考研数学二模拟414

考研数学二模拟414

一、选择题

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.下列反常积分收敛的是_____.

正确答案：B

limx•——/==1--/K

［解析］因为l/且。=121,所以J°N衣下1发散.

].6+1_]Vx+11

limx•-----=1----r"

因为i1+户且Q=1W1,所以Jl1+"发散；

11^-dLr=一—ln3elim(—Jln3e)=+8

对任意的£>0,J，13由《F3得

1ln2x.

o~发散.

选B.

lim，"=2

2.设f(x)连续，且一】(1一1》,则下列结论正确的是.

人穴1)是£&)的极大值

8.爪1)是仪制的极小值

C.(1,f(l))不是曲线y=f(x)的拐点

D.f(l)不是f(x)的极值,但(1,f(D)是曲线y二f(x)的拐点

正确答案：B

］・f(工)_9

［解析］因为黑1包一一,所以由极限的保号性，存在3>0,当0<|xT

—(”)节>0

V5时，有包一1尸,即当x£(l-6,1)时，f'(x)VO；当x£(L1+6)

时，f'(x)>0.

根据极值的定义，f(l)为f(x)的极小值，选B.

3.设f(x)在［a,+8)内二阶可导，f(a)=A>0,ff(a)<0,f"(x)W0(x>

a),则f(x)在［a,+8)内.

A.无根

B.有两个根

C.有无穷多个根

D.有且仅有一个根

正确答案：D

/(z)=/(a)+/(a)(z-a)+^^(1—。下..、

［解析］2!，其中g介于a与xZ

间.

因为f(a)=A>0,‘』2人"=-8,所以f(x)在1，+8)上至少有一个

根.

由单调不增，所以当x>a时，

/(外4/(a)V0=/G)在1，+8)为单调减函数，所以根是唯一的，选D.

4.下列结论正确的是.

A.若f(x)可导且单调增加,则f'(x)>0

B.若f(x),g(x)皆可导且f'(x)>g'(x),则f(x)>g(x)

C.若f(x),g(x)皆可导且f(x)>g(x),则f'(x)>g'(x)

D.若f'(x)>0,则f(x)单调增加

正确答案：D

［解析］f(x)=x3为单调增加的函数，f'(x)=3x2,因为f'(0)=0,所以f'(x)2

0,A不对；

令f(x)=x,g(x)=2(x<l),显然f'(x)>g'(x),但f(x)Vg(x),B不

对；

令f(x)=2,g(x)=x(x<2),显然f(x)>g［x),但f'(x)<g'(x),C不

对；

，

由微分中值定理得f(x2)-f(x1)=f(€)(x2-x.),因为r(x)>0,所以X2-X1

与f(X2)-f(x)同号,即f(x)单调增加，选D.

fQ)=。［1—COS(R2+y2)］dzdy

5.设t>0,则当t-*0时，是t的n

阶无穷小量，则n为.

A.2

B.4

C.6

D.8

正确答案：C

/(/)=0[1—cos(x2+y)]dxdy

八内

2

="卜1—COST)dr

(1-cosr2)d(/)

［解析］

2z(l—COST2)

-6f-

因为6'

所以/⑺〜箕，即n=6,选C.

6.设y】(x),y2(x)是微分方程y〃lpy，lqy=0的解，则由y］(x),y2(x)能构成

方程通解的充分条件是_____.

»a

A.yiy-yiy2=0

，2,

B.y172-7172^0

C.yiy2+yiy2=0

D.yiy2+yiy2^0

正确答案：B

V(N)

［解析］y.(x),yz(x)能构成微分方程y〃+py，+qy=0通解的充分必要条件是工6

不是常数，即L"(公」嗣,选B.

100

=2,妣=2,。3=t

7.设A为三阶矩阵，31"J为非齐次线性方程组

1

AX=0

01的解，则

A.当tW2时，r(A)=l

B.当t#2时,r(A)=2

C.当t=2时，r(A)=l

D.当t=2时，r(A)=2.

正确答案：A

［解析］方法一：

1

2—t

2J为AX=0的两个线性无关的

当tW2时,

解，

从而3-r(A)22,r(A)Wl,又由AWO得r(A)21,即r(A)=1,选A.

方法二:

’100]111

8=22tAB=000

令1311J,由已知条件得,0oo],r(AB)=l,

当t¥2时，B为可逆矩阵，从而r(AB)=r［A)=l,选A.

8.设n阶矩阵A=(a”a2,•••,an),B=(B”也，…，63AB二(丫”y

2，Yn)，

令向量组向):a1,a2,…,an；(II)：81,P2,•••,3„；(III)：Y

uY2,…，Yn,若向量(III)线性相关,则.

A.向量组(I)与向量组(II)都线性相关

B.向量组(I)线性相关

C.向量组(H)线性相关

D.向量组(I)与(II)至少有一个线性相关

正确答案：D

［解析］当向量组(I)线性相关时,r(A)<n,由r(AB)WNA)得r(AB)Vn,即

向量组(III)线性相关；

同理，当向量组(H)线性相关时，r(B)<n,由r(A同Wr(当得r(AB)V

n,即向量组(III)线性相关,选D.

二、填空题

JT(x-y)2(Lrdy=

1.设D：(x2+yTW4(x2-y2),则以

正确答案：

x

T

解用由对称性酒(x—y)2dxdy=jj(x2+yz)dxdy»

D

x=rcos0,

y=厂42，则。=((〃，8)I>0<r<27^20),

令

ffrfrz7^35

jj(x2+y2)dxAy=doj(2x/cos28)“de

D

=4cos22Od0=2cos220d(20)

=2COS2tdt=-y.

于是

2.设t>0,Dt={(x,y)|0/x〈y,t<yWl},则

J廿处

lim--------；--------=.

正确答案:

y

“1-cosx.

IT匕空空此心——PUyf-------ax

［解析］由4LyJ°"得

1_cos&y

:一cos%也

lim?glimo工_____

L/-*072

1—cost1

7-lim—=--

4c-oF8,

3.

正确答案:

yln(x+y+

一yi+x+x2+c

［解析］

1「7—(21+1)

dx=

J+N+J?2.yi+x+x2

1r(2x+i)dx

=引J271+x+x2

y1+x+x2

1d(，++)T1

=引d(x2+x+l)

2，1+4+工

=+n+4)—+口+++C.

Ij/(N，y)―21+——3=2

m2

L)G_l>2+(y―2)2-1.

4.设z=f(x,y)连续，且z,则dz|

2)"•

正确答案：

2dx-dy

［解析］令P=，(］—1)2+6-2)2,由f(x,y)连续得f(l，2)=3,

lim/(力，3)-y—3=?

呼(工—l)2+(2>一'

由L2得f(x,y)-2x+y-f(1,2)=o(p),

即Az=f(x,y)-f(1,2)=2(x-1)-(y-2)+o*p),

故dz|(i,2)=2dx-dy.

sin3x

dx=

5Josinx+cosx

正确答案：

7t-I

sin3x

dx，则

osiaz+cosx

7s*dz

osinx+cosx

cos/4t

(一d/)=cosXdz,

Josinx+cosx

［解析］令,fsin£+cosZ

于是

33

21=/sinx+cosXj^

Josiar+cosx

22

==Jo(sinx-sinxcosx+cosx)dj;=-2----2-

/=匹=1

故4-

kk

最=2

IJ为方

6.设A为三阶实对称矩阵,1J为方程组AX=O的解,

程组(2E-A)X=0的一个解,|E+A|=O,贝I」A二.

正确答案：

-105

1

404

6

50—1

k

-k，金2

1J为A的特征向量，其对应的特征值分别为入

［解析］显然1

尸0,入2=2,因为A为实对称阵，所以=公一2々+1=0,解得k=［,

11

-1，&2

于是1

又因为|E+A|=0,所以入3=7为A的特征值，令人3二T对应的特征向量为

了1

-1

3=0,为一+工3=0，或0

由3=0,即为+2X2+*3=。，得1

11-11

P=一120

令111,由

000-105

kAP=020，得A=1404

0

k00-r50-1

三、解答题

共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

I.(2+COSH)'-3'

lim---------------------.

1.计算极限…(1-/l-x2)ln(l+x)

正确答案：

1-〜—

［解］当xf0时，2,则

lim(2+cosz)“一3”_〔而(2+COSN尸一3,

一。(1―yi-x2)in(i+x)―^

2

/2+c。-；

=2lim(2+cosy，—3*=2而3,.1___

3

x-0XLOX

a")_］xln(l+^£Zll)

=2lim--------j-------=2lim------------：-----------

x-0xx-0x

cos——1

=2lim-----------=—

x-ox3

2.设u=f(x+y,x-y,z)由"一确定z为x,y的函数，又f连续

du

可偏导，p可导，且p(y+z)-p(x+z)T#0,求

正确答案：

r大.

Z=p(£)ck

［解］将u=f(x+y,x-y,z)及两边对x求偏导得

宾=/+x整

<

察=PG+Z).一>(Z+―(1+刍，

dz_______-(-+%)_______,

解得p(y+z)-p(x+z)—1'

du_尸上尸______»("+」月

故而一八J'3'+£)—pGr+N)—1

3.设f(x)在[0,2]上二阶可导，且f〃(x)V0,f(0)=1,f(2)=-b

f(0)=f(2)=l.证明：

2<£/(x)dx<3.

正确答案：

[解]首先f〃(x)V0,所以f(x)在(0,2)内不可能取到最小值,从而

f(0)=f⑵=1为最小值，故f(x)21(x£[0,2]),从而1。八“)也3°.

f(x)=八0)+/(0丘+乌沁2，0VE<],

乙！

乂f(z)=f(2)+//(2)(l-2)+与p(z-2)2,x<7f<2,

因为f〃(x)V0,所以有

/(x)</(O)+/(O)x=1+x,

/(x)&y(2)4-/(2)(x-2)=1-(x-2)=3-x,

所以

[2fC^dx=f1/(^)dx+f2/(x)dx<(1+x)dx+(3-x)dx=3.

JftA.101

设抛物线yr?与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S,其中

一条切线与抛物线相切于点A(a,a2)(a>0).

4.求S=S(a)的表达式；

正确答案：

［解］设另一个切点为(4,云)，则抛物线y=x之的两条切线分别为

2:=

L［，'=2ar—a♦L2y2xox—曷.

___1_=a+±o

因为LLL2,所以为―一元，两条切线Li,L2的交点为为二一！-'

yi=ax0,L),L2及抛物线y二x?所围成的面积为

22

S(a)=p[x—(2xox-x?)]dx+j[z-(2ax—/)]也

5.当a取何值时，面积S(a)最小？

正确答案：

制'(Q).、(a+白■。得a=/

因为当“*(°'彳)时，S,(a)<0,

a>—

当2时，s'(a)>0,

=J_

所以当“一5时，面积S(a)取最小值.

6.计算噂十"十'，其中D={(x,y)|x2+y2Wl,x20,y20}.

正确答案：

[解]

0后书公打可：时:，府“

D

=孑j；Tlr7d(r2)r=xf£7m也,

令后=",则

JJ：七寻3="J；*高du=-1(右)

=-f(rT7L-£r¥7dw)=T-4

7.设曲线尸y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与x轴相切，P(x,y)为曲

线上任一点，该点与原点之间的弧长为L,点P处的切线与y轴交于点A,点

A,P之间的距离为必又满足x(3L+2)=2(x+l)k,求曲线y=y(x).

正确答案：

［解］由已知条件得y(0)=0,y'(0)=0,

Z)=\/1+y2dr；

Jo

P(x,y)处的切线为Y-y=y'(X-x),

令X=0,则Y=y-xy,,A的坐标为(0,y-xy'),

i2=+/T=x+7，

由*(3中2)=2G+1北得3£许弘+2=2(工+1)际不

两边对x求导整理得l+y，2=2(x+l)y，y\

*〃=即止…1+〃=2(4+1”乎，

令y=p,)dx,代入得五

2A-dp=-^2-,

变量分离得1+〃工+1

2-2_

积分得In(1+p)ln(x+1)+lnCt,即l+pCi(x+1),

由初始条件得cn,即立=士右，从而'=士Q'+G,

2__4_3

再由y(0)=0得Cz=0,故所求的曲线为"=勺”.

设曲线y二y(x)(x>0)是微分方程2y〃+y'-y=(4-6*)屋的一个特解，此曲线经过

原点且在原点处的切线平行于x轴.

8.求曲线尸y(x)的表达式；

正确答案：

［解］微分方程的特征方程为

2人,+入-1=0,

2

特征值为XF-1,2,则微分方程2y〃+y'-y=0的通解为

y=CieJ+Ge号.

令非齐次线性微分方程2y〃+y'-y=(4-6x)屋的特解为y。(x)=x(ax-b)e",

代入原方程得a=l,b=0,故原方程的特解为孔⑸寸屋，原方程的通解为

y=+Qe^+1%-3，

由初始条件y(0)=y‘(0)=0得Ci=C2W),故尸x%,.

9.求曲线尸y(x)到x轴的最大距离；

正确答案：

［解］曲线y二*2晨到x轴的距离为d=x2e-\

令d*=2xe'x-x2e-x=x(2-x)ex=0,得x=2.

当xe(0,2)时，d5>0；

当x>2时，d,<0,

则x=2为d=x2屋的最大值点，最大距离为〃以⑵"="c2・

"一,v(x)dx.

10.计算积分J。

正确答案:

•+oo

?(R)dx=xdz=2.

[解]o

设非齐次线性方程组

产++6+/=—1,

{4xi+3x2+5X3—工4=—1,

[OZ]+2+3x3+&r4=1

有三个线性无关解aI,a2,a3.

11.证明系数矩阵的秩r(A)=2；

正确答案：

[解]令r(A)=r,因为系数矩阵至少有两行不成比例，所以r(A)22.a.-a2,

a「Q3为对应的齐次线性方程组的两个解.

令一(a「a2)+k2(a「a3)=0,即(ki+k2)arkia2-k2a3=0.

因为a”a2,Q3线性无关，所以L=k2=0,即a「Q2,线性无关,

于是对应的齐次线性方程组的基础解系至少含两个线性无关解向量，即4=22

或rW2,故r(A)=2.

12.求常数a,b的值及通解.

正