2026新高二数学暑假专题：第07讲 用空间向量研究夹角问题（3知识点+5大题型）（原卷版）

第07讲用空间向量研究夹角问题

内容导航

01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向

02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理

03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解

题型01求异面直线所成角

题型02求直线与平面所成角

题型03求二面角

题型04空间角中的最值（范围）问题

题型05空间角中的探索性问题

04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固

关键词学习目标导航

1.异面直线所成的角

1.掌握应用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大

2.直线与平面所成的

小,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.

角

2.体会向量方法在研究立体几何问题中的作用,培养直观想象的核心素养.

3.二面角

学习重点：向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大小

学习难点：夹角中的探索性问题

1/19

知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01线线角

1、用向量运算求两条直线所成角

已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则

ACBDACBD

①cosAC,BD②cos|cosAC,BD|.

|AC||BD|ACBD

2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤：

（1）建立适当的空间直角坐标系，

（2）求出两条异面直线的方向向量的坐标，

（3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角，

（4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角．

2/19

3、求两条异面直线所成角的两个关注点

（1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角．

（2）范围：异面直线所成角的范围是(0,]，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值．

2

即时即练

1．（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是m(3,2,1)，n(1,2,3)，则这

两条异面直线所成的角满足（）

22

A．cosB．cos

77

22

C．sinD．sinθ

77

2．（2025高二上·河南鹤壁·专题练习）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的棱长均为2，则异面直线A1B与

B1C所成角的余弦值是（）

31

A．B．

22

1

C．D．0

4

【方法总结】

利用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)选好基底或建立空间直角坐标系.

(2)求出两直线的一个方向向量u,v.

|u·v|

(3)代入公式cosθ=求解.

|u||v|

π

注意:两条异面直线所成角的取值范围是(0,].

2

知识点02线面角

设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的角为，则有

3/19

aau

①cos②sincos.（注意此公式中最后的形式是：sin）

|a|||au

即时即练

1．（25-26高二上·天津·期末）若直线l的一个方向向量为u1,0,3，平面的一个法向量为n0,2,1，

则l与所成角的大小为（）

πππ5ππ2π

A．B．C．或D．或

636633

2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，圆锥PO的底面圆周上有A,B,C三点，AB为底面圆O的直

径，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若ABPO2，则直线CD和平面PBC所

成角的正弦值为（）

146522

A．B．C．D．

3993

【方法总结】

求线面角的两种方法

设直线的方向向量平面的法向量为直线与平面所成的角为∈π与的夹角则

(1)PAa,αn,PAαθ(θ[0,2]),an,

|a·n|

sinθ=|cos|=|a||n|.

(2)设直线PA的方向向量a,直线PA在平面α内的投影向量为b,则直线PA与平面α所成的角θ满足

cosθ=|cos<a,b>|.

4/19

知识点03二面角

如图，若PA于A，PB于B，平面PAB交l于E，则∠AEB为二面角l的平面角，

∠AEB+∠APB=180°.

若n1n2分别为面，的法向量

n1n2

①cosn1,n2

|n1||n2|

②cos根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角；

若二面角为锐二面角（取正），则cos|cosn1,n2|；

若二面角为钝二面角（取负），则cos|cosn1,n2|；

即时即练

1．（25-26高二上·广东汕头·期末）锐二面角l两平面的法向量分别为n11,2,1，n22,1,1，

则二面角的余弦值为（）

1166

A．B．C．D．

6666

2．（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，正四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边

长的2倍，SD平面PAC，P为侧棱SD上的点，则二面角PACB的余弦值为（）

3321

A．B．C．D．

3222

【方法总结】

5/19

nn

若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则12

n1,n2,,coscosn1,n2

n1n2

题型01求异面直线所成角

1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，若异面直线l,m的方向向量分别为a1,0,1，

b1,1,0，则l,m所成角的余弦值为（）

1221

A．B．C．D．

2222

2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1，BB1的中点，则CM

和D1N所成角的余弦值为（）

145221

A．B．C．D．

3939

3．（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱ABCA1B1C1，BCA90，M,N分别是A1B1,CC1的中点，

BCCACC12，则BM与AN所成的角为（）

πππ2π

A．B．C．D．

4233

4．（25-26高二上·安徽六安·期末）我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称

为鳖臑.在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，BCCD，且BCCDAB，E，F分别为AB，CD的中点，

则异面直线AF与DE所成角的正弦值为（）

851717

A．B．C．D．

9698

5．在正四面体ABCD中，M，N分别为AB，AD的中点，连接CM，BN，若正四面体的边长为2，则直线

CM与直线BN所成角的余弦值为（）

6/19

3161

A．B．C．D．

61266

6．（25-26高二·全国·寒假作业）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为线段A1D的中点，

N为线段CD1上的动点，则直线C1D与直线MN所成角的余弦值的最大值为（）

3663

A．B．C．D．

2343

【技巧归纳】

利用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)选好基底或建立空间直角坐标系.

(2)求出两直线的一个方向向量u,v.

|u·v|

(3)代入公式cosθ=求解.

|u||v|

π

注意:两条异面直线所成角的取值范围是(0,].

2

题型02求直线与平面所成角

1．（25-26高二下·江苏南京·期中）若向量a0,3,0是直线l的方向向量，向量n2,2,1是平面的法

向量，则直线l与平面所成角的正弦值为（）

22521

A．B．C．D．

3333

2．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为m(1,0,1)，平面

的一个法向量为n(3,1,0)，l与所成的角为，则（）

A．B．

6443

C．D．0

326

7/19

3．在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，则直线AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为（）

621015

A．B．C．D．

4245

4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3,BC1,M,N分别是为AD1和C1D1的中点，MN与平面BB1C1C所

成的角为30，则该长方体的体积为（）

A．82B．6C．26D．83

5．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）如图，在四棱锥PABCD中，PCD为等边三角形，底面ABCD为

直角梯形，AB//CD，CDAD，PBCD4，ABAD2．

(1)求证：PBCD；

(2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．

6．（2026高二·全国·专题练习）在四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD．已

知ABC45，AB2，BC22，SASB3．求直线SD与平面SAB所成角的正弦值．

【技巧归纳】

求线面角的两种方法

设直线的方向向量平面的法向量为直线与平面所成的角为∈π与的夹角则

(1)PAa,αn,PAαθ(θ[0,2]),an,

|a·n|

sinθ=|cos|=|a||n|.

(2)设直线PA的方向向量a,直线PA在平面α内的投影向量为b,则直线PA与平面α所成的角θ满足

cosθ=|cos<a,b>|.

8/19

题型03求二面角

1．（25-26高二·全国·寒假作业）在三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2．若

π

n,n，则二面角ABDC的大小为（）

123

π2ππ2πππ

A．B．C．或D．或

333363

2．（25-26高二上·广东揭阳·期中）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，3AB2AA1，G是A1B1的中点，E，

AECF

1

F分别在棱AA1，CC1上，且2，则二面角A1EGF的余弦值为（）

A1ECF

551010

A．B．C．D．

5555

3．如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E,F分别为AD,BC的中点，O是AC的中点，

2π

ABC，则折后二面角EOFA的余弦值为（）

3

2121313311

A．B．C．D．

771311

4．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，ABC60，平面ABCD平面PAD，PACD，

PAAB2，E为PD的中点．

(1)求证：PA平面ABCD；

9/19

(2)求二面角CAEP的余弦值．

5．如图，在三棱台ABCA1B1C1中，ABB190，AB2A1B1，侧面BCC1B1侧面ABB1A1，D,E分别为

AC,BB1的中点．

(1)求证：A1D//平面BCC1B1；

已知，，，求二面角的正弦值．

(2)ABBB14EC1C1B1AC127AA1C1B1

6．如图，在四棱锥PABCD中，AD//BC,ABBC1,PAPC5,tanPAD2.

(1)证明:平面PAD平面ABCD；

29

(2)若ABAD，APD为锐角，且平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为，求AD.

30

【技巧归纳】

nn

若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则12

n1,n2,,coscosn1,n2

n1n2

题型04空间角中的最值（范围）问题

1．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段AC的中点.点P在线段A1C1上，

直线OP与平面A1BC1所成的角为，则cos的最小值是（）

6325

A．B．C．D．

3344

2．（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是直角梯形，BAD90，

10/19

AD//BC，ADAB2BC2DD12A1D1，DD1平面ABCD，E是侧棱BB1所在直线上的动点，则AE与

平面ACA1所成角的正弦值的最大值为（）

61525

A．B．C．D．

3355

3．（24-25高二上·江西吉安·期末）如图，四边形ABCD，ABBDDA23,BCCD2，现将ABD

ππ

沿BD折起，当二面角ABDC的值属于区间,时，直线AB和CD所成角为，则cos的最大值为

43

（）

32233

A．B．C．D．

4888

4．（25-26高二上·浙江·期中）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABBC2，

ABC90，O为AB的中点，A1O2，AA15，且BC平面ABB1A1．

(1)求证：A1O底面ABC；

(2)求AC1与平面ABC所成角的正弦值；

(3)点M在线段CC1上，求平面A1BM与底面ABC所成锐二面角的余弦值的最小值．

5．（24-25高二上·广西河池·阶段检测）如图1，平面图形PABCD由直角梯形ABCD和等腰直角PAD拼

接而成，其中ABBC1，BCAD，BAD90；PAPD2，APD90，点O是AD中点，现沿

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着AD将其折成四棱锥PABCD（如图2）．

(1)当二面角PADC为直二面角时，求点A到平面PCD的距离；

(2)在（1）的条件下，设点Q为线段PD上任意一点（不与P，D重合），求二面角QACD的余弦值的

取值范围．

题型05空间角中的探索性问题

1．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图1所示，在等腰梯形ABCD，BC//AD，CEAD，垂足为E，

AD3BC3，EC1，将DEC沿EC折起到D1EC的位置，如图2所示，平面D1EC平面ABCE．

(1)求证：平面BCD1平面CD1E；

(2)求直线CD1与平面ABD1所成角的正弦值；

6

(3)在棱AD1（不包括端点）上是否存在点G，使平面ABD1与平面GEC的夹角的余弦值为，若存在，求

6

AG

出的值，若不存在，请说明理由．

AD1

2．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平

1

面互相垂直，AF//DE，DEAD，ADBD，AFADBDDE1．

2

12/19

(1)求证：DE平面ABCD；

EQ

(2)在线段DE（不包括端点）上是否存在点Q，使得直线AF与平面BQF所成角为45？若存在，求出

DQ

的值，若不存在，说明理由．

3．（24-25高二上·福建莆田·期末）如图，在三棱锥PABC中，ABC是斜边为AC的等腰直角三角形，PAC

是边长为4的等边三角形，且PB4，O为棱AC的中点．

(1)证明：PO平面ABC；

(2)问：在线段BC上是否存在点M（不与B、C重合），使得二面角MPAC为30°，若存在，求出CM

的长；若不存在，请说明理由．

4．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，已知四边形ABCD是矩形，AB2BC2,PCD是正三角形，且

平面ABCD平面PCD，O是CD的中点．

(1)证明：BOPA；

(2)求二面角CBPO的余弦；

3

(3)在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为，若存在，确定点Q的位置，

8

若不存在，请说明理由．

π

5．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）如图，等腰直角三角形ABC中，ACB，D是AC中点，E、F分

2

13/19

别是BA、BC边上的动点，且BABE，EF//AC，将BEF沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到

四棱锥PACFE．设FCa，FEb，FPc．

(1)试用a,b,c表示PD．

3

(2)若时，PF平面ACFE．求与PD垂直的平面和平面ACFE所成角的余弦值；

2

ππ

(3)当BC2时，是否存在这样的点F，使得二面角PEFC为，且直线PD与平面ACFE所成角为，

34

若存在，求出CF的长，若不存在，请说明理由．

【技巧归纳】

利用向量方法求两个平面的夹角的大小时,多采用法向量的方法,即求出两个平面的法向量,然后通过法向量

的夹角得到两个平面的夹角的大小,这种方法思路简单,但运算量大,所以求解时需特别注意仔细运算.

1．（25-26高二上·北京通州·期中）已知直线l1，l2的方向向量分别为u0,2,1，v1,0,2，则直线l1与

l2所成角的余弦值为（）

2222

A．B．C．D．

5555

2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是线段BD，A1B1，C1D1的中点，则异面直线AG与

EF所成角的余弦值是（）

14/19

21552525

A．B．C．D．

155155

3．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线l的方向向量为a(2,1,1)，平面的法向量为n(1,0,k)，若

30

l与所成角的正弦值为，则k（）

6

11

A．B．C．2D．4

42

4．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，三棱锥ABCD中，DADBDC，ADBADC60，BDCD，

1

E为BC的中点，点F满足EFDA，则异面直线BF与DC所成的角的大小为（）

2

A．30°B．45°C．60D．75°

5．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，三棱锥ABCD中，ABBCACDBDC，且平面ABC

与底面BCD垂直，E为BC中点，EFDA，则直线AD与平面ABF夹角的余弦值为（）

221414

A．B．C．D．

4444

π1

6．在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABCD，ABC，ABPACD1，BC22，M

22

为PD的中点，则二面角MBCA的余弦值为（）

15/19

31010525

A．B．C．D．

101055

23

7．在四面体PABC中，PA平面ABC，ABBC2，ABC120.若四面体PABC的体积为，

3

则AC与平面PBC所成角的正弦值为（）

3567

A．B．C．D．

3567

8．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，

该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，

AA1,BB1,CC1,DD1均与曲池的底面垂直，且AA14，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆

π

心角为，则图中异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）

211

55410

A．B．C．D．

76511

所以CD12,0,4，AB10,2,4，

因为AB1CD1200244001616，

222

CD120440162025，

222

AB10(2)404162025，

9．在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC,ABBCAA1，点D为CC1的中点，点M为侧面ABB1A1内（含

边界）的动点，且C1M平面A1DB，设直线C1M与平面ABB1A1所成的角为，则tan的最大值为（）

16/19

A．2B．22C．3D．32

10．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如图，在平行四边形ABCD中，AB2，AD1，BD3，F

是DC的中点，沿BD将BCD翻折至BCD的位置，使得平面BCD平面ABD.若E是直线BC上的一点，

求直线EF与平面ABC所成角正弦值的最大值是（）

152273

A．