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文档简介

第五节利用导数研究不等式恒(能)成立问题01.多元视角·拓展教材

学霸笔记：分离参数法是将含参不等式中的参数通过恒等变形，使参数与其变量分离的一种方法．一般地，若a＞f(x)对x∈D恒成立，则只需a＞f(x)max；若a＜f(x)对x∈D恒成立，则只需a＜f(x)min，若存在x0∈D，使a＞f(x0)成立，则只需a＞f(x)min；若存在x0∈D，使a＜f(x0)成立，则只需a＜f(x)max，由此构造不等式，求参数的范围．

题型2最值法解决不等式恒(能)成立问题例2已知函数f(x)＝ln

x－ax＋1，g(x)＝f(x)·(ex－bx－1)．(1)若存在x使得f(x)>0成立，求a的取值范围；(2)当a≥1时，g(x)≤0在定义域内恒成立，求b的取值范围．

②当b>1时，由h′(x)>0，解得x>ln

b，h(x)在x∈(ln

b，＋∞)单调递增，由h′(x)<0，解得x<ln

b，h(x)在x∈(0，ln

b)单调递减，所以h(x)min＝h(ln

b)<h(0)＝0，即h(x)≥0在x∈(0，＋∞)不能恒成立，舍去．综上所述，b的取值范围为(－∞，1].学霸笔记：在不等式恒成立问题中，如果不能分离参数或分离参数后的函数的最值比较难求，可以把含参不等式整理成f(x，a)＞(＜)0或f(x，a)≥(≤)0的形式，然后从研究函数的性质入手，通过讨论函数的单调性和极值，直接用参数表达函数的最值，然后根据题意，建立关于参数的不等式，解不等式即得参数的取值范围．(1)如果f(x，a)有最小值g(a)，则①f(x，a)＞0恒成立⇔g(a)＞0；②f(x，a)＜0有解⇔g(a)＜0.(2)如果f(x，a)有最大值g(a)，则①f(x，a)＜0恒成立⇔g(a)＜0；②f(x，a)＞0有解⇔g(a)＞0.跟踪训练已知函数f(x)＝ln

x－ax2＋(2－a)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≤0对x>0恒成立，求实数a的取值范围．

02.课时作业19

解析：(1)由题设f(x)＝ex－bx，则f′(x)＝ex－b，且x∈(0，＋∞)，若b≤0，则f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值；若0<b≤1，则ex>1≥b，即f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值；若b>1，则当0<x<ln

b时，f′(x)<0，当x>ln

b时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，ln

b)上单调递减，在(ln

b，＋∞)上单调递增，此时f(x)的极小值为f(ln

b)＝b(1－ln

b)，无极大值．

4.(17分)(2026·商丘模拟)已知定义域为R的函数f(x)的导函数f′(x)＝3ax2＋2cosx－m，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x.(1)求m的值；(2)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(3)若f(x)≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．解析：(1)由题意知f′(x)＝3ax2＋2cosx

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