条件。条件是指问题已知的和给定的东西，它们可以是数据、关系、图形，也可以是问题的状态。运算。运算是指对象间的关系和允许对它们施加的操作。目标。目标（或目标状态）是指在一个问题系统变成稳定系统以后，这个稳定系统的一种状态。第八章数学解题教学第三节中学数学问题的分类8.3中学数学问题及结构例题、口答题、板演题、课堂练习题、作业题、复习题、考试题、思考题、讨论题、综合题、竞赛题等；按照教学中的使用功能分类：按照问题的操作属性分类：计算题、证明题、作图题、应用题等；按照问题的解答方式分类：选择题、填空题、判断题、改错题，综合题等；8.3中学数学问题及结构在一个数学问题系统中，若把问题的条件、问题的结论、解题的方法以及解题的依据称为解题的基本要素，那么根据这四个要素中已知的多少，又可将数学问题分为以下的几种类型：若四个要素都是解题者已知的，我们称它为标准题；而把它们中的一个要素、两个要素、三个要素是解题者未知的，则分别称它们为训练题、探索题、开放题.8.3中学数学问题及结构1.标准题。标准题可以理解为“熟题”，比如，你学过的定理，公式，性质，解答过的题目。你对这些问题的条件、结论、方法和依据，基本上可以一一历数。习作这样一类的题目主要是达到熟悉和熟化之目的。属于知识层面水平。2.训练题。训练题的目的是为着实现关系的推演，形成内部的定向操作，属于标准问题的变异。属于理解层面水平。8.3中学数学问题及结构3.探索题。探索题较之训练题缺少了较多的条件，使内部运算关系变得隐晦或多样化，使得必须做出逻辑断定，或者分类讨论来实现。这种内部关系呈现出的复杂性，处理手段表现出的多样性，把数学思维活动的严谨、抽象、灵活性生动地展现出来，探索题可使数学思维能力得以提升。属于综合应用层面水平。4.开放题。开放题具有很大的开放空间，主要是结论的不确定性。解决这类问题就意味着创新。目前在基础教育阶段还比较少，至多是作为“专题性问题课堂”来使用的，用以提升学生、教师的研究兴趣和创新能力。这类题属于扩展，归类，甚至评价层面的水平，对能力有较高的要求。8.3中学数学问题及结构5.常规题和非常规题。对于标准题和训练题，它们不存在或仅有一个未知要素，具有定向的目标和常规的解题方法，我们称其为“常规题”；探索题和开放题，未知要素较多，通常不具有定向的目标和明确的解题方法，我们称之为“非常规题”.另外，按照题目条件的完备与否或者结论确定与否，还有把问题分为封闭性题和开放题的说法.现行课本中的习题绝大多数是封闭题，开放题是在“问题解决”思潮中出现的.不管怎样，开放题的解决对数学能力有较高的要求，能表现解答者较高的数学思维水平。谢谢!主讲教师：第八章数学解题教学第八章数学解题教学第四节解题认知过程及解题教学基本要求123数学解题的认知过程及解题思维模式数学解题教学的基本要求数学解题的目标转换与路径探求（实例）CONTENT节目录8.4.1数学解题的认知过程及解题思维模式1.解题观点

从教育心理学的观点看，解题过程就是以思维为主导、以题目目标为定向的高级心理活动过程.

实践告诉我们，解题过程是知识的运用过程，是解题者（个人）面向对象的数学化过程，包括对其形式化、表格化、和图形化，进而纳入到一个特定的模式化系统中来，确认系统内部所满足的整体属性和局部属性。

在此基础上确认个别对象在系统中的身份，位置、属性，借以实现它与其它对象的关联，使解题目标明确开来。可见，解题过程首先是一个数学化的过程，进而是主体知识的延伸，或称为扩展。2.解题理论8.4.1数学解题的认知过程及解题思维模式2.解题理论

理论是思想的进一步表述。由上可见，数学解题是实践的，它离不开数学知识本身，知识是它的重要依托。是否可以这样讲，解题是基于知识之上的再创造过程。否则，我们将无法解释为什么有些人已经懂得了那些知识，可是它们却不能有效地回答有关问题了。假若我们可以认同这个观点，那么，解题理论将可以上升为一种学说，即“基于知识之上的数学再创造”的实践学说。由此，作为一种学说，它必须能呈现出有益于实践的数学思维的可操作模式——解题思维模式。8.4.1数学解题的认知过程及解题思维模式3.解题思维模式（四进程）①模式断定。审题，准确地认清题目条件和目标及其“环境”状态。②目标定位。题目的目标是什么，是否考虑转换成更加适宜的新目标？③路径探求。分析题目的条件及各种量之间的关系，探求达到目标的途径。④技术实现。从已知条件出发，采用恰当的技术方法，对探求路径给予落实。8.4.2数学解题教学的基本要求（1）思维严谨，具有自我判断能力。（2）能迅速确定目标、进程，尤其是模式断定具有举足轻重的作用。（3）能用数学语言准确地表达自己的思维活动过程，用数学语言达成自我适应的表述。（4）能合理、准确的进行运算，力求计算正确，作图清晰，表述规范.（5）养成解题后的反思习惯。8.4.3数学解题的目标转换与路径探求（实例）8.4.3数学解题的目标转换与路径探求（实例）8.4.3数学解题的目标转换与路径探求（实例）8.4.3数学解题的目标转换与路径探求（实例）8.4.3数学解题的目标转换与路径探求（实例）8.4.3数学解题的目标转换与路径探求（实例）8.4.3数学解题的目标转换与路径探求（实例）8.4.3数学解题的目标转换与路径探求（实例）第八章数学解题教学第五节培养解题能力的途径和数学解题思想12培养解题能力的基本途径常用的数学解题思想CONTENT节目录8.5.1培养解题能力的基本途径1.培养学生认真审题的习惯，提高审题能力。

数学问题一般包括已知条件和需要解决的问题两部分，审题就是要求学生对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的情况进行分析研究.具体地说，就是要分清题目中哪些是已知，哪些是未知，涉及到哪些数学基本知识点（概念、术语、符号等），进而对系统做出模式断定。对于复杂的综合题，还要注意观察可能的数形特点.8.5.1培养解题能力的基本途径2.引导学生发现规律，寻求解题途径

数学问题中已知条件和需要解决的问题之间有内在的逻辑联系和必然的因果关系，解数学题的过程，就是灵活运用所学知识，去揭示这种联系和关系的过程。揭示了这种逻辑联系也就找到了由条件到结果的途径.寻求解题途径的方法常有顺推法，逆推法，等价转化，特殊化，一般化，归纳，类比等等。解题时运用这些特有方法寻找解题途径是否奏效，关键在于灵活运用和大胆试探.8.5.1培养解题能力的基本途径3.培养学生在解题后进行反思的习惯。

待解决问题之后，再回过头来对自己的解题活动加以回顾与探讨、分析与研究，是非常必要的一个环节.这是数学解题过程的最后阶段，也是对提高学生解题能力最有意义的阶段.学生通过对解题的结果和解法进行细致分析，通过对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括，从解题中抽出数学的基本思想和基本方法加以概括，并将它们运用到新的问题中去.8.5.1培养解题能力的基本途径4.合理地控制学生的解题活动

学生的解题活动最能影响他们的思维发展，要使数学解题活动在发展学生思维方面取得最佳效果，还必须合理地控制学生的解题活动，即要求在教师指导下，由学生独立地进行探索解题.

要合理地控制学生的解题活动，就是要创设情境、启迪思维、指明方向，引导学生主动、独立地活动；向学生提供功能特征显著，又能使他们充分认识其功能作用的数学问题.可见，这是不同于“知识教学”的高层活动。8.5.2常用的数学解题思想1.转化思想

在数学解题教学中，我们常常将困难问题转化为容易问题，陌生问题转化为熟悉问题，这就是转化思想，又称作化归思想．它是解决新问题、获得新知识的重要思想，其他许多重要的数学思想，例如数形结合思想、分类讨论思想、方程与函数思想、整体思想等均体现了化归过程，因此转化思想是数学思想的核心和精髓，是数学思想的灵魂．在课标及新教材中蕴涵转化思想的知识点极多，教学中要十分重视对转化思想的渗透和运用，通过不断地渗透、不断地积累，让学生逐渐内化为自己的经验，形成解决问题的自觉意识．8.5.2常用的数学解题思想2.函数思想

函数思想是指变量与变量的一种对应思想，或者说是一个集合到一个集合的映射思想.数学中常常将某一变量看作另一变量的函数，反过来，把问题中复杂的解析式当作单一字母处理，这就是变量代换。函数思想的核心就是力图把事物之间的关系化作特定函数关系，借助于函数性质解决问题。8.5.2常用的数学解题思想3.方程思想

人们通过长期解决问题的实践，不但对方程的概念、同解方程的原理，解方程的方法有了深刻的认识，而且认识到方程是已知量与未知量构成的矛盾统一体，它是从已知探索未知的桥梁。从分析问题中的数量关系入手，抓住等量关系，运用数学形式语言将相等关系转化为未知量的限制条件，再通过解方程使问题获解的思维方法，称为方程思想.它是笛卡尔首先总结出来的，是解决大量数学问题的导航器，在代数、几何乃至数学各个分支学科中都有广泛的应用.方程思想是函数思想的一种定值变形。8.5.2常用的数学解题思想4.