小学四年级数学《积的变化规律》例3素养导向导学案

小学四年级数学《积的变化规律》例3素养导向导学案

一、教学内容与素养锚点分析

（一）教材定位与课标解码

本导学案对应人教版四年级上册第四单元“三位数乘两位数”第三课时，是整数乘法运算定律教学的转折性节点。在此之前，学生已完成两位数乘两位数、三位数乘两位数的算理与算法建构，能够熟练进行乘法竖式计算；本课则从“如何算”转向“如何变”，即引导学生脱离具体计算，从乘法运算的结构性视角洞察因数与积之间的联动关系。这一内容不仅是后续学习商不变规律、比例、正反比例函数及初中代数中变量依赖关系的认知锚点，更是培养小学生合情推理能力、模型意识与函数思想萌芽的经典载体。【非常重要】【核心素养渗透点】

（二）核心素养集中体现

1.数感与运算能力：在观察、计算、猜想、验证中感受积随因数变化的规律，形成对乘法运算结果的敏感性，不依赖精确计算即可对积的变化趋势作出合理判断。

2.推理意识：经历“举例—观察—归纳—表达”的完整归纳推理过程，初步体会从特殊到一般的数学研究方法。

3.模型意识：将具体算式中的数量关系抽象为“一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几”的语言模型与符号模型（字母表达式）。

4.跨学科融合点：本课设计将植入“杠杆平衡条件（科学）”“货币兑换汇率（道德与法治/财经素养）”“建筑中的比例（美术/工程启蒙）”，以数学规律为内核，外拓真实问题场域。【热点·综合与实践】

（三）内容结构化处理

例3以两组并列算式呈现：6×2＝12，6×20＝120，6×200＝1200；20×4＝80，10×4＝40，5×4＝20。教材意图通过“从上往下看”与“从下往上看”双向观察，同时呈现“一个因数不变，另一个因数乘几，积乘几”及“一个因数不变，另一个因数除以几，积除以几”。本设计将整合两组合并为“变与不变”大任务，并增加开放型材料——无算式卡片、半结构化表格，迫使学生在缺失数据中主动调用规律，达成深度学习。【难点突破靶心】

二、学情精准画像

（一）知识经验基础

学生已熟练掌握三位数乘两位数的笔算，能快速算出诸如15×6、150×6等式子的结果；部分优等生能在口算中无意识地使用“添0”技巧，但尚未将这种操作提炼为“因数扩大10倍，积也扩大10倍”的数学命题。后进生往往将“乘几”与“加几”混淆，尤其在“除以几”环节容易逆向出错。【重要】【认知冲突高发区】

（二）思维发展水平

四年级学生正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的初期，对直观的、可触摸的、成序列的算式具有较强的归纳能力，但抽象表达和逆运用能力薄弱。例3要求同时掌握“扩大”与“缩小”两种变化趋势，且教材未呈现“0除外”的讨论——这正是本课必须由学生自主发现并强调的关键限定，也是后续学习商不变性质中“同时乘或除以相同的数（0除外）”的认知前奏。【难点】【必考点前延】

（三）学习风格偏好

该年龄段儿童对“规律揭秘”类活动具有天然好奇心，喜欢当“小侦探”；小组合作秩序已初步建立，能够进行分工明确的观察记录。基于此，本导学案舍弃纯习题堆砌，设计为“探究护照”式任务群，以跨学科情境包装抽象规律，让学生在解决真实任务中自然建构模型。

三、课时目标层级体系

（一）下限基准目标（100%学生达成）

通过观察、计算、比较，能用自己的语言说出：一个因数不变，另一个因数乘几（0除外），积也乘几；另一个因数除以几（0除外），积也除以几。能根据规律直接写出变化后的积。【一般·保底】

（二）核心弹性目标（85%学生达成）

能逆向运用规律：已知积的变化和不变的因数，推算另一个因数如何变化；能在半结构化表格中发现缺失数据并依据规律补全；能初步用字母表达式表示规律（如若a×b＝c，则a×（b×m）＝c×m）。【重要·素养进阶】

（三）高阶发展目标（30%学生可达）

能主动提出“为什么要强调0除外”；能将积的变化规律迁移到小数乘整数情境；能发现“当一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（非0）时积不变”的雏形，为商不变性质铺垫；能举例说明生活中利用积的变化规律解决问题的实例。【挑战性·创新延伸】

四、教学重难点的精准锁定与破局策略

（一）核心重点

理解并掌握“一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）几”。【高频考点】【命题焦点】

（二）认知难点

1.从“从上往下看”与“从下往上看”两个维度完整描述规律，尤其是“除以几”时积也除以几的逆向表述。

2.自觉关注“0除外”这一前提条件，避免在后续计算中机械套用。

3.将隐性规律转化为显性解题策略，即不经计算预判积的大小范围。

（三）破局工具箱

4.对比冲突策略：呈现6×2＝12与6×0＝0的对比，制造认知失衡，逼出“0除外”讨论。

5.数轴可视化：将因数变化映射到数轴上点的位置变化，使“扩大”“缩小”具象化。

6.命题辨析卡：设计一组“真假小法官”题目，将包含0的陷阱题与非0题混编，强化条件反射。

五、教学准备与时空架构

（一）教师研备

1.动态PPT：包含隐藏式触发器，先呈现算式组，再逐次放大变化因子。

2.实物教具：杠杆尺模型（一侧挂钩码位置不变，另一侧改变钩码数量或位置，观察平衡状态变化）。

3.跨学科素材包：人民币对美元汇率变化折线图、建筑设计中窗户长宽比例图。

4.导学护照：每生一份任务手册，内含观察记录表、猜想验证区、闯关挑战题。

（二）学生学具

5.常规：练习本、直尺、彩笔。

6.小组共享：空白算式卡片、磁力贴数字牌。

六、教学实施过程全息展开（核心篇幅）

（一）启航·跨学科情境锚定（5分钟）

1.真实场景介入

教师出示“小小建筑事务所”招标公告：要设计一扇长方形窗户，长固定为6分米，宽可以调整。客户要求宽从2分米增加到20分米、200分米，面积分别是多少？你发现了什么？

学生口算得出12、120、1200平方分米。【一般计算能力复现】

2.隐喻联结

教师追问：窗户的长不变，宽变大，面积跟着——学生齐答“变大”。教师将生活语言转化为数学语言：“长不变，宽乘10，面积也乘10。”由此引出课题，并板书核心变量：不变、乘几、也乘几。【课题自然析出】

3.重要等级标注

本环节激活生活经验，将“积的变化”从纯数字堆砌中解脱，建立“变中有不变”的哲学意味。对后续规律抽象具有支架作用。【非常重要·情境锚点】

（二）探秘·结构化材料驱动第一层次（12分钟）

1.观察单组算式，横向提取信息

呈现教材例3第一组：

6×2＝12

6×20＝120

6×200＝1200

任务驱动：不计算，只看因数与积，你发现了什么变化？请在学习单上用箭头和文字记录你的发现。

学生独立观察1分钟，组内交流30秒。

2.典型样本投射

教师选取三类典型记录投影展示：

A类：只写“得数变大了”“多了一个0”；

B类：标注“×10”“×10”对应关系；

C类：写出“一个因数不变，另一个因数×10，积也×10”。

教师组织评议：谁的记录让人一眼看清规律？学生自然聚焦C类。【重要·语言建模】

3.双向扫描

教师引导：刚才我们是从上往下看，因数在乘，积也乘。如果从下往上看呢？

6×200＝1200

6×20＝120

6×2＝12

追问：因数是怎样变化的？积呢？

学生得出：从下往上看，另一个因数除以10，积也除以10。

4.结构化板书

教师在黑板左侧固定区域书写双向箭头模型：

6×2＝12

↓×10↓×10

6×20＝120

↓×10↓×10

6×200＝1200

同时右侧用文字归纳：

一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几。

一个因数不变，另一个因数除以几，积也除以几。

（三）求证·第二组算例与不完全归纳（8分钟）

1.迁移验证

呈现第二组算式，要求学生先不计算，根据刚才发现的规律预测结果，再用竖式验证。

20×4＝80

10×4＝40

5×4＝20

预测环节故意让几个学生“猜错”——例如认为20到10是减10，积也应减40。制造认知冲突后，引导辨析：“除以2”与“减10”的本质区别，强化“倍”的概念。

2.丰富变式

教师现场生成第三组：15×3＝45，15×6＝？15×18＝？不直接给出结果，要求学生说出推理过程：15不变，3×2＝6，所以45×2＝90；3×6＝18，所以45×6＝270。【高频考点·直接运用】

3.不完全归纳宣言

教师总结：刚才我们只观察了三组算式，就敢说“一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几”——这在数学上叫做“归纳”。但归纳不一定永远正确，还需要更多例子。你还能举出这样的例子吗？小组内每人写一组，交叉验证。

此环节培养科学实证态度，不盲从，不武断。【科学精神渗透】

（四）攻坚·“0除外”的自我发现（7分钟）

1.陷阱植入

教师出示反例：6×2＝12，如果另一个因数乘0，6×0＝0，积是0。刚才的规律“积也乘几”在这里还适用吗？12×0＝0，虽然结果对，但“积也乘0”从数学本质上该怎么理解？

部分学生可能认为没问题，教师进一步追问：如果另一个因数除以0呢？6×（2÷0）有意义吗？

2.小组辩论

学生迅速调动已有知识——除数不能为0、因数不能为0乘数？其实乘法中0作因数是可以的，但规律中的“除以几”不能是0。此时教师不直接公布答案，而是让学生讨论：“我们总结规律时，要不要给‘几’加个条件？”

3.共识达成

全班形成共同认识：这里的“几”不能是0，因为除以0没有意义；乘0虽然能计算，但积变成了0，从“变化规律”的角度看属于特殊情况，我们以后研究非0数的变化更有价值。教师板书添加“（0除外）”。【难点爆破成功】

（五）应用·三层进阶闯关（13分钟）

1.基础性过关——直接推理（全体独立完成，对答案互批）

根据每组第一道算式，直接写出下面算式的得数。

18×5＝9025×4＝100

18×20＝？25×8＝？

18×35＝？25×2＝？

命题意图：第一组不仅考×4，还出现×7（非整十整百），强化规律适用于任何整数倍；第二组同时涵盖乘几和除以几。

2.综合性挑战——表格缺项推理（小组合作）

呈现一张不完整的表格，已知其中一个因数固定，积随另一因数变化。部分单元格数据缺失，必须依据规律反推或被推。

|不变因数|变化因数|积|

|--------|--------|------|

|12|6|72|

|12|18|？|

|12|？|36|

|12|3|？|

要求：先判断变化因数是乘几还是除以几，再推算积；或根据积的变化推算因数变化。

此题为【高频考点·逆向思维】。教师巡视，发现典型错误：学生在第三个空（积36）时，误以为72→36是除以2，所以因数也除以2（6→3），正确；但有些学生把“不变因数”也参与变化，需要及时纠正——不变就是绝对不动。

3.拓展性挑战——规律联想与创造

开放题：你能写出一个算式，使它的积是25×12＝300的积的2倍吗？要求：①改变其中一个因数；②两个因数都改变。

第一问几乎全班可达：25×24＝600或50×12＝600。

第二问是【高阶思维挑战】：25×24（仅变第二个）或50×12（仅变第一个）。但题目要求两个因数都变。学生尝试发现：25×2＝50，12×2＝24，50×24＝1200，积是300×4＝1200，不是2倍。由此学生主动生疑：两个因数都乘2，积乘4；要得2倍，可以一个乘2，另一个不变——但那就不是两个都变了。此时教师可浅浅点拨：其实两个都变也能得到2倍，比如一个乘4，另一个除以2，积乘4÷2＝2。不要求全员掌握，只作为思维的磨刀石。【创新意识培养】

（六）跨学科·规律映射真实世界（8分钟）

1.科学镜头：杠杆平衡

教师演示杠杆尺：左侧第2格挂3个钩码，右侧第3格挂2个钩码，平衡。提问：左侧位置和钩码数不变，右侧如果移到第6格（力臂乘2），要挂几个钩码才能平衡？学生依据生活经验和数学规律猜测：1个。教师追问：这正好是积的变化规律——左侧力×力臂＝右侧力×力臂，左侧积不变，右侧力臂乘2，力就要除以2。【热点·STEM教育】

2.财经视角：货币兑换

教师出示汇率表：1美元兑换7元人民币。买5美元需要35元，买10美元需要？元（70元），买20美元？140元。美元数量乘几，人民币数量也乘几。不变的是什么？汇率（每美元兑换人民币数）。数学建模：单价×数量＝总价，单价不变，数量乘几，总价乘几。【跨学科·财经素养】

3.艺术与建筑

展示故宫太和殿立面图，介绍古代建筑常用模数制：斗口尺寸固定，其他构件尺寸是斗口的倍数。数学规律支撑了宏伟建筑的标准化生产。学生感叹数学之用。【文化自信渗透】

（七）反思·知识图谱建构（4分钟）

1.自我提问单

发放便签纸，学生匿名写：今天学的规律叫什么？我觉得最关键要注意什么？我还想问什么？

教师快速浏览，投影典型困惑，当堂解答或作为下节课前铺垫。

2.板书结网

师生合作将黑板上的散落要点用箭头连成网：中心词“积的变化规律”，放射出“不变”、“乘”、“除”、“0除外”、“可正向可逆向”、“生活应用”。【重要·结构化存储】

3.规律儿歌创编

师生共编顺口溜：因数不变是前提，另一乘除要牢记；乘几积也跟着乘，除几积也除几；零要除外不能忘，规律才能用到底。

七、导学案（学生任务单）核心模块设计

本导学案采取“研学护照”形式，每生一份，随课堂进度填写，课后收纳进成长档案。

（一）观察港

呈现教材两组算式及一组自编算式，留白供学生画箭头、写发现。右侧设有“我的猜想”栏目，要求用“如果…那么…”句式写一句话。【语言智能训练】

（二）验证岛

提供空白计算格，供学生验证自己举出的例子。下方设有“反驳区”：你能找到一个让规律不成立的例子吗？引导0除外发现。

（三）闯关谷

设置三个星级任务。

★级：直接根据已知算式写积（8小题，纯正向）；

★★级：表格推理，含逆向求因数（4空）；

★★★级：两道生活情境题——①买篮球，单价不变，数量变为3倍，总价怎样变？②高铁速度不变，时间缩短一半，路程怎样变？

（四）反思湾

半开放式填空：今天我发现，积的变化规律其实就是在说（）和（）的dance（舞蹈），一个（），另一个就（）。用比喻总结规律，降低认知负荷，增加趣味。

八、形成性评价与补救策略

（一）嵌入式观察点

1.在“探秘·第一层次”环节，记录哪些学生能自发使用“×10”“÷10”符号，哪些仍在用“增加0”“减少0”的生活语言，后者需要在后续练习中强化“倍”的概念。

2.在“0除外辩论”环节，关注主动提出“0不能作除数”的学生，这些学生具有极强的前瞻性认知，可作为小组领袖。

（二）课后短测（2分钟）

3.根据24×3＝72，直接写24×9＝？24×30＝？

4.根据120×5＝600，直接写60×5＝？（考察除以2）

5.判断：一个因数乘5，另一个因数除以5，积不变。（选做）

（三）补救工具箱

针对无法正确描述“除以几”的学生，提供数轴纸片，将乘法视为“几个相同加数的和”，因数缩小，加数个数减少，和自然缩小；针对总是忘记“0除外”的学生，发放“警戒小书签”，手绘0被划掉的表情包，贴在数学书首页。

九、板书生态设计

（黑板左侧）固定保留区：

6×2＝12规律一：一个因数不变，另一个因数乘几（0除外），积也乘几。

×10×10

6×20＝120规律二：一个因数不变，另一个因数除以几（0除外），积也除以几。

×10×10

6×200＝1200

（黑板右侧）动态生成区：

学生举例粘