2026新高二数学暑假专题：第03讲 空间向量基本定理（2知识点+5大题型）（原卷版）

第03讲空间向量基本定理

内容导航

01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向

02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理

03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解

题型01空间向量基底的概念及辨析

题型02用基底表示向量

题型03空间向量基本定理中的参数问题

题型04空间向量基本定理的应用（平行、垂直、数量积、模长、夹角问题）

题型05空间向量的正交分解

04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固

关键词学习目标导航

1.理解空间向量基本定理的意义,培养数学抽象的核心素养.

2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示,培养数

1.空间向量基本定理学抽象的核心素养.

2.空间向量的正交分3.会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量,强化直

解观想象的核心素养.

4.会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角,提升逻辑推理和数学

运算的核心素养.

学习重点：用基底表示其他的向量

学习难点：利用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角、模长等问题

1/15

知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01空间向量基本定理

1、空间向量基本定理

如果向量三个向量a,b,c,不共面，那么对空间任意向量p,存在有序实数组x,y,z,使得pxaybzc.

2、基底与基向量

如果向量三个向量a,b,c,不共面，那么所有空间向量组成的集合就是ppxaybzc,x,y,zR.这个集

合可看作是由向量a,b,c,生成的，我们把a,b,c叫做空间的一个基底a,b,c,都叫做基向量．

对基底的正确理解，有以下三个方面：

（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；

（2）因为0可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着

它们都不是0；

（3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，

二者是不同的概念．

即时即练

1．（25-26高二下·江苏徐州·期中）（多选）若a,b,c为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空

2/15

间的一个基底的是（）

A．a,ab,abB．a,b,c

C．ab,ab,cD．ab,abc,c

2．（25-26高二上·山东济宁·期末）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为M．设

D1A1a,D1C1b,D1Dc，则下列向量中，与B1M相等的向量是（）

1111

A．abcB．abc

2222

1111

C．abcD．abc

2222

3．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABADAA11，且

π2π

BAD，AABAAD.

3113

(1)分别求AC1，BD1的长；

(2)证明：AC1BD.

【方法总结】

判断基底的基本思路及方法

(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底.

(2)方法:

①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底.

②假设a=λb+μc(λ,μ∈R),运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不

共面,能作为基底.

知识点02空间向量的正交分解

1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当

3/15

一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用i，j，k表示。

2、正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xiyjzk，

使axiyjzk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。

即时即练

1．（多选题）（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知a,b,c是空间的一个单位正交基底，则下列向量

可以做基底的是（）

A．ac,a,acB．b,ac,ac

C．ab,abc,cD．ac,2ab,bc

题型01空间向量基底的概念及辨析

1．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列向量能与向量AB,BC构成空

间的一个基底的是（）

A．CDB．ADC．A1B1D．DD1

2．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）下列可使a，b，c构成空间的一个基底的条件是（）

A．bcB．a，b，c两两垂直C．ambncD．abc0

3．（24-25高二上·湖北·阶段检测）在四棱台ABCDA1B1C1D1中，一定能作为空间向量的一个基底的是（）

A．AB,AD,B1D1B．AB,AA1,C1D1C．AB,A1A,A1D1D．AA1,AC,CC1

4．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量a,b,c为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（）

A．ab,bc,caB．ab,bc,ca

C．a,b,abcD．a,bc,ca

5．（多选题）（25-26高二下·江苏苏州·期中）若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）

rrrrr

A．bc,b,bc

B．ab,ab,c

C．ab,abc,c

D．abc,ab,bc

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【技巧归纳】

判断基底的基本思路及方法

(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底.

(2)方法:

①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底.

②假设a=λb+μc(λ,μ∈R),运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不

共面,能作为基底.

题型02用基底表示向量

1．（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体ABCDA1B1C1D1中，若ABa，ADb，AA1c，E为线

1

段上一点，且，则（）

BC1BEBC1AE

3

22111111

A．abcB．abcC．abcD．abc

33332222

2．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图所示，在四面体ABCD中，点E是CD的中点，记ABa，ACb，

ADc，则BE（）

11111111

A．abcB．abcC．abcD．abc

22222222

3．（25-26高二下·湖北·阶段检测）如图，三棱锥OABC中，G为ABC的重心，M是OC的中点，则MG

5/15

（）

111111

A．OAOBOCB．OAOBOC

333336

1211uuur1uuur1uuur

C．OAOBOCD．OAOBOC

336336

4．（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱ABCA1B1C1中，E是AB的中点，GE2CG，则用向量AB，

AC，AA1表示向量GB1应为（）

12

A．GBABACAA

1631

521

B．GBABACAA

16321

52

C．GBABACAA

1631

52

D．GBABACAA

1631

5．（25-26高二上·四川成都·期末）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在

13

线段AN上，且MNON,APAN，则OP（）

24

111111

A．OAOBOCB．OAOBOC

444444

111111

C．OAOBOCD．OAOBOC

424424

【技巧归纳】

用基底表示向量的步骤

6/15

(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.

(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量

的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.

(3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能

含有其他形式的向量.

题型03空间向量基本定理中的参数问题

1．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知a,b,c是空间的一组基底，其中AB2ab，ACac，ADbc，

若A，B，C，D四点共面，则的值为（）

11

A．B．C．2D．2

22

2．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E,F分别

1

为线段PB,PD上的点，若PGGC，且AGxAEyAF，则xy（）

2

43

A．1B．2C．D．

32

3．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在正四棱锥PABCD中，PE2EB，PFFD，设平面AEF与

直线PC交于点G，则PG：PC（）

1277

A．B．C．D．

551530

4．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M,N分别为棱BC，A1B1的中点，点O在平面DMN上，且AOAC1，

7/15

则的值为（）

3434

A．B．C．D．

5589

5．（25-26高二上·山东聊城·期中）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为梯形，

PF

AD//BC，且AD2BC,E是棱PD的中点，设PC平面ABEF，则的值为__________.

PC

6．（25-26高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥PABC中，点G为ABC的重心，点M在PG上，且

PM3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若PDmPA，PEnPB，

111

PFtPC，则的值为__________．

mnt

题型04空间向量基本定理的应用（平行、垂直、数量积、模长、夹角问题）

1．（24-25高二上·吉林长春·阶段检测）如图，正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，

H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设ABa,ACb,ADc．

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(1)a,b,c表示EF，并求EF的长；

(2)求EFGF．

2．（25-26高二下·甘肃金昌·阶段检测）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，

AA13A1ABA1ADBAD60，设ABa，ADb，AA1c．

若点，满足，，试用，，表示；

(1)MNBC2BMDN3ND1abcMN

(2)求MN与AC夹角的余弦值．

3．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移ABC到ABC，连接对应顶点，设

AAa,ABb,ACc,M,E分别是BC,AA的中点，N是BC上一点．

(1)若N为BC的中点，用向量法证明：AM//EN；

(2)若ABAC1,AA2,BAC60,ACCABB90，问是否存在点N使得AMEN，并说明理由．

4．（25-26高二上·陕西·期末）如图，在平行六面体ABCDABCD中，BADBAADAA，

ABADAA2．设ABa，ADb，AAc．

(1)用基底a,b,c表示向量BD，BA，AC；

(2)证明：AC平面ABD．

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【技巧归纳】

(1)合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算.

(2)当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量证

明垂直的一般方法是把线段转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积和垂

直条件来完成位置关系的判定.

(3)证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题,利用向量共线的充要条件证明.

(4)求两异面直线的夹角,可转化为求两直线的方向向量的夹角.

a·b

(5)由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=,求<a,b>的大小,转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,求

|a||b|

出<a,b>的余弦值,进而求<a,b>的大小,在求a·b时注意结合空间图形,把a,b用基向量表示出来,进而化简得出

a·b的值.

π→→→→→→

(6)异面直线AB,CD的夹角α∈(0,],而<AB,CD>∈[0,π],故α=<AB,CD>或α=π-<AB,CD>.

2

(7)求两点间的距离或线段长度的方法

①将此线段用向量表示.

②用其他已知夹角和模的向量表示该向量.

③利用|a|=a2,通过计算求出|a|,即得所求距离或线段长度.

题型05空间向量的正交分解

1．已知BD平面ABC，ABBC，BD1，AB2，BC3，则空间的一个单位正交基底可以为（）

1511

A．BC,BD,ADB．BC,BD,BA

3532

51

C．BC,BD,ADD．BC,BD,BA

52

urrrr

2．（24-25高二上·河南许昌·阶段检测）已知a,b,c是空间的一个单位正交基底，mab2c，则空间

向量a在m方向上的投影向量为（）

161

A．aB．6mC．mD．m

666

3．（多选题）（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知a,b,c是空间的一个单位正交基底，则下列向量

可以做基底的是（）

A．ac,a,acB．b,ac,ac

C．ab,abc,cD．ac,2ab,bc

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4．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，i,j,k是一个单位的正交基底，且向量

aik，bi2j3k，则a与b夹角的余弦值为______．

5．（25-26高二上·广东广州·期中）a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量pa2b3c，ab,ab,c

是空间的另一个基底，用基底ab,ab,c表示向量p，则p________.

1．（24-25高二上·重庆·阶段检测）下列可使a，b，c构成空间的一个基底的条件是（）

A．ambncB．a，b，c两两垂直

C．abc1D．abc0

2．已知SA平面ABC，ABAC，SAAB1，BC5，则空间的一个单位正交基底可以为（）

1

A．AB,AC,ASB．AB,AC,AS

2

115

C．AB,AC,ASD．AS,AB,BC

225

3．（25-26高二上·福建福州·期中）已知a，b，c是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（）

A．2a，ab，abB．c，a2b，2ab

C．b，ba，b2aD．c，ac，c2a

4．（25-26高二上·福建泉州·期末）在正四面体OABC中，D为OBC的重心，E为AB的中点，记

OAa,OBb,OCc，则ED（）

111111

A．abcB．abc

263263

151111

C．abcD．abc

263242

5．（25-26高二上·重庆·期中）如图，已知A,B,C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为

平面ABC外一点，且AP,ABAP,AC120，AP4，若AOABAC，则OP（）

11/15

A．42B．3C．6D．7

6．（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且

==

C1CBC1CDBCD60，CDCC12，M是A1C1和B1D1的交点，则CA1DM（）

A．8B．6C．0D．4

7．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设aAA1，bDB1，若a、b、c组成空间向量的一个基底，

则c可以是（）

．．．．

ABB1BBC1CBDDBD1

8．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）在单位正交基底i,j,k下，已知向量ai2j3k，b2i3k，

则向量mab在向量i上的投影向量为（）

A．3iB．2iC．6iD．4i

9．（25-26高二上·河南濮阳·期中）如图，在三棱锥ABCD中，ABBD，CDBD，AB1，BDCD2，

2

二面角ABDC的大小为，则AC（）

3

A．5B．7C．11D．13

10．（25-26高二上·辽宁大连·期末）如图，M是三棱锥PABC的底面ABC的重心.若

PMxPAyPB2zPCx,y,zR，则2xyz的值为（）

12/15

A．1B．2C．1D．2

1

11．（25-26高二上·云南怒江·期中）在四棱柱ABCDABCD中，E，F分别在棱BB，DD1上，且BEBB，

1111141

1

DF3FD，若BDtADAEAF，则t（）

13

5522

A．B．C．D．

3333

12．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1ABA1AC60，BAC90，

ABAC2A1A2，点D为棱BC的中点，点E为棱AB的中点，点F在棱AC上．若A1DEF，则线段AF

的长度为（）

1

A．B．1C．D．2

22

13．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·期末）在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的

点，且BM2A1M，C1N2B1N.设ABa，ACb，AA1c，若BAC90，BAA1CAA160，

ABACAA11，则（）

1115

A．MNabcB．MN

3333

1

C．ABBCD．cosAB,BC

11116

14．（25-26高二上·重庆·期中）a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量p3a2bc，ab,ab,c

是空间的另一个基底，则用基底a