2026年福建省人教版高中数学必修2第7章函数性质与应用练习题

2026年福建省人教版高中数学必修2第7章函数性质与应用练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x+1，则f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别为（）A.8和-4B.8和-8C.4和-4D.4和-8解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=2，故最大值为3，最小值为-4，正确选项为C。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数f(x)在x=-2处取得最小值3，正确选项为C。3.若函数f(x)=x²+2ax+3在x=1处取得极小值，则a的值为（）A.-1B.1C.-2D.2解析：f'(x)=2x+2a，f'(1)=0得a=-1，且f''(1)=2>0，故a=-1正确。4.函数f(x)=ln(x²-2x+3)在区间(0,3)上的单调递增区间为（）A.(0,1)B.(1,3)C.(0,1)和(1,3)D.(0,3)解析：y'=2x-2/(x²-2x+3)，令y'>0得x>1，正确选项为B。5.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A.eB.1/eC.2eD.2解析：f'(x)=e^x-a，f'(1)=0得a=e，且f''(1)=e>0，故a=e正确。6.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0得x=0或2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，故有3个零点，正确选项为C。7.函数f(x)=x/(x²+1)在区间(-∞,0)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：y'=-x²/(x²+1)²<0，故在(-∞,0)上单调递减，正确选项为B。8.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最大值为（）A.1B.√2C.√3D.2解析：y'=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)，令y'=0得x=π/6，f(π/6)=√3/2+1/2=√3，正确选项为C。9.函数f(x)=x³-3x+1的拐点坐标为（）A.(0,1)B.(1,1)C.(-1,3)D.(1,-1)解析：y'=3x²-3，y''=6x，令y''=0得x=0，f(0)=1，拐点为(0,1)，正确选项为A。10.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图像关于（）对称A.x=0B.x=1C.x=-1D.y轴解析：f(x)在x=-1处取得最小值2，图像关于x=-1对称，正确选项为C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值为______，最小值为______参考答案：3，-4解析：f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=2，最大值为3，最小值为-4。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为______参考答案：3解析：f(x)在x=-2处取得最小值3。3.函数f(x)=x²+2ax+3在x=1处取得极小值，则a=______参考答案：-1解析：f'(x)=2x+2a，f'(1)=0得a=-1，且f''(1)=2>0。4.函数f(x)=ln(x²-2x+3)在区间(0,3)上的单调递增区间为______参考答案：(1,3)解析：y'=2x-2/(x²-2x+3)，令y'>0得x>1。5.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a=______参考答案：e解析：f'(x)=e^x-a，f'(1)=0得a=e，且f''(1)=e>0。6.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的零点个数为______参考答案：3解析：f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，有3个零点。7.函数f(x)=x/(x²+1)在区间(-∞,0)上的单调性为______参考答案：单调递减解析：y'=-x²/(x²+1)²<0。8.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最大值为______参考答案：√3解析：f(π/6)=√3/2+1/2=√3。9.函数f(x)=x³-3x+1的拐点坐标为______参考答案：(0,1)解析：y''=6x，令y''=0得x=0，f(0)=1。10.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图像关于______对称参考答案：x=-1解析：f(x)在x=-1处取得最小值2，图像关于x=-1对称。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在区间[-1,1]上的最大值和最小值分别为2和-2。（×）解析：f(1)=1，f(-1)=-1，最大值为1，最小值为-1。2.函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上单调递增。（×）解析：在(-1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增。3.函数f(x)=x²-4x+3在x=2处取得极小值。（√）解析：f'(x)=2x-4，f'(2)=0，且f''(2)=2>0。4.函数f(x)=ln(x²+1)在区间(-∞,0)上单调递减。（√）解析：y'=-2x/(x²+1)<0。5.函数f(x)=e^x在任意区间上均无极值。（√）解析：y'=e^x>0，故无极值。6.函数f(x)=x³-3x+1的图像关于原点对称。（×）解析：f(-x)=-x³+3x-1≠-f(x)。7.函数f(x)=|x-1|+|x+1|在区间[-1,1]上恒为2。（√）解析：f(x)在[-1,1]上恒为2。8.函数f(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,2π]上的最大值为√2。（√）解析：f(π/4)=√2，且f'(x)=cos(x)-sin(x)，f'(π/4)=0。9.函数f(x)=x³-3x+2的拐点坐标为(1,0)。（×）解析：y''=6x，令y''=0得x=0，f(0)=2，拐点为(0,2)。10.函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上连续但不可导。（√）解析：在x=0处不可导。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2的极值点及极值。参考答案：极小值点x=2，极小值f(2)=-2；极大值点x=0，极大值f(0)=2。解析：f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0得x=0或2，f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0。2.求函数f(x)=x/(x²+1)的单调区间。参考答案：在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减，在(-1,1)上单调递增。解析：y'=-x²/(x²+1)²，令y'>0得-1<x<1。3.求函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最大值。参考答案：√3解析：f(π/6)=√3/2+1/2=√3。4.求函数f(x)=x³-3x+1的拐点坐标。参考答案：(0,1)解析：y''=6x，令y''=0得x=0，f(0)=1。5.求函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图像对称轴。参考答案：x=-1解析：f(x)在x=-1处取得最小值2，图像关于x=-1对称。6.求函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值时a的值。参考答案：e解析：f'(x)=e^x-a，f'(1)=0得a=e，且f''(1)=e>0。7.求函数f(x)=ln(x²-2x+3)在区间(0,3)上的单调递增区间。参考答案：(1,3)解析：y'=2x-2/(x²-2x+3)，令y'>0得x>1。8.求函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的零点个数。参考答案：3解析：f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，有3个零点。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，总成本函数为C(x)=x²+10x+100（x为产量），求边际成本函数，并求产量为10时的边际成本。参考答案：边际成本函数C'(x)=2x+10，产量为10时的边际成本为30。解析：边际成本函数为C'(x)=2x+10，C'(10)=30。2.某商品的需求函数为p=50-2q（p为价格，q为需求量），求收益函数R(q)及其边际收益函数，并求需求量为10时的边际收益。参考答案：收益函数R(q)=50q-2q²，边际收益函数R'(q)=50-4q，需求量为10时的边际收益为30。解析：R(q)=pq=50q-2q²，R'(q)=50-4q，R'(10)=30。3.某公司生产某种产品，总收益函数为R(x)=100x-0.01x²（x为销量），求边际收益函数，并求销量为1000时的边际收益。参考答案：边际收益函数R'(x)=100-0.02x，销量为1000时的边际收益为80。解析：R'(x)=100-0.02x，R'(1000)=80。4.某商品的需求函数为p=100-0.5q，求当需求量为40时的弹性需求。参考答案：弹性需求为-0.5解析：需求弹性E=-0.5q/p=-0.540/50=-0.4。5.某产品的成本函数为C(x)=x²+20x+500，求当产量为50时的平均成本。参考答案：平均成本为70解析：平均成本C(x)/x=x+20+500/x，C(50)=70。6.某商品的需求函数为p=80-0.1q，求当需求量为100时的边际收益。参考答案：边际收益为70解析：R'(q)=80-0.2q，R'(100)=70。7.某工厂生产某种产品，总成本函数为C(x)=x²+5x+100，求当产量为20时的边际成本。参考答案：边际成本为45解析：C'(x)=2x+5，C'(20)=45。8.某商品的需求函数为p=60-0.05q，求当需求量为200时的弹性需求。参考答案：弹性需求为-0.5解析：需求弹性E=-0.05q/p=-0.05200/60=-0.1667≈-0.5。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.C3.A4.B5.A6.C7.B8.C9.A10.C解析：2.f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=2，最大值为3，最小值为-4。3.f(x)在x=-2处取得最小值3。4.f'(x)=2x+2a，f'(1)=0得a=-1，且f''(1)=2>0。5.y'=2x-2/(x²-2x+3)，令y'>0得x>1。6.f'(x)=e^x-a，f'(1)=0得a=e，且f''(1)=e>0。7.f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，有3个零点。8.y'=-x²/(x²+1)²<0。9.f(π/6)=√3/2+1/2=√3。10.y''=6x，令y''=0得x=0，f(0)=1。11.f(x)在x=-1处取得最小值2，图像关于x=-1对称。二、填空题1.3，-42.33.-14.(1,3)5.e6.37.单调递减8.√39.(0,1)10.x=-1三、判断题1.×22.×23.√24.√25.√26.×27.√28.√29.×30.√解析：2.f(1)=1，f(-1)=-1，最大值为1，最小值为-1。3.在(-1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增。4.f'(x)=2x-4，f'(2)=0，且f''(2)=2>0。5.y'=-2x/(x²+1)<0。6.y'=e^x>0，故无极值。7.f(-x)=-x³+3x-1≠-f(x)。8.f(x)在[-1,1]上恒为2。9.f(π/4)=√2，且f'(x)=cos(x)-sin(x)，f'(π/4)=0。10.y''=6x，令y''=0得x=0，f(0)=2，拐点为(0,2)。11.在x=0处不可导。四、简答题1.极小值点x=2，极小值f(2)=-2；极大值点x=0，极大值f(0)=2。解析：f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0得x=0或2，f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0。2.在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减，在(-1,1)上单调递增。解析：y'=-x²/(x²+1)²，令y'>0得-1<x<1。3.√3解析：f(π/6)=√3/2+1/2=√3。4.(0,1)解析：y''=6x，令y''=0得x=0，f(0)=1。5.x=-1解析：f(x)在x=-1处取得最小值