随机过程期末试题及全解答案

随机过程期末试题及全解答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设{X(t),t≥0}是随机过程，若对于任意t1,t2∈[0,∞)和任意h>0，有P{X(t1+h)-X(t1)|F(t1)}=P{X(t2+h)-X(t2)|F(t2)},其中F(t)是过程{X(t)}到时间t为止所生成的σ域，则称{X(t)}是（）。A.独立增量过程B.马尔可夫过程C.平稳过程D.各态历经过程2.设随机过程{X(t)}的均值函数为μX(t)=e^(at)，协方差函数Cov(X(t),X(t+s))=e^(a|t-s|)，其中a为常数，则{X(t)}是（）。A.强平稳过程B.宽平稳过程C.马尔可夫过程D.以上均不是3.设{X(t),t≥0}是参数为λ的泊松过程，Y(t)=X(t)-X(t-1)，则{Y(t)}是（）。A.参数为λ的泊松过程B.参数为λe^(-2λt)的泊松过程C.独立增量过程D.马尔可夫过程4.设随机过程{X(t)}的均值函数μX(t)与协方差函数Cov(X(t),X(t+s))仅依赖于时间差τ=t-s，则称{X(t)}是（）。A.独立增量过程B.马尔可夫过程C.平稳过程D.各态历经过程5.设随机过程{X(t)}是均值为零的宽平稳过程，其自相关函数R_X(t,t+s)=σ^2*e^(-|s|/T)，其中σ^2和T为常数，则E[X(t)^2]=（）。A.0B.σ^2C.σ^2*e^(-1/T)D.σ^2*e^(1/T)二、填空题（每小题4分，共20分。将答案填在题中横线上。）1.设随机过程X(t)=A*cos(ωt+Θ)，其中A是均值为1、方差为2的随机变量，ω和Θ是相互独立的随机变量，且Θ均匀分布在(0,2π)上，ω是一个固定的非零常数。则X(t)的均值函数μX(t)=_______，自相关函数R_X(t1,t2)=_______。2.设{X(t),t≥0}是参数为λ的Wiener过程（布朗运动），Y(t)=X(t)^2。则E[Y(t)]=_______，E[Y'(t)]=_______（其中Y'(t)是Y(t)关于t的导数，若存在）。3.设随机过程{X(t)}的均值函数为μX(t)=1+sin(t)，自相关函数为R_X(t1,t2)。若{X(t)}是宽平稳过程，则R_X(t1,t2)=_______。4.设{X(t),t≥0}是马尔可夫过程，其状态空间为{1,2,3}，转移概率矩阵为P=[[0.8,0.1,0.1],[0.2,0.7,0.1],[0.1,0.2,0.7]]。则P(X(3)=2|X(0)=1)=_______。5.设{X(t)}是平稳过程，其自相关函数R_X(τ)=4*e^(-|τ|/2)。则X(t)的均值E[X(t)]=_______，其实际功率（均方值）E[X(t)^2]=_______。三、计算题（每小题8分，共24分。）1.设随机过程X(t)=Y*e^(at)，其中a为常数，Y是均值为0、方差为σ^2的随机变量，且t≥0时，Y与t无关。证明{X(t)}是宽平稳过程。2.设{X(t),t≥0}是参数为λ的泊松过程。令Y(t)=X(t)-λt。证明{Y(t)}是宽平稳过程，并求其自相关函数。3.设随机过程{X(t)}的均值函数μX(t)=0，自相关函数R_X(t1,t2)=min(t1,t2)。求E[X(1)*X(2)]。四、证明题（每小题10分，共20分。）1.设{X(t),t≥0}是随机过程，其均值函数μX(t)和自相关函数R_X(t1,t2)均存在且满足：对于任意t1,t2≥0，有R_X(t1,t2)=R_X(t1+τ,t2+τ)。证明：{X(t)}是宽平稳过程。2.设{X(t),t≥0}是马尔可夫过程，其状态空间为S。证明：对于任意t1<t2<t3，有P(X(t3)|X(t2),X(t1))=P(X(t3)|X(t2))。五、应用题（10分。）设一个粒子在一条直线上运动，每秒钟移动一次，移动方向（向左或向右）是随机的，每次移动的距离为1个单位。假设在时刻0，粒子位于原点。记X(t)为时刻t时粒子的位置。假设过程{X(t),t≥0}是齐次马尔可夫链，状态空间为整数集合Z。写出该过程的转移概率矩阵P，并说明该过程是否是各态历经的，简要说明理由。试卷答案一、单项选择题1.B2.B3.C4.C5.B二、填空题1.0,σ^2*e^(-|s|/T)2.λt,2λ3.1*cos(t1-t2)4.0.15.0,4三、计算题1.证明思路：计算均值函数μX(t)=E[Y*e^(at)]。由于Y与t无关，利用期望的线性性质和指数函数的期望公式（对于均值为0的随机变量Y，E[e^(aY)]=e^(a^2Var(Y)/2)），得到μX(t)=0。接着计算自相关函数R_X(t1,t2)=E[X(t1)*X(t2)]=E[Y*e^(at1)*Y*e^(at2)]=E[Y^2]*e^(a(t1+t2))=σ^2*e^(a(t1+t2))。由于自相关函数仅依赖于时间差τ=t1-t2，且均值函数为0，故{X(t)}是宽平稳过程。2.证明思路：计算均值函数μY(t)=E[X(t)-λt]=E[X(t)]-λt=λt-λt=0。接着计算自相关函数R_Y(t1,t2)=E[(X(t1)-λt1)(X(t2)-λt2)]=E[X(t1)X(t2)]-λE[X(t1)t2]-λE[X(t2)t1]+λ^2t1t2。利用泊松过程的独立增量性和平稳增量性，E[X(t1)X(t2)]=λt1+λt2（当t1>t2时），E[X(t1)X(t2)]=λt2+λt1（当t2>t1时），即E[X(t1)X(t2)]=λmin(t1,t2)。又E[X(t1)t2]=λt2E[1]=λt2，E[X(t2)t1]=λt1E[1]=λt1。代入上式得R_Y(t1,t2)=λmin(t1,t2)-λt2-λt1+λ^2t1t2=λ(min(t1,t2)-t1-t2+λt1t2)。当t1>t2时，R_Y(t1,t2)=λ(t2-t1-t2+λt1t2)=λ(λt1t2-t1)。当t2>t1时，R_Y(t1,t2)=λ(t1-t1-t2+λt1t2)=λ(λt1t2-t2)。综合两种情况，R_Y(t1,t2)=λ(min(t1,t2)-t1-t2+λt1t2)。由于R_Y(t1,t2)仅依赖于时间差τ=t1-t2，故{Y(t)}是宽平稳过程。3.解：E[X(1)*X(2)]=R_X(1,2)=min(1,2)=1。四、证明题1.证明思路：根据宽平稳过程的定义，需要证明均值函数μX(t)与t无关，且自相关函数R_X(t1,t2)仅依赖于时间差τ=t1-t2。均值函数μX(t)=E[X(t)]。由于R_X(t1,t2)=R_X(t1+t,t2+t)，令t=-t1，则有R_X(0,t2-t1)=R_X(t1,t2)。记τ=t2-t1，则R_X(0,τ)=R_X(t1,t2)。这说明自相关函数在原点处关于时间差τ的值等于任意时刻t1,t2处的值，即自相关函数仅依赖于时间差τ。因此，自相关函数R_X(t1,t2)=R_X(t1-t2)。另外，令t2=t1，则R_X(t,t)=R_X(0,t-0)=R_X(0,t)。记R_X(0)=σ^2_0，则R_X(t,t)=σ^2_0。由于R_X(t,t)=E[X(t)^2]=Var(X(t))+(E[X(t)])^2，且Var(X(t))≥0，要使R_X(t,t)对所有t都等于一个常数σ^2_0，必须有Var(X(t))=0对所有t成立，这意味着X(t)几乎处处为常数。但这与自相关函数通常不是常数（除非过程退化）矛盾。因此，此题的设定可能存在问题，或者需要假设过程退化（即X(t)为常数随机变量）。若按标准宽平稳定义，仅证明自相关函数形式即可：R_X(t1,t2)=R_X(t1-t2)。均值函数μX(t)=E[X(t)]。由于R_X(t1,t2)=R_X(t1+t,t2+t)对所有t成立，令t=0，得R_X(t1,t2)=R_X(t1,t2)。再令t=-t1，得R_X(0,t2-t1)=R_X(t1,t2)。记τ=t2-t1，则R_X(0,τ)=R_X(t1,t2)。说明自相关函数仅依赖于τ。对于均值函数，利用R_X(t,t)=E[X(t)^2]=Var(X(t))+(E[X(t)])^2。由于R_X(t,t)=R_X(0,t)=σ^2_0（常数），则Var(X(t))=σ^2_0-(E[X(t)])^2。要使Var(X(t))对所有t都为0（即X(t)为常数），则(E[X(t)])^2=σ^2_0对所有t成立，即E[X(t)]为常数。设μ=E[X(t)]，则Var(X(t))=0，说明X(t)=μ几乎处处成立。此时均值函数μX(t)=μ，为常数。自相关函数R_X(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[μ*μ]=μ^2=σ^2_0。这也是常数。因此，如果过程满足R_X(t1+t,t2+t)对所有t成立，则它必须是退化过程（X(t)为常数随机变量），其均值和自相关函数均为常数。标准宽平稳定义要求自相关函数仅依赖于时间差，但不强制要求均值和自相关函数为常数。更严格的各态历经过程才要求均值函数为常数。此处按标准宽平稳定义，主要证明自相关函数形式。2.证明思路：利用马尔可夫过程的性质：给定现在的状态，未来的转移只依赖于现在的状态，与过去的状态无关。具体证明如下：P(X(t3)|X(t2),X(t1))=P(X(t3)|X(t2),X(t1),X(t0),...,X(t1-1))（事件X(t3)的发生依赖于所有过去时刻的状态）。由于{X(t)}是马尔可夫过程，给定X(t2)，X(t3)的条件分布只依赖于X(t2)，与X(t1),...,X(t0)无关。即P(X(t3)|X(t2),X(t1),X(t0),...,X(t1-1))=P(X(t3)|X(t2))。因此，P(X(t3)|X(t2),X(t1))=P(X(t3)|X(t2))。五、应用题解：转移概率矩阵P为[[0.8,0.1,0.1],[0.2,0.7,0.1],[0.1,0.2,0.7]]。该过程是各态历经的。理由如下：（1）首先，马尔可夫链的平稳分布π=(π_1,π_2,π_3)满足πP=π，且π_1+π_2+π_3=1。解此方程组得唯一解π=(1/3,1/3,1/3)。（2）其次，计算状态1,2,3的不可约概率。从状态1出发，一步转移到状态1的概率为0.8，转移到状态2的概率为0.1，转移到状态3的概率为0.1。由于从状态1出发可以到达状态2和状态3（概率不为0），且状态2和状态3均可以返回状态1（P(1|2)=0.2,P(1|3)=0.1），因此状态1是不可约的。同理可证状态2和状态3也是不可约的。由于三个状态两两可达，整个状态空间是不可约的。（3）计算状态1,2,3的周期。状态1的周期d(1)=gcd{所有从状态1出发能回到状态1的路径的长度}。从状态1出发，长度为1的路径（回到状态1）的概率为0.8，长度为2的路径（1→2→1或1→3→1）的概率为0.1*0.2+0.1*0.1=0.03。长度为3的路径（1→2→3