离散型随机变量的均值

7.3.1离散型随机变量的均值

一、内容与内容解析

1.内容：离散型随机变量均值的定义，随机变量的均值与样本均值的联系与区别，离散型随机变

量均值的性质，利用组合数解决实际问题.

2.内容解析：

（1）离散型随机变量均值的定义：

我们的目的是构造一个数值，用来描述随机变量取值的平均水平.设取有限个值的离散型随机变

量X,它的分布列为Pi=P（X=Xi）,i=l,2,…，n.可以直接构造以口为Xi的权重:的加权平均数E:iXiPi，

来描述X取值的平均水平.由于随机变量的均值和方差都是度量性的概念，而度量因比较而产生，因

此教科书并未直接给出均值的定义，而是以比较两名运动员的射箭水平为问题情境，以频率稳定到

概率为依据，由x观测值的频率分布稳定到x的分布列，观测值的平均数（样本均值）稳定到

将样本均值的稳定值定义为随机变量的均值.这种方法揭示了样本均值与随机变量均值（总体均值）

的关系，为用样本均值估计随机变量均值提供了依据.随机变量的均值（数学期望）是样本均值的

稳定值，它是客观存在的.如果随机变量的分布列已知，期望值唯一确定；如果随机变量的分布列

未知，可由样本均值进行估计.

（2）随机变量的均值与样本均值的联系与区别：

了解随机变最均值与样本均值的关系，可以进一步深入理解随机变最均值的意义.为此教科书

设置了一个观察栏目，以掷骰子为例，已知出现点数X的均值为3.5,利用计算机模拟掷骰子重复

60次和300次的试验各进行6组，用图形表示掷出点数的平均数.观察图形可以看到掷出点数的平

均数具有随机性，但随着试验次数的增大，点数的平均数逐渐稳定到3.5实际上，频率稳定到概率

是样本均值稳定到随机变量均值的特殊情形.在教学中，还可以再多进行几次模拟试验，类比事件

的频率稳定到概率，了解样本均值的特点及其与随机变量均值的关系.

（3）离散型随机变量均值的性质：随机变量的均值有许多性质，我们主要研究其线性运算性质

E（aX+b）=aE（X）+b.该性质根据定义不难直接证明.在教学中，可引导学生类比平均数的性质或根据

均值的意义，先猜出结果再计算证明.在后面的学习中，包括求随机变量的均值、方差及探究方差

的性质，都可以进行这方面的训练，这是培养学生直观想象素养的重要途径.

在教学中，教师可根据学情向学生提出以下问题：设X,Y都是离散型随机变最，如何求E（X十

Y）?让学生根据均值的意义：猜出结果.也可以进行掷两枚般子的试验，通过求点数之和X十Y

的均值，发现结论.一般地，有E（X+Y尸E（X）+E（Y）.

（4）利用均值解决实际问题：

本节课是前面学习完随机变量分布列的基础上进行研究的，知识上具有着承前启后的作用.随机

变量的均值和方差是概率论和数理统计的重要概念，本节课是从实际出发，通过抽象思维：建立数

学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程.

3.教学重点：离散型随机变量均值的意义、性质及应用.

二、目标与目标解析

1.目标：

（1）理解离散型随机变量的均值的意义和性质.

（2）能够根据离散型随机变量的分布列求出均值.

（3）运用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.

2.目标解析：

达成上述目标的标志是：

（1）能根据定义求解离散型随机变量的均值.

（2）能掌握两个随机变量的均值公式，并熟练求解.

（3）可以快速有效的解决常见离散型随机变量的均值应用问题.

三、教学问题诊断解析

1.问题诊断：

（1）让学生理解离散型随机变量均值的定义是教学的难点.实际上我们构造了一个数值，月来描述

随机变量取值的平均水平.因为随机变量的均值（数学期望）是样本均值的稳定值，它是客观存在的，

学生如果不能体会到为什么引入权重计算加权平均数，不明白为什么要学习离散型随机变量均值，

可能会产生对定义公式的陌生感.

解决方案：以比较两名运动员的射箭水平为具体的问题情境，通过比较两名运动员的射箭成绩均值，

从而感知引入均值概念的必要性.

（2）让学生体会随机变量的均值与样本均值的联系与区别是第二个教学问题，也是教学的难点.了

解随机变量均值与样本均值的关系，可以进一步深入理解随机变量均值的意义.随机变量的均值（数

学期望）是样本均值的稳定值，它是客观存在的.如果随机变量的分布列已知，期望值唯一确定；

如果随机变量的分布列未知，可由样本均值进行估计.

解决方案：在教学中，还可以多进行几次模拟试验，类比事件的频率稳定到概率，了解样本均值的

特点及其与随机变量均值的关系.

2.教学难点：对离散型随机变量均值的意义的理解.

四、教学支持条件

希沃白板软件

三、典例解析

例1.在篮球比赛中，罚球命中1次得I分,不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚

球1次的得分X的均值是多少？

分析:罚球有命中和不中两种可能结果,命中时X=l,不中时XW),因此随机变量X服从两点分布,X的均

值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平.

解：因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,

所以E(X)=1xP(X=l)-0xP(X=0)=lx0.8+0x0.2=0.8

即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.

一般地，如果随机变量X股从两点分布，

那么：£(X)=1xp+0x(1-p)=p.

X10

PP1-P

设计意图：例1的教学重点是通过教学活动使学生认识到，对于一般的0-1分布，均值就是事件A

的概率，样本均值是事件A发生的频率.

例2.抛掷•枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X,求X的均值.

分析:先求出X的分布列，再根据定义计算X的均值.

解：X的分布列为P(X=k)=345.6

6

因此,E(X)=31+2+3+4+5+6)=35

求离散型随机变量X的均值的步骤：

(I)理解X的实际意义，写出X全部可能取值；

(2)求出X取每个值时的概率；

(3)写出X的分布列(有时也可省略)；

(4)利用定义公式E(X)=求出均值

探究2.已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示.

设Q,b都是实数且QH0,,则Y=QX+b也是一个随机变量，那么，这两个随机变量的均值之间

有什么联系呢？

离散型随机变量的均值的性质

若x,y是两个随机变量，且y=ax+〃，则有E(y)=,回％)+儿即随机变量x的线性函数的均值等于这个随

机变量的均值E(x)的同一线性函数.特别地：

(1)当。=0时方S)="即常数的均值就是这个常数本身.

(2)当4=1时,E(X+〃)=E(X)+"即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和.

(3)当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积.

例3:猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的

歌名相互独立，猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如卜表所示：

规则如下：按照A,B,C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公

益基金总额X的分布列及均值.

歌曲ABC

猜对的概率0.80.60.4

获得的公益基金额/元100020003000

解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立P(X=0)=P(彳)=0.2,

P(X=1000)=P(丽=0.8X0.4=0.32,

P(X=3000)=P(4画=0.8x0.6x0.6=0.288,

(X=6(X)O)=(/l^C)=O.8xO.6xO.4=O.l92.

X的分布列如下表所示：

X0100040006000

P0.20.480.1280.192

X的均值为E(X)=0x0.2+100()x0.32+30()0x0.288+6000x().192=2336.

思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公

益基金均值最大？

解：如果按分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B.C歌名的事件，

A,B,C相互独立；(X=0尸(m=0.2,

(X=1000)=(的=0.8x0.4=0.32,

P(X=3000)=P(24CF)=0.8X0.4X0.4=0.128,

(X=6000)=(/lCB)=0.8x0.4x0.6=0.192.

X的分布列如下表所示：

X0100030006000

P0.20.320.2880.192

X的均值为E(X)=0x0.2+1000x0.48+4000x0.128+6000x0.192=2144.

猜歌顺序E(X)/元猜歌顺序E(X)/元

按由易到难的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值最大

设计意图：通过解决实际问题，了解风险决策的原则及一般方法.对于例3,选择不同的猜歌顺序，X

的分布列是不同的，不能直接进行比较，所以决策的原则是选择期望值E(X)大的猜歌顺序，这称为

期望值原则.猜对的概率大表示比较容易猜，猜对的概率小表示比较难猜.对于教科书边空中的问

题，可以让学生列出所有不同的猜歌顺序，分别求出X的分布列和均值，通过比较进行验证.实际

上，猜3首歌有6种不同的顺序，不同顺序及其E(X)如表所示.

例4.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上

有一台大型设备，遇到大洪水时要损失6000。元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以

下三种方案：

方案1：运走设备，搬运费为3800元.

方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水.

方案3：不采取措施，希望不发生洪水.

工地的领导该如何决策呢？

解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为XLX2,X3.

采用方案1,无论有无洪水，都损失3800元因此,P(X1=3800)=1.

采用方案2,遇到大洪水时，总损失为2000+6000=62000元;没有大洪水时，总损失为2000元，

因此,P(X2=620(X))=0.01,P(X2=2(X)0)=0.99.

采用方案3,P(X3=60000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.

天气状况

大洪水小洪水没有洪水

概率P0.010.250.74

总损方案1X.380038003800

失/元十⑶

方案2X26200020(X)2000

方案3X360000100000

于是,E(X1)=3800,

E(X2)=62000x0.01+2000x0.99=2600,

E(X3)=60000x0.01+10000x0.25+0x0.74=3100.

因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2.

如果问题中的天气状况多次发生,那么采用方案2能使总损失减到最小，

不过，因为洪水发生的随机性，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的.

设计意图：例4也是利用期望值决策的问题.在教学中，重点是使学生领悟利用期望值决策的思想

方法，同时也要了解期望值决策的局限性.随机变量