2026新高二数学暑假专题：统计（解析版）

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暑假作业18统计

【知识点1统计基本概念与调查方式】

1.全面调查（普查）：对总体中每一个个体都进行调查的方式。

2.抽样调查：从总体中抽取部分个体组成样本，用样本推断总体的调查方式。

3.基础概念

总体：调查对象的全体。

个体：组成总体的每一个调查对象。

样本：从总体中抽取的一部分个体。

样本容量：样本中包含的个体数量（无单位）。

【注意】(1)区分调查对象，避免混淆总体、个体；(2)样本容量只是数字，不能带单位。

【知识点2简单随机抽样】

1.概念：从总体中逐个不放回地抽取n个个体作为样本，每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等.

简单随机抽样分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，除非特殊声明，本章指不放回简单随机抽样.

2．分类

放回简单随机抽样不放回简单随机抽样

一般地，设一个总体含有（为正整数）个个体，从中逐个抽取个个体作

为样本���(1≤�<�)

如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内

如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的

未进入样本的各个个体被抽到的概率都相

各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽

等．把这样的抽样方法叫做不放回简单随机

样方法叫做放回简单随机抽样

抽样

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简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样（除非特

殊说明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样）．通过简单随机抽样获得的样

本称为简单随机样本.

3．常用方法

（1）抽签法：先把总体中的（为正整数）个个体编号，并把编号依次分别写在形状、大小相同的签上

（签可以是纸条、卡片或小球�等）�，再将这些号签放在同一个不透明的箱子里搅拌均匀_，每次随机地从中

抽取一个，然后将箱中余下的号签搅拌均匀，再进行下一次抽取．如此下去，直到抽到预先设定的样本容

量．抽签法的具体步骤：①给总体中的每个个体编号；②抽签．

（2）随机数法：先把总体中的个个体依次编码为、、、、，然后利用工具（转盘或摸球、随

机数表、科学计算器或计算机）�产生、、、、01中2的⋯随机�数−，1产生的随机数是几（号码重复，则

舍去），就选第几号个体，直至选到预0先设1定2的样⋯本容�量−．1

【注意】抽签法务必保证“搅拌均匀”；随机数法读数时注意方向（可向左、向右、向上、向下）、跳过

重复和超出范围的数字.

【知识点3分层随机抽样】

1.概念：按一个或多个变量把总体划分成若干个__子总体___，每个个体___属于且仅属于___一个子总体，

在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这种抽样

方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为__层____，分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成

__比例____，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．

2.抽样比例：各层抽取比例=样本容量/总体容量.

【注意】分层定比:各层样本数与该层总体数的比值相等，即分层抽样中，每层抽样概率与整体抽样概率相

等。

3.总体平均数计算（以两层为例）：设第1层和第2层个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，

样本平均数分别为和，则总样本平均数为.

��

12�+�1�+�2

【注意】(1)每层抽�样是�按比例分配；(2)每层�内=部可�继续+使用�简单随机抽样。

（2）抽样辨析：总体有明显分层分层抽样；总体均匀、数量少简单随机抽样。

【知识点4总体取值规律的估计（统→计图表）】→

1.相关公式

组距：每组区间的长度

频率频数样本容量

=÷

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频率：频率分布直方图纵轴含义

组距

每组频率频率组距

组距

=×

所有矩形面积之和（总频率为1）

2.频率分布表与频=率1分布直方图的制作步骤

与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图．

第一步，求极差

极差为一组数据中_最大值与最小值___的差．

第二步，决定组距与组数

第三步，将数据分组

通常对组内数据取_左闭右开___区间，最后一组数据取闭区间．

第四步，列频率分布表

计算各小组的频率，例如第一小组的频率是第一组频数，作出频率分布表，

样本容量

第五步，画频率分布直方图

画图时，以横轴表示分组，纵轴(小长方形的高度)表示频率__．

组距

3.频率分布直方图的特点：各个小长方形的_面积____表示相应各组的频率；各小长方形的面积的总和等

于.

4.1从频率分布直方图中估计数字特征

众数：最高矩形底边中点的横坐标.

中位数：使直方图左、右两边面积相等的分界线与横轴交点的横坐标.

平均数：每个小矩形的面积×小矩形底边中点的横坐标之和.

直方图偏态规律：若直方图右侧“拖尾”，则平均数>中位数；若左侧“拖尾”，则平均数<中位数.

【注意】：估计中位数时必须保证两侧面积之和恰好为0.5，不可直接取最高矩形中点.

5.其他常用统计图

条形图：直观展示各组频数大小

折线图：反映数据变化趋势

扇形图：展示各组频率或占比

【注意】条形图与直方图的区别——条形图用于离散数据，直方图用于连续数据分组；扇形图中各部

分比例之和为100%.

【知识点5总体百分位数】

1.百分位数（p%分位数）的定义：一般地，一组数据的p%（）分位数是这样一个值，它使得这

3/57�∈0,100

组数据中至少有________的数据不大于该值，且至少有________的数据不小于该值．

2.可以通过下面的步�骤%计算一组个数据的第百分位数:100−�%

第1步，按____从小到大______�排列原始数据�.

第2步，计算_______

第3步，若不�是=整数�×，�而%大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据;若是整数，则第百分位数为

第项与第�项数据的_平均�数______�����

3.�四分位数�+：1常用的分位数有第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数，这三个分位数把一组由

小到大排列后的数据分成__四等______份，因此称为四分位数．其中第__25______百分位数也称为第一个

四分位数或下四分位数，第__75______百分位数也称为第三个四分位数或上四分位数．

【知识点6总体集中趋势的估计】

1.众数、中位数、平均数

数字特征定义与求法优点与缺点

众数通常用于描述变量的中心位置，但显然它对其他

众数一组数据中出现次数最多的数

数据信息的忽视使得其无法客观地反映总体特征

把一组数据按大小顺序排列，

中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几

处在______中间_______位置

中位数个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极

的一个数据（或两个数据的平

端值的不敏感有时也会成为缺点

均数）

如果有个数，，，…，平均数与每一个样本数据有关，可以反映样本数据全

平均数，那么�这个�1数�的2平�均3数体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，

��___�___________使平均数在估计总体时可靠性降低

�1+�2+⋯+��

�=�

2.算术平均数：

�1+�2+⋯+��

�=�

加权平均数：（为频数）

�1�1+�2�2+⋯+����

�=�1+�2+⋯+���

3.数字特征的比较

平均数、中位数、众数从不同角度描述数据的集中趋势.

平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广；

中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；

众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据。

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4.频率分布直方图中估计数字特征

众数：最高矩形底边中点的横坐标.

中位数：使直方图左、右两边面积相等的分界线与横轴交点的横坐标.

平均数：每个小矩形的面积×小矩形底边中点的横坐标之和.

直方图偏态规律：若直方图右侧“拖尾”，则平均数>中位数；若左侧“拖尾”，则平均数<中位数.

【注意】：估计中位数时必须保证两侧面积之和恰好为0.5，不可直接取最高矩形中点.

【知识点7总体离散程度的估计】

1.极差：是数据中最大值和最小值的___差_____，它计算简单，但没有充分利用其他数据．

2.方差的定义：样本数据到平均数的平均距离的平方。如果的平均数为，

12�

则方差�,�,⋯,��

21222

�=�[(�1−�)+(�2−�)+⋯+(��−�)]

3.方差的性质：如果a，b为常数，那么的方差为________．

22

4.标准差：（方差的算术平方根�）�1+�,��2+�,⋯,���+���

2

由于方差的单�=位是�原始数据单位的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与原始数据相同的单

位．为此，计算方差的算术平方根，得，称之为标准差．

222

12�

2�−�+�−�+⋅⋅⋅+�−�

�=�=�

4.统计意义

（1）方差:方差用于描述一组数据的离散程度。较大的方差表示数据点与平均值之间的差异较大，数据较

为分散;较小的方差表示数据点较为集中。方差为0时，所有样本数据相等。方差在统计学中常用于评估数

据的稳定性、预测误差等。

（2）标准差:标准差是方差的平方根，常用于实际数据分析中。它表示数据点与平均值之间的平均距离。

标准差越小，表示数据越稳定，波动越小;反之，标准差越大，表示数据波动越大稳定性较差。

【题型1统计基本概念与调查方式辨析】

1．（24-25高一下·天津河西·期末）下列调查方式合适的是（）

A．要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式

B．要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式

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C．调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式

D．调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式

【答案】C

【分析】根据全面调查与抽样调查的定义逐项判断即可.

【详解】对于A，了解一批节能灯的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查，

而不能将整批节能灯全部用于实验，故A错误；

对于B，要调查某个班级同学的身高，采用全面调查的方式，故B错误；

对于C，调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式，故C正确；

对于D，调查全市高中生每天的睡眠时间，采用抽样调查的方式，故D错误.

故选：C.

2．（25-26高一上·重庆潼南·开学考试）下列调查中，适合采用抽样调查的是（）

A．调查重庆市鲁能巴蜀中学九年级（1）班50名同学的视力情况

B．重庆西站对乘坐高铁的旅客进行安检

C．为保证飞机飞行安全，工人对其零部件进行检查

D．调查重庆市中学生的周末作业完成时间

【答案】D

【分析】根据抽样调查的特点，它适用于总体较大、全面调查不经济或不现实的情况，分析选项即可.

【详解】对于A，调查重庆市鲁能巴蜀中学九年级（1）班50名同学的视力情况：总体较小（仅50人），

容易进行全面调查，不适合抽样调查，

对于B，重庆西站对乘坐高铁的旅客进行安检：安检涉及安全风险，必须对每位旅客进行全面检查，不适合

抽样调查，

对于C，为保证飞机飞行安全，工人对其零部件进行检查：飞机零部件检查要求全面性，任何遗漏都可能造

成安全事件，不适合抽样调查，

对于D，调查重庆市中学生的周末作业完成时间：调查对象是全市范围中学生，总体较大，适合抽样调查，

因此，适合采用抽样调查的是D，

故选：D.

3．（25-26高一下·吉林四平·阶段检测）下列调查中，适合用普查的是（）

A．调查全国居民的食品消费结构

B．调查一批袋装牛奶的细菌数是否超标

C．调查某款新能源汽车电池的使用寿命

D．检查某载人飞船零部件的质量情况

【答案】D

【详解】A选项，全国居民数量庞大，全面调查难度大､成本高，适合抽样调查，A错误；

B选项，调查一批袋装牛奶的细菌数具有破坏性，适合抽样调查，B错误；

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C选项，调查电池使用寿命会对电池造成损坏，适合抽样调查，C错误；

D选项，载人飞船零部件的质量关乎飞行安全，必须确保每个零部件都合格，适合用普查，D正确.

4．（2026高三·全国·专题练习）为了解某市参加升学考试的学生的数学成绩，从参加考试的学生中随机抽取

1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（）

A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生

B．样本指的是抽取的1000名学生的数学成绩

C．样本量是1000

D．个体指的是抽取的1000名学生中的每一名学生

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用总体、样本的定义直接判断作答.

【详解】对于A，总体指的是该市参加升学考试的全体学生或他们的数学成绩，故A正确；

对于B，样本指的是抽取的1000名学生或他们的数学成绩，故B正确；

对于C，样本量是1000，故C正确；

对于D，个体指的是全体学生或他们的数学成绩，故D错误．

故选：D.

5．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）2020年3月疫情期间，某市质检部门为了检查某批(1000个）口罩的

质量，决定抽查其中的2%．在这个问题中下列说法正确的个数是（）

①总体是指这1000个口罩；②个体是每个口罩；

③样本是按2%的比例抽取的20个口罩；④样本容量为20

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念判断.

【详解】总体是研究对象的全体.这里是“1000个口罩的质量”，而非“1000个口罩”，所以①错误；

个体是总体中的单个单位.即“每个口罩的质量”，而非“每个口罩”，所以②错误；

样本是从总体中抽取的部分个体，即“按2%比例抽取的20个口罩的质量”，而非“20个口罩”，所以③错误；

样本容量是样本中个体的数量，抽取了1000×2%=20，所以样本容量为20，④正确.

故选：A.

6．（2025高三·全国·专题练习）（多选）为了解某中学2500名学生家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，从

中随机调查400名家长，结果有380名家长持赞成态度，则下列说法不正确的是（）

A．调查方式是全面调查

B．该校只有380名家长持赞成态度

C．样本是400

D．该校约有95%的家长持赞成态度

【答案】ABC

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【分析】根据抽样调查、样本等基本概念对每个选项进行逐一判断即可.

【详解】对于A，由题意得调查方式是抽样调查，不是全面调查，故A错误；

对于B，400名家长中有380名家长持赞成态度，按照比例推算，全校2500名学生家长中约2375名家长

持赞成态度，故B错误；

对于C，样本是400名家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，样本容量是400，故C错误；

380

对于D，该校约有×100%＝95%的家长持赞成态度，故D正确.

400

故选：ABC.

【题型2简单随机抽样的理解与应用】

1．（25-26高一下·全国·课后作业）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（）

A．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动

B．从20个零件中随机逐个抽取3个进行质量检验

C．一个儿童从玩具箱中的20件玩具中拿出一件自己喜欢的来玩，玩后放回再拿下一件，连续玩了5件

D．从无限多个个体中抽取50个个体作为样本

【答案】B

【分析】根据简单随机抽样的概念依次判断即可求解.

【详解】对于A，抽取个子最高的5名，不是随机抽取，不是简单随机抽样，故A不符合题意；

对于B，从有限总体中进行随机、不放回抽样，符合简单随机抽样的特征，故B符合题意；

对于C，不具有随机性，不是简单随机抽样，故C不符合题意；

对于D，总体个数是无限的，不是简单随机抽样，故D不符合题意.

故选：B．

2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法中正确的有（）

A．抽签法是简单随机抽样

B．随机数表法是简单随机抽样

C．简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限

D．简单随机抽样可以从总体中一次性抽出样本

【答案】ABC

【分析】由简单随机抽样的定义逐项判断即可.

【详解】抽签法是简单随机抽样，所以A正确；

随机数表法是简单随机抽样，所以B正确；

简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限，所以C正确；

简单随机抽样要求从总体中逐个抽出样本，所以D错误.

故选：ABC．

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3．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选题）下列抽样的方式属于简单随机抽样的是（）

A．从500个个体中一次性抽取50个作为样本

B．将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本

C．箱子共有100个零件，从中选出10个进行检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行检验后，

再把它放回箱子

D．福利彩票用摇奖机摇奖

【答案】BD

【分析】根据简单随机抽样的概念依次判断即可.

【详解】根据简单随机抽样的概念：从有限总体中进行随机、不放回抽样，

可知A不是逐个抽取，C不是不放回抽取，故不是简单随机抽样，BD是简单随机抽样．

故选：BD

4．（11-12高一·全国·课后作业）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（）

A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验

B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验

【答案】B

【分析】根据抽签法的适用条件，结合选项依次判断即可.

【详解】选项A，总体中的个体数较大，样本容量也较大，不适合用抽签法，故A不符合题意；

选项B，总体中的个体数较小，样本容量也较小，

且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了，可用抽签法，故B符合题意；

选项C，甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，

不能满足搅拌均匀的条件，不能用抽签法，故C不符合题意；

选项D，总体中的个体数较大，不适合用抽签法，故D不符合题意.

故选：B

5．（25-26高一下·北京·期末）要考察某种品牌的450颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验．利用

随机数表抽取种子时，先将450颗种子按001，002，，450进行编号，如果从随机数表第2行第4组（随

机数组中每5个数为一组）开始，自左向右自上至下读数，使用各个5位数组的前3位，则最先抽取的4

颗种子的编号是__，___，___，___．

（下面摘取了随机数表第1行至第4行）

4302192980277682691627783845727848339820

6145939073792422037221048870883460034636

6317158247129075030328814404229789561421

4237253183515469038512120640425132022983．

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【答案】203210346129

【详解】从随机数表第2行第4组（随机数组中每5个数为一组）开始，自左向右自上至下读数，

使用各个5位数组的前3位，可得：

第一个数字是203，符合题意；

第二个数字是210，也符合题意；

第三个数字是870，大于450，舍去；

第四个数字是346，符合题意；

第五个数字是346，重复，舍去；

第六个数字是631，大于450，舍去；

第七个数字是582，大于450，舍去；

第八个数字是129，符合题意．

最先抽取的4颗种子的编号为：203，210，346，129.

6．（25-26高三·全国·一轮复习）某中学举行“讲好航天故事”演讲比赛．现从报名的40位学生中利用下面的

随机数表抽取10位同学参加演讲比赛，将40位学生按01，02，…，40进行编号，假设从随机数表第1行

第3个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第7个号码所对应的学生编号为

________．

062743132636154709412512631763232616

804560111410957774246762428114572042

533237322707360751245179301423102118

219137263890014005232617

【答案】25

【详解】从随机数表第1行第3个数字2开始由左向右依次选取两个数字，去掉超过40和重复的号码，

选取的10个号码对应的学生编号依次为27，13，26，36，15，09，25，12，17，23，

其中第7个号码所对应的学生编号为25.

【题型3分层随机抽样计算与应用】

1.（25-26高一下·湖南衡阳·期中）“一尺一拳一寸间，科学用眼护双眼”，为保护青少年视力，培养科学健康

的用眼习惯，某市疾控中心联合教育局开展“青少年视力健康监测与科学用眼宣传”．计划从全市三所高中（A

校2400人、B校1800人、C校1200人）的所有学生中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人

进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则A校应抽取的人数为（）

A．60B．90C．120D．150

【答案】C

【分析】根据分层随机抽样的比例分配原则求解即可.

【详解】因为A校2400人、B校1800人、C校1200人，

10/57

24004

所以A校人数在三所高中人数中占比为，

2400180012009

4

所以按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人时，A校应抽取的人数为270120.

9

2．（2026·河南开封·二模）某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型，需对采集的4000张图片进行人工标

注，图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，已知四类图片的数量之比为5:7:2:6，现

采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本对标注情况进行抽检，若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多

25张，则n（）

A．80B．100C．120D．160

【答案】B

77

【详解】已知四类图片的数量之比为5:7:2:6，则厨余垃圾图片占总图片数量的比例为，

572620

22

有害垃圾图片占总图片数量的比例为.

572620

7

因为采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，所以抽到的厨余垃圾图片数量为n，

20

2

抽到的有害垃圾图片数量为n.

20

72

由题意可得nn25，解得n100.

2020

3．（2026·重庆·一模）某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培

训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（）

A．6人B．16人C．22人D．28人

【答案】C

【分析】由抽样比即可计算求解.

44441

【详解】由题可得抽样比为.

3008001100220050

1

所以小学教师应抽取110022人.

50

故选：C.

4．（2026·湖南长沙·模拟预测）甲校有2000名学生，乙校有2400名学生，丙校有3000名学生，为统计三校

学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为74的样本，应在这三校分别抽取学生（）

A．20人，24人，30人B．30人，24人，20人

C．24人，30人，20人D．20人，30人，24人

【答案】A

10

【详解】因为2000:2400:300010:12:15，所以甲校应抽取7420，

101215

11/57

1215

乙校应抽取7424，丙校应抽取7430.

101215101215

5．（24-25高一上·江西·期末）为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分

学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、

女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（）

A．按性别分层随机抽样B．按学段分层随机抽样

C．抽签法D．随机数表法

【答案】B

【分析】由分层抽样的概念即可判断；

【详解】因为男、女生的阅读时间差异不大，而小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大

差异，故应按照学段分层随机抽样．

故选：B．

【题型4频率分布表与频率分布直方图】

1．（2025·新疆喀什·二模）（多选）防溺水安全教育不仅是为了防止学生在游泳时发生意外，更是为了提高

学生的安全意识和自我保护能力，为此某校组织了“防溺水安全知识”答题比赛，并对参赛的200名学生的成

绩进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间分别为50,60，60,70，70,80，80,90，

90,100，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（）

A．这200名参赛学生的成绩的中位数为76分

B．这200名参赛学生的成绩的平均值为76.5分

C．这200名参赛学生的成绩不低于80分的频率为0.03

D．这200名参赛学生的成绩在80,90之间的有40人

【答案】ABD

【分析】根据频率直方图中中位数的计算方法即可判断A；根据小矩形的面积乘以对应矩形中点的横坐标

之和即可求解平均数，即可判断B；求解80,100的频率即可判断C；根据频数的求解方法即可判断D.

【详解】对于A，设中位数为x，

12/57

所以0.005100.015100.05x700.5，解得x76，

所以这200名参赛学生的成绩的中位数为76分，故A正确；

对于B，0.00510550.01510650.0510750.0210850.01109576.5，

所以这200名参赛学生的成绩的平均值为76.5分，故B正确；

对于C，这200名参赛学生的成绩不低于80分的频率为0.02100.01100.3，故C错误；

对于D，因为0.021020040，所以这200名参赛学生的成绩在80,90之间的有40人，故D正确.

故选：ABD.

2．（25-26高一上·广西桂林·期末）为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级举办

数学文化知识竞赛活动，现从1000名参赛的学生成绩中随机抽取100个成绩进行统计得到频率分布直方图

如图所示．

(1)求a的值；

(2)以每组成绩的中点数值代表该组成绩，估计该校高一学生平均成绩；

(3)从80,90和90,100两组中用分层抽样的方法共抽取了7人，再从这7人中随机抽取2人，求这两人来

自不同的组的概率．

【答案】(1)0.03

(2)74

10

(3)

21

【分析】（1）根据频率分布直方图所有小长方形面积和为1的性质列方程计算即可.

（2）找出每组中点值及对应频率，根据平均数公式计算即可.

（3）计算两组样本数，确定抽样比，得到每组抽样人数，结合概率计算公式计算即可.

【详解】（1）由频率分布直方图的性质可知，0.0050.010.02a0.0250.01101，

整理得0.07a101，解得a0.03.

（2）每组成绩的中点值为：45，55，65，75，85，95；频率为0.05，0.1，0.2，0.3，0.25，0.1，

所以平均成绩为

x450.05550.1650.2750.3850.25950.1

2.255.51322.521.259.574.

13/57

（3）抽取100个样本中，在80,90的人数为0.2510025，在90,100的人数为0.110010.

71

抽样比为，

25105

11

所以在80,90中抽取的人数为255，在90,100中抽取的人数为102.

55

从80,90中抽2人，共有10个基本事件；从90,100中抽2人，共有1个基本事件；跨组抽共10个基本事

件，

故抽取方法共1011021个基本事件.

10

所以这两人来自不同的组的概率为P.

21

3．（24-25高三下·云南德宏·阶段检测）（多选）某学校为了提高高三年级学生的某学科成绩，在第一次联考

后采取了“培优补短”等一系列举措．为了更好地总结经验，现从高三年级1000名学生中随机抽取100名学

生，将其前后两次联考成绩(满分150分)分别按照[50,70)，[70,90)，…，[130,150]分成五组，绘制成频率分

布直方图，如图所示．下列说法正确的是（）

A．m0.02

B．估计该年级第二次联考成绩在130分以上的学生比第一次联考对应分数段的多10人

C．第二次联考学生的成绩波动更小

D．与第一次联考相比，第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数减少，在[110,150]内的学生人数增加

【答案】BCD

【分析】由频率和为1列方程求参数判断A；再根据两次联考对应的直方图分析B、C、D的正误.

【详解】因为20m0.30.150.050.051，所以m0.0225，A错误．

因为第一次联考成绩在130分以上的学生人数大约占5%，

第二次联考成绩在130分以上的学生人数大约占6%，

所以增加1%，则增加的学生人数为10，B正确．

第一次联考成绩集中于70～110分的学生人数占比为75%，

第二次联考成绩集中于90～130分的学生人数占比为84%，

第二次联考成绩数据更集中，所以方差更小，C正确．

第一次联考成绩在[50,90)内的学生人数占比为35%，在[110,150]内的学生人数占比为20%，

14/57

第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数占比为10%，在[110,150]内的学生人数占比为46%，D正确．

故选：BCD

4．（25-26高二上·上海奉贤·阶段检测）为进一步增强学生的疫情防控意识，友实学校组织学生进行了新冠

肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：40,50，

50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中a的值；

(2)用分层抽样的方法从问答成绩在70,100内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在70,80，

80,90，90,100内应各抽取多少人？

【答案】(1)0.015

(2)12，10，2

【分析】（1）由各小矩形的高之和为0.1求解；

（2）由0.03:0.025:0.0056:5:1比例求解.

【详解】（1）a0.10.0050.020.030.0250.0050.015.

（2）因为0.03:0.025:0.0056:5:1，

所以在70,80，80,90，90,100内应各抽取：

651

2412，2410，242.

121212

故在70,80，80,90，90,100内分别抽取12，10，2人.

5．（24-25高一下·吉林长春·阶段检测）为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现

从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示：

分组（单位：岁）频数频率

[20,25)50.05

[25,30)①0.20

[30,35)35②

15/57

[35,40)300.30

[40,45)100.10

总计1001.00

(1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？

(2)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数；

(3)现用比例分配的分层随机抽样从[30,35)、[35,40)、[40,45)的样本中共抽取n名志愿者，已知从[40,45)中

抽取了2人，求n的值．

【答案】(1)①应填20，②应填0.35；

(2)直方图见解析，人数为175；

(3)15

【分析】（1）结合抽取的总人数，结合表格中数据，计算出结果；

（2）计算出[25,30)区间的频率/组距，绘制直方图，并利用年龄在[30,35)岁的频率得到答案；

（3）计算出三个区间的比例，从而计算出从[30,35)、[35,40)中分别抽取的人数，得到答案.

35

【详解】（1）①应填0.2010020，②应填0.35；

100

（2）[25,30)区间的频率为0.20，故频率/组距为0.2050.04，

故补全频率分布直方图，如下：

这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数为0.35500175；

（3）[30,35)、[35,40)、[40,45)的人数比例为0.07:0.06:0.027:6:2，

从[40,45)中抽取了2人，故从[30,35)、[35,40)中分别抽取了7人和6人，

故n76215.

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【题型5百分位数计算】

1．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）参加某次数学竞赛的10名学生的成绩（单位：分）如下：71，86，

76，80，96，81，84，83，92，88，则以这10人成绩的第60百分位数为实部，第75百分位数为虚部的复

数是（）

A．8488iB．8588iC．8088iD．8586i

【答案】B

【分析】先将成绩从小到大排序，再根据百分位数的计算规则分别求出第60、75百分位数，组合得到对应

复数即可

【详解】首先将10名学生的成绩按从小到大排序：71,76,80,81,83,84,86,88,92,96.

8486

由1060%6，故第60百分位数为排序后第6位和第7位数据的平均数，即85，即所求复数的

2

实部为85.

由1075%7.5，故第75百分位数为排序后第8位数据88，即所求复数的虚部为88.

因此所求复数为8588i.

2．（25-26高一下·湖南·阶段检测）某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了100名学生的测试成绩

（单位：分），这100名学生的成绩都分布在区间40,100内，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这100

名学生成绩的61%分位数为______.

【答案】82

【分析】由百分位数求解即可.

【详解】设这100名学生成绩的61%分位数为x，

因为前4组频率之和为100.0050.010.0150.0250.550.61，

前5组频率之和为100.0050.010.0150.0250.030.850.61，

所以这100名学生成绩的61%分位数落在第5组80,90内，

x800.610.55

所以，解得x82，所以这200名学生成绩的61%分位数为82.

100.3

3．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）为落实“五育并举”育人理念，某校随机对10名学生的劳动教育素养

进行测评，10名学生的得分情况如下（满分10分）：4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，则这组数据的下四

17/57

分位数是（）

A．4B．5C．6D．8

【答案】B

【分析】根据百分位数的求法，结合条件，即可得答案.

【详解】下四分位数为第25百分位数，且100.25=2.5，

所以这组数据的下四分位数为数据的第三位数，是5.

4．（2026·陕西咸阳·三模）已知样本数据8，12，13，a，17的第80百分位数为16，则a（）

A．14B．15C．16D．17

【答案】B

【详解】因为580%4，所以第80百分位数为将数据从小到大排序后的第4个数与第5个数的平均数，

经讨论可知，为使第80百分位数为16，排序后的数据必为8,12,13,a,17，

a17

故有16，解得a15.

2

5．（2026·浙江·三模）已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第p百分位数为4，则p不可能是

（）

A．40B．50C．60D．70

【答案】D

【分析】按x4,x4,x4分类，结合第p百分位数的定义逐项分析判断.

【详解】对于A，当x4时，由640%2.4，得该组数据的第40百分位数为由小到大排列的第3个数4，

A可能；

对于B，当x4时，由650%3，得该组数据的第50百分位数为由小到大排列的第3、4个数的平均数4，

B可能；

对于C，当x4时，由660%3.6，得该组数据的第60百分位数为由小到大排列的第4个数4，C可能；

对于D，670%4.2，无论x取何值，该组数据由小到大排列的第5个数不可能为4，因此p不可能为70，

D不可能.

6．（24-25高二上·重庆·阶段检测）关于百分位数，下列选项错误的是（）

A．一组数按照从小到大排列后为：x1，x2，…，xn，计算得：n80%17.2，则这组数的80%分位数

是x17

B．一组数据的百分位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数

C．一组数据的某些百分位数可能是同一个数

D．第50百分位数就是中位数

【答案】A

【分析】根据百分位数的定义分别判断各选项即可.

【详解】由百分位数的定义可知，若n80%17.2，则这组数的80%分位数是x18，故A错误；

18/57

由百分位数的定义可知，对p%分位数，若np%不为整数时，则p%分位数是这组数据中的数，若np%为

整数时，则p%分位数是相邻两个数据的平均值，故可能不是这组数据中的数，故B正确；

当一组数据的p%分位数，q%分位数，满足np%,nq%是整数部分相同的非整数时，它们对应百分位数

是同一个数，故C正确；

由百分位数的意义可知第50百分位数就是中位数，故D正确.

故选：A

【题型6众数、中位数、平均数的计算】

1．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若有一组数据为6，6，5，5，4，4，3，2，1，则该组数据的平均数为

（）

9

A．2B．3C．4D．

2

【答案】C

【分析】借助平均数定义计算即可得.

625242321

【详解】平均数为4.

9

故选：C.

2．（25-26高一上·江西吉安·期末）数据x1，x2，，xn的平均数是4，则数据3x11，3x21，，3xn1

的平均数是（）

A．9B．10C．11D．12

【