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微专题4极值点偏移问题

01.多元视角·拓展教材视角一对称构造函数法例1已知函数f(x)＝ex－x

ln

x＋x2－ax.(1)证明：若a≤e＋1，则f(x)≥0；(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1.

视角二比值代换法例2(2026·石家庄模拟)已知函数f(x)＝ex－ax2(a∈R)．当x>0时，若函数f(x)有2个不同的零点x1，x2.(1)求a的取值范围；(2)证明：x1＋x2>4.

综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)；当0<a<2时，函数f(x)的单调递减区间为(a，2)，单调递增区间为(0，a)，(2，＋∞)；当a＝2时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a>2时，函数f(x)的单调递减区间为(2，a)，单调递增区间为(0，2)，(a，＋∞)．

02.微专题41．(13分)已知函数f(x)＝xe－x.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2.

(2)证明：由(1)可知，当f(x1)＝f(x2)，x1≠x2，可设x1<1<x2，欲证x1＋x2>2，即证x2>2－x1，因为2－x1，x2∈(1，＋∞)，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故只需证f(x2)<f(2－x1)，又因为f(x1)＝f(x2)，故也即证f(x1)<f(2－x1)，构造函数H(x)＝f(x)－f(2－x)，x∈(－∞，1]，则H′(x)＝(x－1)(e2x-2－1)e－x，因为x≤1，2x－2≤0，e2x-2－1≤0，所以H′(x)≥0，H(x)在x∈(－∞，1]上单调递增，所以H(x)<H(1)＝0，即证得f(x1)<f(2－x1)对x∈(－∞，1]恒成立，故原不等式x1＋x2>2亦成立．2．(15分)(2026·昆明模拟)已知函数f(x)＝ln

x－ax－1(a∈R)．(1)若f(x)存在两个零点，求实数a的取值范围；(2)设函数g(x)＝xf(x)，若g(x)有两个极值点x1，x2，证明：x1x2>e2.

3．(15分)(2026·潍坊模拟)已知函数f(x)＝ex＋x2，g(x)＝x

ln

x＋(a＋1)x.(1)若f(x)≥g(x)，求a的取值范围；(2)若f(

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