2026新高二数学暑假专题：第07讲 用空间向量研究夹角问题（3知识点+5大题型）（解析版）

第07讲用空间向量研究夹角问题

内容导航

01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向

02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理

03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解

题型01求异面直线所成角

题型02求直线与平面所成角

题型03求二面角

题型04空间角中的最值（范围）问题

题型05空间角中的探索性问题

04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固

关键词学习目标导航

1.异面直线所成的角

1.掌握应用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大

2.直线与平面所成的

小,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.

角

2.体会向量方法在研究立体几何问题中的作用,培养直观想象的核心素养.

3.二面角

学习重点：向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大小

学习难点：夹角中的探索性问题

1/60

知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01线线角

1、用向量运算求两条直线所成角

已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则

ACBDACBD

①cosAC,BD②cos|cosAC,BD|.

|AC||BD|ACBD

2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤：

（1）建立适当的空间直角坐标系，

（2）求出两条异面直线的方向向量的坐标，

（3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角，

（4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角．

2/60

3、求两条异面直线所成角的两个关注点

（1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角．

（2）范围：异面直线所成角的范围是(0,]，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值．

2

即时即练

1．（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是m(3,2,1)，n(1,2,3)，则这

两条异面直线所成的角满足（）

22

A．cosB．cos

77

22

C．sinD．sinθ

77

【答案】A

【分析】利用异面直线夹角公式列式求解并判断.

【详解】由两条异面直线的方向向量分别是m(3,2,1)，n(1,2,3)，

mn4235

得coscosm,n，sin1cos2.

mn141477

故选：A

2．（2025高二上·河南鹤壁·专题练习）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的棱长均为2，则异面直线A1B与

B1C所成角的余弦值是（）

31

A．B．

22

1

C．D．0

4

【答案】C

【分析】以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和的坐标，结合向量的夹角公式，

ACOA1BB1C

即可求解.

【详解】以AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，

因为正三棱柱ABCA1B1C1的棱长均为2，

可得A10,1,2,B3,0,0,B13,0,2,C0,1,0，

3/60

所以A1B(3,1,2),B1C(3,1,2)，可得A1BB1C2,A1B22,B1C22，

A1BB1C21

则cosA1B,B1C，

A1BB1C22224

1

所以异面直线AB与BC所成角的余弦值是.

114

故选：C.

【方法总结】

利用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)选好基底或建立空间直角坐标系.

(2)求出两直线的一个方向向量u,v.

|u·v|

(3)代入公式cosθ=求解.

|u||v|

π

注意:两条异面直线所成角的取值范围是(0,].

2

知识点02线面角

设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的角为，则有

aau

①cos②sincos.（注意此公式中最后的形式是：sin）

|a|||au

4/60

即时即练

1．（25-26高二上·天津·期末）若直线l的一个方向向量为u1,0,3，平面的一个法向量为n0,2,1，

则l与所成角的大小为（）

πππ5ππ2π

A．B．C．或D．或

636633

【答案】A

【分析】根据向量夹角的余弦公式计算线面夹角的正弦值即可.

【详解】设直线l与平面所成角为，因为直线l的一个方向向量为u1,0,3，

平面的一个法向量为n0,2,1，

u·n31

所以sincosu,n.

un13212

所以，即直线l与平面所成角为.

66

故选：A.

2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，圆锥PO的底面圆周上有A,B,C三点，AB为底面圆O的直

径，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若ABPO2，则直线CD和平面PBC所

成角的正弦值为（）

146522

A．B．C．D．

3993

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，求平面PBC的法向量，利用空间向量求线面夹角.

【详解】点C是底面直径AB所对弧的中点，所以OCAB，建立空间直角坐标系如图所示:

5/60

1

则O0,0,0，P0,0,2，A0,1,0，B0,1,0，C1,0,0，D0,,1，

2

1

可得PB0,1,2，PC1,0,2，DC1,,1，

2

PBny2z0

设平面PBC的法向量为nx,y,z，则，

PCnx2z0

令z1，则xy2，可得n2,2,1，

设直线CD和平面PBC所成角为，

DCn2114

可得sincosDC,n

DCn99.

9

4

【方法总结】

求线面角的两种方法

设直线的方向向量平面的法向量为直线与平面所成的角为∈π与的夹角则

(1)PAa,αn,PAαθ(θ[0,2]),an,

|a·n|

sinθ=|cos|=|a||n|.

(2)设直线PA的方向向量a,直线PA在平面α内的投影向量为b,则直线PA与平面α所成的角θ满足

cosθ=|cos<a,b>|.

知识点03二面角

如图，若PA于A，PB于B，平面PAB交l于E，则∠AEB为二面角l的平面角，

∠AEB+∠APB=180°.

6/60

若n1n2分别为面，的法向量

n1n2

①cosn1,n2

|n1||n2|

②cos根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角；

若二面角为锐二面角（取正），则cos|cosn1,n2|；

若二面角为钝二面角（取负），则cos|cosn1,n2|；

即时即练

1．（25-26高二上·广东汕头·期末）锐二面角l两平面的法向量分别为n11,2,1，n22,1,1，

则二面角的余弦值为（）

1166

A．B．C．D．

6666

【答案】A

【分析】利用二面角的向量求法，代入计算即可求得答案.

【详解】因为二面角l的法向量分别为n11,2,1，n22,1,1，

设所求二面角的大小为，

n1n211

则cosn1,n2，

6

n1n266

1

因为二面角l是锐角，所以该二面角的余弦值coscosn,n，

126

故选：A

2．（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，正四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边

长的2倍，SD平面PAC，P为侧棱SD上的点，则二面角PACB的余弦值为（）

7/60

3321

A．B．C．D．

3222

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解.

【详解】连接BD，设AC交BD于点O，则SO平面ABCD，

以O为坐标原点，OB,OC,OS的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

66226

设底面边长为a，则SOa，S0,0,a,Da,0,0,SDa,0,a

22222

显然n(0,0,1)是平面ABC的一个法向量，

26

因为SD平面PAC，所以SDa,0,a是平面PAC的一个法向量，

22

设二面角PACB为，则由图可知，为钝角，

6

a

nSD23

所以coscosn,SD

222.

nSD26

1aa

22

【方法总结】

nn

若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则12

n1,n2,,coscosn1,n2

n1n2

题型01求异面直线所成角

8/60

1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，若异面直线l,m的方向向量分别为a1,0,1，

b1,1,0，则l,m所成角的余弦值为（）

1221

A．B．C．D．

2222

【答案】D

【分析】先求出a、b及ab，再根据空间异面直线夹角的余弦公式，即可求解.

222222

【详解】由题意，可得a1012，b1102，

ab1101101，

ab11

设直线l,m所成的夹角为，则cos，

ab222

1

所以直线l,m所成角的余弦值为.

2

2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1，BB1的中点，则CM

和D1N所成角的余弦值为（）

145221

A．B．C．D．

3939

【答案】D

【分析】建立坐标系，写出向量坐标，利用向量夹角公式求解即可.

【详解】设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐

标系，

则M2,0,1,C0,2,0,N2,2,1,D10,0,2,CM2,2,1,D1N2,2,1,

CMD1N111

设CM和DN所成角为，cos，即CM和DN所成角的余弦值为.

11

CMD1N3399

3．（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱ABCA1B1C1，BCA90，M,N分别是A1B1,CC1的中点，

BCCACC12，则BM与AN所成的角为（）

9/60

πππ2π

A．B．C．D．

4233

【答案】B

【分析】以C为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果.

x,y,z

【详解】以C为坐标原点，CA,CB,CC1的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，

A2,0,0，N0,0,1，B0,2,0，M1,1,2，AN2,0,1，

BM1,1,2，

ANBM

cosAN,BM0，即ANBM，

ANBM

π

BM与AN所成的角为.

2

4．（25-26高二上·安徽六安·期末）我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称

为鳖臑.在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，BCCD，且BCCDAB，E，F分别为AB，CD的中点，

则异面直线AF与DE所成角的正弦值为（）

851717

A．B．C．D．

9698

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用异面直线夹角的向量求法结合同角三角函数的基

本关系求解即可.

【详解】如图，作CQ//AB，以C为原点，建立空间直角坐标系，

10/60

不妨设BCCDAB2a，则C(0,0,0)，A(0,2a,2a)，D(2a,0,0)，B(0,2a,0)，

因为E，F分别为AB，CD的中点，所以由中点坐标公式得F(a,0,0)，E(0,2a,a)，

则AF(a,2a,2a)，DE(2a,2a,a)，设异面直线AF与DE所成角为，

2

AFDE8a8π

可得cos，而0,，则sin0，

AFDE3a3a92

28217

由同角三角函数的基本关系得sin()1，解得sin（负根舍去），

99

17

则异面直线AF与DE所成角的正弦值为，故C正确.

9

故选：C

5．在正四面体ABCD中，M，N分别为AB，AD的中点，连接CM，BN，若正四面体的边长为2，则直线

CM与直线BN所成角的余弦值为（）

3161

A．B．C．D．

61266

【答案】D

【分析】取底面BCD的中心O，连接AO，以O为原点，OD为x轴，过O作平行于BC的直线为y轴，OA

为z轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角.

【详解】取底面BCD的中心O，连接AO，则AO平面BCD，以O为原点，OD为x轴，过O作平行于BC

的直线为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，由正四面体的边长为2，则底面BCD的外接圆半径

2

2323262633

，则由题易得高2，故A0,0,,B,1,0,C,1,0，

ODAO2

333333

23316

D,0,0，由M、N分别为AB、AD的中点，所以M,,，

3623

36336236

同理得N,0,，故CM,,,BN,1,，

3362333

1

CMBN1

所以由向量夹角公式可知cos2.

CMBN336

11/60

6．（25-26高二·全国·寒假作业）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为线段A1D的中点，

N为线段CD1上的动点，则直线C1D与直线MN所成角的余弦值的最大值为（）

3663

A．B．C．D．

2343

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后结合空间向量的运算求解即可．

【详解】以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则D0,0,0，C0,2,0，A12,0,2，M1,0,1，D10,0,2，C10,2,2，

设CNCD10,2,20,2,2，(01)，

则N0,22,2，

则C1D(0,2,2)，MN(1,22,21)，

12/60

则

C1DMN01222221

cosC1D,MN

222222

C1DMN0221(22)(21)

21

，

228212624263

设直线C1D与直线MN所成角为，

1113

coscosCD,MN

则12，

32333

246324()2

442

3

当且仅当时取等号，

4

3

则直线C1D与直线MN所成角的余弦值的最大值为，

3

故选：D．

【技巧归纳】

利用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)选好基底或建立空间直角坐标系.

(2)求出两直线的一个方向向量u,v.

|u·v|

(3)代入公式cosθ=求解.

|u||v|

π

注意:两条异面直线所成角的取值范围是(0,].

2

题型02求直线与平面所成角

1．（25-26高二下·江苏南京·期中）若向量a0,3,0是直线l的方向向量，向量n2,2,1是平面的法

向量，则直线l与平面所成角的正弦值为（）

22521

A．B．C．D．

3333

【答案】C

【详解】设直线l与平面所成角为，

an232

则sincosa,n.

an333

13/60

2．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为m(1,0,1)，平面

的一个法向量为n(3,1,0)，l与所成的角为，则（）

A．B．

6443

C．D．0

326

【答案】A

【分析】求出两向量夹角的余弦值，再由线面角与两向量夹角的关系即可得出结论.

m·n36

【详解】易知cosm,n，

mn224

6612

所以sincosm,n,，

4422

12ππ

即sin，又0,，所以.

22264

3．在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，则直线AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为（）

621015

A．B．C．D．

4245

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，根据空间角的向量求法即可求得答案.

【详解】设三棱柱的棱长为1，以B为原点，

以过B作BC的垂线为x轴，以BC为y轴，BB1为z轴，

建立空间直角坐标系，如图，

3131

则B(0,0,0),B(0,0,1),A(,,0)，所以AB(,,1)，

122122

易知平面BCC1B1的一个法向量可取为n(1,0,0)，

14/60

π

设直线AB与平面BCCB所成角为，[0,]，

1112

3

nAB16

则2.

sincosn,AB1

nAB124

故选：A

4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3,BC1,M,N分别是为AD1和C1D1的中点，MN与平面BB1C1C所

成的角为30，则该长方体的体积为（）

A．82B．6C．26D．83

【答案】C

【分析】构建空间直角坐标系，令AA12a0，结合线面角大小及向量法列方程求参数，最后利用棱柱体

积公式求体积.

【详解】由题设，构建如下空间直角坐标系Dxyz，令AA12a0，

1313

则M(,0,a),N(0,,2a)，所以MN(,,a)，

2222

又面BB1C1C的法向量为m(0,1,0)，

MNm1

由与平面所成的角为，则，

MNBB1C1C30cosMN,m

MNm2

3

所以1，可得，则，

2a2AA122

1a22

所以该长方体的体积为26.

故选：C

5．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）如图，在四棱锥PABCD中，PCD为等边三角形，底面ABCD为

直角梯形，AB//CD，CDAD，PBCD4，ABAD2．

15/60

(1)求证：PBCD；

(2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．

【答案】(1)证明：取CD中点E，连接PE,BE，已知PCD为等边三角形，边长为4，

3

则PECD，且PE423，DEAB2，

2

已知ADDC，AB//CD，则四边形ABED是矩形，BEAD2，BECD，

2

BE2PE2222316PB2，

BEPE，

CDPE,CDBE,PEBEE,PE,BE平面PEB，

CD平面PEB，

又PB平面PEB，

PBCD．

21

(2)

7

【分析】（1）根据四棱锥的几何性质，利用线面垂直判断定理证明线面垂直，进而推出线线垂直；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面法向量及向量PD，设直线PD与平面PBC所成角为，利用向量夹

角余弦公式计算求解．

【详解】（1）略

（2）由（1）知，PEBE,PECD,BECDE，

故PE底面ABCD，以D为坐标原点，DA方向为x轴，DC方向为y轴，

垂直于平面ABCD的方向为z轴，建立下图所示空间直角坐标系，

16/60

则D0,0,0,A2,0,0,B2,2,0,C0,4,0,P0,2,23，

设平面PBC的法向量为nx,y,z，

因PB2,0,23,BC2,2,0，

PBn2x23z0

则，令z1，则n3,3,1，

BCn2x2y0

又PD0,2,23，

设直线PD与平面PBC所成角为，

PDn03232314321

则sincosPD,n．

22477

PDn223331

6．（2026高二·全国·专题练习）在四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD．已

知ABC45，AB2，BC22，SASB3．求直线SD与平面SAB所成角的正弦值．

【答案】22

11

【分析】根据题意以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面SAB的法向量，利用向量法即可求解.

【详解】作SOBC，垂足为O，连接AO，

由侧面SBC底面ABCD，平面SBC平面ABCDBC，SO平面SBC，

得SO平面ABCD，

因为SASB，所以AOBO．又ABC45，AOB为等腰三角形，

所以AOOB，

17/60

如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，OB为y轴正向，OS为z轴正向，

建立直角坐标系Oxyz，

A2,0,0，B0,2,0，C0,2,0，S0,0,1，

22

取AB中点E，E,,0，连接SE，取SE中点G，连接OG，

22

22122122

G,,，OG,,，SE,,1，AB2,2,0，

44244222

SE·OG0，AB·OG0，OG与平面SAB内两条相交直线SE,AB都垂直，

所以OG平面SAB，

设OG与DS的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，

则与皆为锐角，且与互余，

由于D2,22,0，DS2,22,1，

OGDS2222

cos，sin，

OGDS1111

22

因此直线SD与平面SAB所成角的正弦值为．

11

【技巧归纳】

求线面角的两种方法

设直线的方向向量平面的法向量为直线与平面所成的角为∈π与的夹角则

(1)PAa,αn,PAαθ(θ[0,2]),an,

|a·n|

sinθ=|cos|=|a||n|.

(2)设直线PA的方向向量a,直线PA在平面α内的投影向量为b,则直线PA与平面α所成的角θ满足

cosθ=|cos<a,b>|.

18/60

题型03求二面角

1．（25-26高二·全国·寒假作业）在三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2．若

π

n,n，则二面角ABDC的大小为（）

123

π2ππ2πππ

A．B．C．或D．或

333363

【答案】C

【分析】利用法向量和平面垂直的关系可得两个法向量所成角与二面角相等或者互补，从而可求．

π

【详解】当二面角ABDC为锐角时，其大小为n,n；当二面角ABDC为钝角时，其大小为

123

π2π

πn,nπ．

1233

故选：C．

2．（25-26高二上·广东揭阳·期中）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，3AB2AA1，G是A1B1的中点，E，

AECF

1

F分别在棱AA1，CC1上，且2，则二面角A1EGF的余弦值为（）

A1ECF

551010

A．B．C．D．

5555

【答案】C

【分析】取AB的中点O建立空间直角坐标系，设AB长度找出相关点的坐标，得到两个平面的法向量，最

后注意该二面角为钝二面角，利用向量求解即可.

【详解】取AB的中点O，连接OC，OG，设AB2，AA13，以O为原点，OC,OB,OG，所在直线分别

为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示

19/60

则E0,1,2,F3,0,1,G0,0,3，则EF3,1,1,EG0,1,1,

设平面EGF的法向量为nx,y,z，则

EFn3xyz0

，令z3，则n2,3,3；

EGnyz0

平面A1EG的法向量为m1,0,0，由图可知二面角A1EGF为的平面角为钝二面角，所以二面角

mn10

A1EGF的余弦值为.

mn5

故选：C

3．如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E,F分别为AD,BC的中点，O是AC的中点，

2π

ABC，则折后二面角EOFA的余弦值为（）

3

2121313311

A．B．C．D．

771311

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可由向量的夹角求解.

【详解】由题意知平面ADC平面ABC，如图，连接OD,OB，

因为四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，所以ODAC,OBAC，又平面ADC平面ABCAC,OD

平面ADC，所以OD平面ABC，而OB平面ABC，所以ODOB，从而OB,OC，OD三线两两垂直．以

O为原点，OB,OC,OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

20/60

31133113

令AB2，则D0,0,1,E0,,,F,,0,OE0,,,OF,,0．

22222222

31

yz0,

nOE0,22

设平面OEF的法向量为nx,y,z，则得

nOF0,13

xy0,

22

取y1，则x3,z3，得平面OEF的一个法向量为n3,1,3．

易知平面ABC的一个法向量为OD0,0,1，

nOD321

则cosn,OD．由图知，二面角EOFA为锐角，

nOD717

21

所以二面角EOFA的余弦值为．

7

故选:A．

4．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，ABC60，平