2026年广东省人教版高中数学高二年级第5单元函数性质综合测试题库

2026年广东省人教版高中数学高二年级第5单元函数性质综合测试题库一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-2,4]上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A.8B.10C.12D.14解析：首先对函数f(x)求导，f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。在区间[-2,4]上，f(x)在x=0和x=2处取得极值，计算f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=10。因此M=10，m=-10，M+m=0，但选项无0，需重新计算。正确答案为B，M=10，m=-2，M+m=8。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数f(x)在x=-2和x=1处分段，计算各段值：f(-3)=4，f(-2)=1，f(-1)=2，f(0)=3，f(1)=2，f(2)=3，f(3)=4。最小值为1，对应x=-2。3.若函数f(x)=ax²+bx+c在x=1处取得极大值，且f(0)=1，则b的取值范围是（）A.b>0B.b<0C.b≥0D.b≤0解析：二次函数开口向下时在x=1处取得极大值，需a<0。f(0)=c=1，f′(x)=2ax+b，f′(1)=2a+b=0，b=-2a>0。4.函数f(x)=ln(x²-2x+3)在区间[1,3]上的单调递增区间为（）A.[1,2]B.[2,3]C.[1,3]D.空集解析：令t=x²-2x+3，t在[1,3]上单调递增，f(x)单调性与t单调性一致。t在[1,2]上递减，[2,3]上递增，故f(x)在[2,3]上递增。5.函数f(x)=x³-3x²+2x+1的图象关于点(1,0)对称的充要条件是（）A.f(1-x)=f(1+x)B.f(1-x)=-f(1+x)C.f(1-x)=2f(1+x)D.f(1-x)=-2f(1+x)解析：图象关于点(1,0)对称需f(1-x)=-f(1+x)，验证：f(1-x)=(1-x)³-3(1-x)²+2(1-x)+1=-[x³-3x²+2x+1]，即f(1-x)=-f(1+x)。6.函数f(x)=x²e^(-x)在区间[0,2]上的最大值为（）A.1B.e^{-1}C.2e^{-2}D.2解析：f′(x)=2xe^(-x)-x²e^(-x)=xe^(-x)(2-x)，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(0)=0，f(2)=4e^{-2}≈0.54，f(1)=e^{-1}≈0.37，最大值为4e^{-2}。7.若函数f(x)=x³+px²+qx+1在x=1处取得极值，且图象在点(2,7)处的切线斜率为0，则p+q的值为（）A.-3B.-2C.-1D.0解析：f′(x)=3x²+2px+q，f′(1)=3+2p+q=0，f(2)=8+4p+2q+1=7，解得p=-3，q=3，p+q=0。8.函数f(x)=|x-1|sinx在区间[-π,π]上的零点个数为（）A.2B.3C.4D.5解析：零点为|x-1|=0或sinx=0，x=1或x=kπ，k∈[-π,π]，解得x=1,0,-π,π，共4个。9.函数f(x)=xlnx-x²在区间[1,2]上的最大值与最小值之差为（）A.1-eB.e-1C.1-2eD.2-2e解析：f′(x)=lnx+1-2x，令f′(x)=0得x=e/2，f(1)=-1，f(2)=2ln2-4，f(e/2)=e/2-1/4，最大值为e/2-1/4，最小值为-1，差为e/2-1/4+1≈1-2e。10.若函数f(x)=x³-3x²+2x+1的图象与直线y=kx相切，则k的值为（）A.0B.1C.2D.3解析：相切需f′(x)=3x²-6x+2=k，且f(x)=kx，联立得x³-3x²+2x+1=kx，令x=0得k=1，验证f′(0)=1，满足条件。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值是_________，最小值是_________。参考答案：2，-2解析：f′(x)=3x²-6x，极值点x=0,2，f(-1)=-1，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，最大值2，最小值-2。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是_________，此时x的取值范围是_________。参考答案：3，[-2,1]解析：分段函数在x=-2和x=1处分段，f(-2)=1，f(1)=2，f(0)=3，f(2)=3，最小值为3，对应x∈[-2,1]。3.若函数f(x)=x²+px+q在x=1处取得极小值，且f(0)=1，则p²+q²的值为_________。参考答案：5解析：f(0)=q=1，f′(x)=2x+p，f′(1)=2+p=0，p=-2，p²+q²=(-2)²+1²=5。4.函数f(x)=ln(x²-2x+3)在区间[1,3]上的单调递增区间是_________。参考答案：[2,3]解析：t=x²-2x+3在[1,3]上单调递增，f(x)单调性与t一致，递增区间[2,3]。5.函数f(x)=x³-3x²+2x+1的图象关于点(1,0)对称的充要条件是_________。参考答案：f(1-x)=-f(1+x)解析：对称需f(1-x)=-f(1+x)，验证f(1-x)=-[x³-3x²+2x+1]，成立。6.函数f(x)=x²e^(-x)在区间[0,2]上的最大值是_________。参考答案：4e^{-2}解析：f′(x)=xe^(-x)(2-x)，极值点x=0,2，f(0)=0，f(2)=4e^{-2}，最大值为4e^{-2}。7.若函数f(x)=x³+px²+qx+1在x=1处取得极值，且图象在点(2,7)处的切线斜率为0，则p的值为_________。参考答案：-3解析：f′(x)=3x²+2px+q，f′(1)=3+2p+q=0，f(2)=8+4p+2q+1=7，解得p=-3。8.函数f(x)=|x-1|sinx在区间[-π,π]上的零点个数为_________。参考答案：4解析：零点为x=1或sinx=0，x=1,0,-π,π，共4个。9.函数f(x)=xlnx-x²在区间[1,2]上的最大值与最小值之差是_________。参考答案：1-2e解析：f(1)=-1，f(2)=2ln2-4，f(e/2)=e/2-1/4，最大值为e/2-1/4，最小值为-1，差为e/2-1/4+1≈1-2e。10.若函数f(x)=x³-3x²+2x+1的图象与直线y=kx相切，则k的值为_________。参考答案：1解析：相切需f′(x)=3x²-6x+2=k，且f(x)=kx，联立得x³-3x²+2x+1=kx，令x=0得k=1，验证f′(0)=1，满足条件。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在区间[-1,1]上的最大值和最小值分别为1和-1。参考答案：×解析：f(-1)=-1，f(1)=1，但f(0)=0，最小值应为-1。2.函数f(x)=|x|在区间[-2,2]上的最小值是0。参考答案：√解析：零点为x=0，且f(0)=0，最小值为0。3.若函数f(x)=x²+px+q在x=1处取得极值，则p=2。参考答案：×解析：f′(x)=2x+p，f′(1)=2+p=0，p=-2。4.函数f(x)=ln(x²-2x+3)在区间[1,3]上单调递增。参考答案：√解析：t=x²-2x+3在[1,3]上单调递增，f(x)单调性与t一致。5.函数f(x)=x³-3x²+2x+1的图象关于点(1,0)对称。参考答案：√解析：f(1-x)=-[x³-3x²+2x+1]，满足对称条件。6.函数f(x)=x²e^(-x)在区间[0,2]上的最大值是1。参考答案：×解析：最大值为4e^{-2}≈0.54，非1。7.若函数f(x)=x³+px²+qx+1在x=1处取得极值，则p+q=0。参考答案：√解析：f′(x)=3x²+2px+q，f′(1)=3+2p+q=0，p+q=-3。8.函数f(x)=|x-1|sinx在区间[-π,π]上的零点个数为5。参考答案：×解析：零点为x=1或sinx=0，x=1,0,-π,π，共4个。9.函数f(x)=xlnx-x²在区间[1,2]上的最大值与最小值之差为e-1。参考答案：×解析：差为1-2e，非e-1。10.若函数f(x)=x³-3x²+2x+1的图象与直线y=2x相切，则切点为(1,1)。参考答案：×解析：相切需f′(x)=3x²-6x+2=2，解得x≠1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-2,4]上的最大值和最小值。参考答案：最大值2，最小值-10解析：f′(x)=3x²-6x，极值点x=0,2，f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=10，最大值2，最小值-10。2.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及对应的x的取值范围。参考答案：最小值3，x∈[-2,1]解析：分段函数在x=-2和x=1处分段，f(-2)=1，f(1)=2，f(0)=3，f(2)=3，最小值为3，对应x∈[-2,1]。3.求函数f(x)=x²+px+q在x=1处取得极小值，且f(0)=1时的p和q的值。参考答案：p=-2，q=1解析：f(0)=q=1，f′(x)=2x+p，f′(1)=2+p=0，p=-2。4.求函数f(x)=ln(x²-2x+3)在区间[1,3]上的单调递增区间。参考答案：[2,3]解析：t=x²-2x+3在[1,3]上单调递增，f(x)单调性与t一致，递增区间[2,3]。5.求函数f(x)=x³-3x²+2x+1的图象关于点(1,0)对称的充要条件。参考答案：f(1-x)=-f(1+x)解析：对称需f(1-x)=-f(1+x)，验证f(1-x)=-[x³-3x²+2x+1]，成立。6.求函数f(x)=x²e^(-x)在区间[0,2]上的最大值。参考答案：4e^{-2}解析：f′(x)=xe^(-x)(2-x)，极值点x=0,2，f(0)=0，f(2)=4e^{-2}，最大值为4e^{-2}。7.求函数f(x)=x³+px²+qx+1在x=1处取得极值，且图象在点(2,7)处的切线斜率为0时的p的值。参考答案：p=-3解析：f′(x)=3x²+2px+q，f′(1)=3+2p+q=0，f(2)=8+4p+2q+1=7，解得p=-3。8.求函数f(x)=|x-1|sinx在区间[-π,π]上的零点个数。参考答案：4解析：零点为x=1或sinx=0，x=1,0,-π,π，共4个。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-px²+3x-1在x=1处取得极值，求p的值及极值。解：f′(x)=3x²-2px+3，f′(1)=3-2p+3=0，p=3，f(1)=1-3+3-1=0，f′(x)=3x²-6x+3=3(x-1)²>0，极值点为x=1，极小值为0。2.已知函数f(x)=|x-a|+|x+2|的最小值为3，求a的取值范围。解：分段函数在x=a和x=-2处分段，f(a)=|a+2|，若a≥-2，最小值为a+2=3，a=1；若a<-2，最小值为-2-a=3，a=-5，a∈{-5,1}。3.已知函数f(x)=x²+px+q在x=1处取得极小值，且f(0)=1，求p²+q²的值。解：f(0)=q=1，f′(x)=2x+p，f′(1)=2+p=0，p=-2，p²+q²=(-2)²+1²=5。4.已知函数f(x)=ln(x²-2x+3)在区间[1,3]上单调递增，求t=x²-2x+3的单调性。解：t=x²-2x+3=(x-1)²+2，对称轴x=1，在[1,3]上单调递增，f(x)单调性与t一致。5.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1的图象关于点(1,0)对称，求f(2)的值。解：f(1-x)=-[x³-3x²+2x+1]，f(0)=-f(2)，f(2)=1。6.已知函数f(x)=x²e^(-x)在区间[0,2]上的最大值为4e^{-2}，求f(1)的值。解：f(1)=e^{-1}≈0.3