2026年中考数学真题知识点专题 概率(三)

年中考数学真题知识点分类汇编之概率（三）一．解答题（共18小题）1．（2026•宜宾）某校组织全校1000名学生进行“爱祖国，爱家乡”知识竞赛．从中随机抽取了m名学生，并按竞赛成绩分成A、B、C、D四组，绘制出以下不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：（1）m＝，补全条形统计图；（2）根据竞赛成绩，C、D组的学生被评为优秀，估算全校优秀的人数；（3）竞赛中有2名女生和1名男生获得满分，从这三名学生中随机抽取2名学生代表学校参加下一轮竞赛．请用列表或画树状图的方法，求抽到1名男生和1名女生的概率．2．（2026•内江）为弘扬内江本土文化，某校开展了以“了解内江，热爱家乡”为主题的知识竞赛活动，组织学生学习内江糖业文化、大千艺术、非遗技艺等本土文化知识，并进行了答题测评．学校从参与测评的学生中，随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．一般；D．不合格．根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次随机抽样调查一共抽取了名学生，请把条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，表示成绩等级为C的扇形圆心角α为度；（3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取2名学生，担任学校的“内江本土文化宣讲员”，请用列表法或画树状图的方法，求恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率．3．（2026•新疆）为了解某景区游客消费情况，某天工作人员采用抽样调查的方法，随机抽取若干名游客，调查人均日消费金额．统计情况如表：【数据收集与整理】组别人均日消费金额x（元）组中值频数频率A0≤x＜200100200.1B200≤x＜400300600.3C400≤x＜600500a0.4D600≤x＜80070030bE800≤x＜1000900100.05【数据描述】【数据分析与应用】根据以上信息，解答下列问题：（1）频数分布表中a＝，b＝；（2）补全频数分布直方图；（3）用组中值表示该组人均日消费金额，根据统计信息，估计这一天游客人均日消费金额的平均数；（4）从D组、E组中各选取2人，在这4人中再随机抽取2人进行访谈，请利用列表法或树状图法求这2人恰好来自同一组别的概率．4．（2026•福建）一个不透明的盒子中有1个标号为0的黄球a0，2个标号分别为1，2的红球b1，b2，1个标号为3的白球c3，这些球除颜色和标号外无其他差别．（1）从盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黄球的概率；（2）从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球．求摸出的2个球颜色不同且标号之和小于4的概率．5．（2026•广安）为弘扬中华传统文化，增强民族文化自信．某校组织学生去某市文创小镇研学，参加该镇开发的四个项目：A．参加烟花秀表演B．体验造纸过程C．制作印刷模板D．自制指南针．学校为了更好组织本次研学，随机调查了部分学生“最感兴趣的一个项目”，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图：（1）本次抽取的样本容量是，扇形统计图中A对应圆心角的度数是；（2）请补全条形统计图；（3）在这次研学中，有两名男生和两名女生都希望参加烟花秀表演，现从他们中随机选取两名学生参加，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．6．（2026•扬州）为促进学生营养均衡，学校在午餐时为学生提供了三种粗粮：A．红薯，B．玉米，C．山药，每名学生随机选择其中一种．（1）小慧选择玉米的概率是；（2）请用画树状图或列表的方法，求小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率．7．（2026•江西）如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽（xùn）、坎、离、艮（gèn）、兑”八个卦象．每个卦象由三个爻（yáo）组成，其中“”表示阳爻，“”表示阴爻．（1）若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是；（2）现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率．8．（2026•甘肃）现有四张材质、大小、颜色都相同的不透明卡片，每张卡片正面写上一个实数，分别为﹣3，﹣2，2，6，将四张卡片正面向下洗匀．（1）随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率是；（2）随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数后，将卡片正面向下放回洗匀，再随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数．请你用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上实数之和为负数的概率．9．（2026•乐山）某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示．课程内容人数A《论语》21B《史记》9C《天工开物》12D《九章算术》m根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有人，表中m的值为；（2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率．10．（2026•苏州）为传承红色基因，弘扬革命文化，学校团委倾情推出“青春荟萃•追光少年”特别活动，邀你奔赴一场青春与红色记忆的邂逅．活动项目如表所示：项目主题A红色光影——革命事迹影展B红色工坊——袖章主题手作C红色出发——重走红色五卅D红色讲述——苏州解放故事甲、乙两位同学分别从A、B、C、D四个项目中任意选择一个项目参加．（1）甲同学选择项目C的概率为；（2）求甲、乙两位同学选择相同项目的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由）11．（2026•眉山）为激发学生热爱劳动的兴趣，培养学生尊重劳动成果的意识，某校计划利用课后服务时间以“我劳动•我快乐”为主题开展系列劳动教育活动，为学生提供“组装维修”“手工烹饪”“整理收纳”和“蔬菜种植”四种课程（依次用A，B，C，D表示）．为了解学生对这四种课程的喜欢情况，学校随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种劳动课程（必选且只选一种）”的问卷调查，并根据调查结果绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息）．根据图中信息，解答下列问题：（1）参加问卷调查的学生人数是人，扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小为°，估计全校2400名学生中最喜欢C课程的人数约为人；（2）补全条形统计图；（3）现从喜欢“组装维修”的甲，乙，丙，丁四位同学中任选两人，合作展示组装维修小技巧，请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲和乙两位同学的概率．12．（2026•烟台）AI技术已广泛应用于社会各领域，某学校新建了一个智慧AI自习教室，引进了“数字人模型”和“AI助教模型”两种模型供学生使用．使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为0～10的整数，单位：分），并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如图图表：类别平均数/分中位数/分众数/分数字人模型ab7AI助教模型88c请根据上述信息解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝，m＝；（2）运营商准备对“AI助教模型”进行优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，有2名男生和1名女生对该模型的评分为6分，现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请利用树状图或表格求出恰好抽到2名男生的概率．13．（2026•山东）某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查．【调查内容】关于项目式学习活动的调查问卷问题1．你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？（单选）①绘制校园平面地图②读书长廊地面没铺设计③测量校园内旗杆高度④制定旅游最优路线⑤体育运动与心率的关系探究问题2．假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？（可多选）A．查阅文献B．上网查询C．同伴合作D．寻求指导E．专业咨询问题问题3．你还想探究哪些领域的数学问题？【数据处理】信息1将问题1的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．信息2将问题2的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表．解决困难的方式ABCDE选择人数3241333528信息3问题3调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济．【分析应用】根据调查信息，解答下列问题：（1）求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；（2）若有500名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；（3）甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率．【决策建议】（4）假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议．14．（2026•凉山州）五彩凉山，气候宜人，物产丰富，尤其水果深受广大消费者喜爱．为了解时令水果受喜爱情况，随机抽取部分消费者对最喜爱的时令水果进行调查（A类为樱桃，B类为蓝莓，C类为葡萄，D类为枇杷，E类为其他，每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：请根据以上信息回答：（1）本次调查的总人数为人；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中a＝，及B类对应扇形的圆心角度数为；（3）质检员从A、B、C、D四类水果中随机选择两类检测含糖量，用列表或画树状图的方法，求选择的两类水果恰好是B类和D类的概率．15．（2026•连云港）我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP形象．小明将关于地域特产的4个IP形象（A云雾茶、B豆丹、C沙光鱼、D东海水晶），制作成4个玩具盲盒，每个盲盒中只有1个IP形象玩具．（1）若从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是（填序号）；①必然事件②随机事件③不可能事件（2）若从这4个盲盒中随机抽取2个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率．16．（2026•自贡）为促进学生积极参加体育活动，某校准备在八年级开展球类比赛．从“羽毛球”“排球”“乒乓球”“篮球”四类中，通过投票选出最受欢迎的项目．投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：（1）本次投票共人参与，其中“乒乓球”所占百分比为，并补全条形统计图；（2）某班最喜欢乒乓球且又具实力的有4名同学（两男两女），从这4人中随机抽取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人为“一男一女”的概率．17．（2026•南充）为落实五育并举，培养学生良好的审美情趣和艺术素养，某校举办了“庆五四”系列艺术展演活动．现对歌唱比赛成绩进行统计，将参赛的m名队员的成绩，分成以下五组：A组（50≤x＜60），B组（60≤x＜70），C组（70≤x＜80），D组（80≤x＜90），E组（90≤x≤100）．并绘制出了两幅不完整的统计图（如图）．根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：m＝；m名队员比赛成绩的中位数落在组（选填组名）．（2）从E组的甲、乙、丙、丁四名队员中随机选择两名担任校园合唱队领唱，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名队员恰好被选中的概率．18．（2026•遂宁）某校团委计划在“心理健康日”组织学生开展心理健康活动，根据活动形式分为四组：A．心理专题讲座、B．心理健康电影、C．心理疗愈音乐会、D．心理健康情景剧．为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，在全校随机抽取学生，对其进行“我最喜欢的一种心理健康活动”问卷调查，依据样本数据绘制了如下两幅统计图．请结合调查信息，完成下列问题：（1）本次调查共抽取了名学生，扇形统计图中m＝，心理疗愈音乐会对应扇形圆心角的度数为度；（2）被调查学生最喜欢的心理健康活动是；（请选择填写A、B、C、D）（3）请估计全校1000名学生中喜欢心理专题讲座的人数；（4）学校从B、D小组选了4名代表（每组各两名），决定从这4名代表中选2名作活动感悟分享．请用画树状图或列表的方法，求选出的2名代表来自不同组的概率．

2026年中考数学真题知识点分类汇编之概率（三）参考答案与试题解析一．解答题（共18小题）1．（2026•宜宾）某校组织全校1000名学生进行“爱祖国，爱家乡”知识竞赛．从中随机抽取了m名学生，并按竞赛成绩分成A、B、C、D四组，绘制出以下不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：（1）m＝50，补全条形统计图；（2）根据竞赛成绩，C、D组的学生被评为优秀，估算全校优秀的人数；（3）竞赛中有2名女生和1名男生获得满分，从这三名学生中随机抽取2名学生代表学校参加下一轮竞赛．请用列表或画树状图的方法，求抽到1名男生和1名女生的概率．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；条形统计图．【专题】统计的应用；概率及其应用；数据观念．【答案】（1）50；（2）全校优秀的人数约为680人；（3）23【分析】（1）利用B组人数和B组所占的百分比即可求出m，用总人数减去A、B、D组人数即可求出C组人数，补全统计图即可；（2）用总人数乘以样本中C、D组人数占比即可；（3）画树状图展示所有等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）m＝10÷20%＝50（人），C组的人数有：50﹣6﹣10﹣16＝18（人），补全统计图如下：故答案为：50；（2）1000×18+16答：全校优秀的人数约为680人；（3）列树状图：由树状图可知，所有等可能的结果有6种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有4种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为46【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．2．（2026•内江）为弘扬内江本土文化，某校开展了以“了解内江，热爱家乡”为主题的知识竞赛活动，组织学生学习内江糖业文化、大千艺术、非遗技艺等本土文化知识，并进行了答题测评．学校从参与测评的学生中，随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．一般；D．不合格．根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次随机抽样调查一共抽取了50名学生，请把条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，表示成绩等级为C的扇形圆心角α为72度；（3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取2名学生，担任学校的“内江本土文化宣讲员”，请用列表法或画树状图的方法，求恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据观念；应用意识．【答案】（1）50；（2）72．（3）16【分析】（1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得调查的人数；求出C等级的人数，补全条形统计图即可．（2）用360°乘以C的人数所占的百分比，即可得出答案．（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好同时抽中甲和乙两名学生的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）本次随机抽样调查一共抽取了20÷40%＝50（名）学生．C等级的人数为50﹣15﹣20﹣5＝10（人）．补全条形统计图如图所示．故答案为：50．（2）在扇形统计图中，表示成绩等级为C的扇形圆心角α为360°×10故答案为：72．（3）列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）共有12种等可能的结果，其中恰好同时抽中甲和乙两名学生的结果有：（甲，乙），（乙，甲），共2种，∴恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率为212【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．3．（2026•新疆）为了解某景区游客消费情况，某天工作人员采用抽样调查的方法，随机抽取若干名游客，调查人均日消费金额．统计情况如表：【数据收集与整理】组别人均日消费金额x（元）组中值频数频率A0≤x＜200100200.1B200≤x＜400300600.3C400≤x＜600500a0.4D600≤x＜80070030bE800≤x＜1000900100.05【数据描述】【数据分析与应用】根据以上信息，解答下列问题：（1）频数分布表中a＝80，b＝0.15；（2）补全频数分布直方图；（3）用组中值表示该组人均日消费金额，根据统计信息，估计这一天游客人均日消费金额的平均数；（4）从D组、E组中各选取2人，在这4人中再随机抽取2人进行访谈，请利用列表法或树状图法求这2人恰好来自同一组别的概率．【考点】列表法与树状图法；全面调查与抽样调查；用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；加权平均数．【专题】概率及其应用；数据观念．【答案】（1）80；0.15；（2）补图如下：（3）450元；（4）13【分析】（1）求出样本容量，减去已知几个组的人数即可求出a的值；用600≤x＜800组的人数除以样本容量即可求出b的值；（2）根据（1）中结果补图即可；（3）根据加权平均数定义求解即可；（4）根据题意画出树状图，可分别得到总共有多少种等可能的结果与符合条件的结果，根据概率公式即可求解．【解答】解：（1）样本容量为20÷0.1＝200，∴a＝200﹣20﹣60﹣30﹣10＝80，b＝30÷200＝0.15；故答案为：80；0.15；（2）补全条形统计图如下：（3）根据加权平均数定义可得：1200答：估计这一天游客人均日消费金额的平均数450元；（4）记D组两人为D1、D2；E组两人为E1、E2，画树状图如下：共12种等可能结果，其中2人恰好来自同一组别的结果为4种，∴2人恰好来自同一组别的概率为412【点评】本题考查了条形统计图、列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点是关键．4．（2026•福建）一个不透明的盒子中有1个标号为0的黄球a0，2个标号分别为1，2的红球b1，b2，1个标号为3的白球c3，这些球除颜色和标号外无其他差别．（1）从盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黄球的概率；（2）从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球．求摸出的2个球颜色不同且标号之和小于4的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；数据观念．【答案】（1）14（2）12【分析】（1）由概率公式直接可得答案；（2）列表求出所有可能的情况和符合条件的结果个数，再用概率公式计算．【解答】解：（1）∵从盒子中随机摸出1个球共有4种结果，且每种结果出现的可能性相同，∴摸出的球是黄球的结果有1种，∴摸出的球是黄球的概率为14（2）从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球，列表如下：黄球a0红球b1红球b2白球c3黄球a0—（a0，b1）（a0，b2）（a0，c3）红球b1（b1，a0）—（b1，b2）（b1，c3）红球b2（b2，a0）（b2，b1）—（b2，c3）白球c3（c3，a0）（c3，b1）（c3，b2）—共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出2个球的颜色不同且标号之和小于4的结果共有6种：（a0，b1），（a0，b2），（a0，c3），（b1，a0），（b2，a0），（c3，a0），∴摸出的2个球颜色不同且标号之和小于4的概率为612【点评】本小题考查随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识等，考查统计与概率思想等．5．（2026•广安）为弘扬中华传统文化，增强民族文化自信．某校组织学生去某市文创小镇研学，参加该镇开发的四个项目：A．参加烟花秀表演B．体验造纸过程C．制作印刷模板D．自制指南针．学校为了更好组织本次研学，随机调查了部分学生“最感兴趣的一个项目”，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图：（1）本次抽取的样本容量是300，扇形统计图中A对应圆心角的度数是144°；（2）请补全条形统计图；（3）在这次研学中，有两名男生和两名女生都希望参加烟花秀表演，现从他们中随机选取两名学生参加，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．【考点】列表法与树状图法；总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；概率公式．【专题】统计的应用；概率及其应用；数据观念；运算能力．【答案】（1）300，144°；（2）补全条形统计图如下：（3）23【分析】（1）根据参加A项目的人数和所占的比例，即可得出本次抽取的样本容量，再将360°乘以参加A项目所占百分比即可得解；（2）先求出参加B项目人数，然后补全条形统计图即可；（3）列表得出共有12种等可能结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的共有8种结果，再由概率公式计算即可．【解答】解：（1）本次抽取的样本容量是120÷40%＝300，扇形统计图中A对应圆心角的度数是360°×40%＝144°，故答案为：300，144°；（2）参加B项目人数为：300﹣（120+90+60）＝30（人），补全条形统计图如下：（3）列表如下：男1男2女1女2男1（男2，男1）（女1，男1）（女2，男1）男2（男1，男2）（女1，男2）（女2，男2）女1（男1，女1）（男2，女1）（女2，女1）女2（男1，女2）（男2，女2）（女1，女2）共有12种等可能结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的共有8种结果，∴恰好选中一名男生和一名女生的概率为812【点评】此题考查的是用列表法与树状图法、扇形统计图以及条形统计图等知识．列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．6．（2026•扬州）为促进学生营养均衡，学校在午餐时为学生提供了三种粗粮：A．红薯，B．玉米，C．山药，每名学生随机选择其中一种．（1）小慧选择玉米的概率是13（2）请用画树状图或列表的方法，求小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用．【答案】(1)1（2）23【分析】（1）根据概率公式求解即可；（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【解答】解：（1）由题意可知，共有3种等可能的选择结果，小慧选择玉米的结果只有1种，因此小慧选择玉米的概率为13故答案为：13（2）画树状图为：由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中小慧和小敏选择不同品种粗粮的结果有6种，小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率是69【点评】本题主要考查了列表法与树状图法概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键．7．（2026•江西）如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽（xùn）、坎、离、艮（gèn）、兑”八个卦象．每个卦象由三个爻（yáo）组成，其中“”表示阳爻，“”表示阴爻．（1）若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是38（2）现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用．【答案】（1）38（2）12【分析】（1）观察图形，可得只有两个阳义的是离、兑、巽，共三个，进而根据概率公式，即可求解；（2）记“乾、坤、震、巽”分别为a，b，c，d，根据列表法或画树状图法求解即可．【解答】解：（1）共有八个卦象，只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个，∴从中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是：38故答案为：38（2）记“乾、坤、震、巽”分别为a，b，c，d．列表法：第二卦象\第一卦象abcda—（b，a）（c，a）（d，a）b（a，b）—（c，b）（d，b）c（a，c）（b，c）—（d，c）d（a，d）（b，d）（c，d）—第一卦象：abcd，第二卦象：b，c，da，c，da，b，da，b，c，由表或树状图可得，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中满足条件的结果有：（a，c），（a，d），（c，a），（c，d），（d，a），（d，c）共6种，所以所求概率为P=6【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键．8．（2026•甘肃）现有四张材质、大小、颜色都相同的不透明卡片，每张卡片正面写上一个实数，分别为﹣3，﹣2，2，6，将四张卡片正面向下洗匀．（1）随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率是12（2）随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数后，将卡片正面向下放回洗匀，再随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数．请你用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上实数之和为负数的概率．【考点】列表法与树状图法；实数的运算；概率公式．【专题】概率及其应用．【答案】（1）12（2）38【分析】（1）根据题意，利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片上的实数之积为负数的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）随机抽取一张卡片，共有4种等可能的结果，其中卡片上的实数是正数的结果有2种，故P=2故答案为：12（2）列表如下：第一次第二次﹣3﹣226﹣3﹣6﹣5﹣13﹣2﹣5﹣4042﹣1048634812∵共有16种等可能的结果，两实数之和为负数的结果有6种，∴P（抽取的两张卡片上实数之和为负数）=6【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，实数的运算，概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键．9．（2026•乐山）某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示．课程内容人数A《论语》21B《史记》9C《天工开物》12D《九章算术》m根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有60人，表中m的值为18；（2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率．【考点】列表法与树状图法；统计表；概率公式．【专题】概率及其应用．【答案】（1）60，18；（2）16【分析】（1）根据样本容量等于频数除以所占百分比，扇形统计图的意义求解即可；（2）利用画树状图法或列表法求解即可；【解答】解：（1）根据题意，得学生一共有12÷20%＝60（人），故表中m的值为60﹣21﹣9﹣12＝18，故答案为：60，18；（2）由题可列表：第一次第二次ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）∴P（恰好选到课程A和课程B)=1【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，统计表，概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键．10．（2026•苏州）为传承红色基因，弘扬革命文化，学校团委倾情推出“青春荟萃•追光少年”特别活动，邀你奔赴一场青春与红色记忆的邂逅．活动项目如表所示：项目主题A红色光影——革命事迹影展B红色工坊——袖章主题手作C红色出发——重走红色五卅D红色讲述——苏州解放故事甲、乙两位同学分别从A、B、C、D四个项目中任意选择一个项目参加．（1）甲同学选择项目C的概率为14（2）求甲、乙两位同学选择相同项目的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由）【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】（1）14（2）14【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出甲、乙两位同学选择相同项目的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）甲同学选择项目C的概率为14故答案为：14（2）画树状图为：共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同项目的结果数为4，甲、乙两位同学选择相同项目的概率=4【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．11．（2026•眉山）为激发学生热爱劳动的兴趣，培养学生尊重劳动成果的意识，某校计划利用课后服务时间以“我劳动•我快乐”为主题开展系列劳动教育活动，为学生提供“组装维修”“手工烹饪”“整理收纳”和“蔬菜种植”四种课程（依次用A，B，C，D表示）．为了解学生对这四种课程的喜欢情况，学校随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种劳动课程（必选且只选一种）”的问卷调查，并根据调查结果绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息）．根据图中信息，解答下列问题：（1）参加问卷调查的学生人数是120人，扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小为36°，估计全校2400名学生中最喜欢C课程的人数约为720人；（2）补全条形统计图；（3）现从喜欢“组装维修”的甲，乙，丙，丁四位同学中任选两人，合作展示组装维修小技巧，请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲和乙两位同学的概率．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】（1）120，36，720；（2）；（3）16【分析】（1）先用喜欢B课程的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；再用360°乘以喜欢D课程的人数所占的百分比得到扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小；然后用2400乘以样本中喜欢C课程的人数所占的百分比，从而可估计全校2400名学生中最喜欢C课程的人数；（2）利用喜欢A课程和C考查的人数补全条形统计图；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出选到甲和乙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）参加问卷调查的学生人数为42÷35%＝120（人），扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角＝360°×12∵喜欢A课程的人数为120×25%＝30（人），∴喜欢C课程的人数为120﹣30﹣42﹣12＝36（人），∵2400×36∴估计全校2400名学生中最喜欢C课程的人数约为720人；故答案为：120，36，720；（2）补全条形统计图为：（3）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中选到甲和乙两位同学的结果数为2，所以恰好选到甲和乙两位同学的概率=2【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计图．12．（2026•烟台）AI技术已广泛应用于社会各领域，某学校新建了一个智慧AI自习教室，引进了“数字人模型”和“AI助教模型”两种模型供学生使用．使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为0～10的整数，单位：分），并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如图图表：类别平均数/分中位数/分众数/分数字人模型ab7AI助教模型88c请根据上述信息解答下列问题：（1）填空：a＝7.2，b＝7，c＝8，m＝30；（2）运营商准备对“AI助教模型”进行优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，有2名男生和1名女生对该模型的评分为6分，现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请利用树状图或表格求出恰好抽到2名男生的概率．【考点】列表法与树状图法；中位数；众数．【专题】概率及其应用；推理能力．【答案】（1）7.2；7；8；30；（2）13【分析】（1）利用求平均数的公式求出a，利用中位数和众数的定义求出分别求出b，c，先求出扇形统计图中8分所占百分比，用整体1减去其他各部分的百分比即可求解m；（2）用树状图列出所有可能性，利用概率公式进行计算即可．【解答】解：（1）x=∴a＝7.2；一共20个数据从小到大排列，第10和11个数据的平均数是中位数，由柱状图知第10和11个数据都是7，∴中位数为7，即b＝7；由扇形统计图可知“AI助教模型”中8分出现次数最多，∴c＝8；∵扇形统计图中8分占百分比为：144360∴1﹣5%﹣15%﹣10%﹣40%＝30%，即m＝30；故答案为：7.2；7；8；30；（2）共有六种等可能性的结果，其中恰好抽到两名男生的情况由2种，∴P（抽到2名男生）=2【点评】本题考查了数据分析能力，掌握数据分析能力是解题的关键．13．（2026•山东）某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查．【调查内容】关于项目式学习活动的调查问卷问题1．你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？（单选）①绘制校园平面地图②读书长廊地面没铺设计③测量校园内旗杆高度④制定旅游最优路线⑤体育运动与心率的关系探究问题2．假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？（可多选）A．查阅文献B．上网查询C．同伴合作D．寻求指导E．专业咨询问题问题3．你还想探究哪些领域的数学问题？【数据处理】信息1将问题1的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．信息2将问题2的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表．解决困难的方式ABCDE选择人数3241333528信息3问题3调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济．【分析应用】根据调查信息，解答下列问题：（1）求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；（2）若有500名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；（3）甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率．【决策建议】（4）假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【专题】概率及其应用；数据观念．【答案】（1）50，；（2）410名；（3）13（4）建议学校为项目式学习提供专门的网络资源和指导老师，定期组织各领域的实践活动，并开展小组合作培训，帮助学生更好地完成探究任务（答案不唯一，合理均可）．【分析】（1）由主题①的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘主题⑤对应百分比求出其人数，再根据五种主题的人数和等于总人数求出主题③的人数，据此可补全条形统计图；（2）总人数乘样本中选择B方式人数占被调查人数的比例即可；（3）列表展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；（4）可从资源支持、分组协作、实践体验、困难指导等方面提出合理化建议，答案不唯一．【解答】解：（1）参与调查的学生总数为5÷10%＝50（名），选择主题⑤的人数为50×12%＝6（名），则选择主题③的人数为50﹣（5+13+14+6）＝12（名），补全条形统计图如下：（2）500×41答：估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约有410名；（3）将“科技”“交通”“经济”三个领域分别记作A、B、C，列表表示如下：ABCA（A，A）（A，B）（A，C）B（B，A）（B，B）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）由列表可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一领域的有3种结果，所以两人恰好选择同一领域的概率为39（4）建议学校为项目式学习提供专门的网络资源和指导老师，定期组织各领域的实践活动，并开展小组合作培训，帮助学生更好地完成探究任务（答案不唯一，合理均可）．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．14．（2026•凉山州）五彩凉山，气候宜人，物产丰富，尤其水果深受广大消费者喜爱．为了解时令水果受喜爱情况，随机抽取部分消费者对最喜爱的时令水果进行调查（A类为樱桃，B类为蓝莓，C类为葡萄，D类为枇杷，E类为其他，每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：请根据以上信息回答：（1）本次调查的总人数为50人；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中a＝36，及B类对应扇形的圆心角度数为72°；（3）质检员从A、B、C、D四类水果中随机选择两类检测含糖量，用列表或画树状图的方法，求选择的两类水果恰好是B类和D类的概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．【专题】概率及其应用；数据观念．【答案】（1）50；（2），36，72°；（3）16【分析】（1）用A类型人数除以其人数占被调查人数的百分比可得本次调查的总人数；（2）被调查的总人数乘D类型人数占被调查人数所占百分比即可得出其人数，C类型人数除以被调查人数即可得出a的值，用360°乘B类型人数占被调查人数所占比例即可；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次调查的总人数为8÷16%＝50（人），故答案为：50；（2）D类型人数为50×20%＝10（人），a%=1850×B类对应扇形的圆心角度数为360°×10补全条形统计图如下：故答案为：36，72°；（3）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12种等可能的结果，其中选择的两类水果恰好是B类和D类的有2种结果，所以选择的两类水果恰好是B类和D类的概率为212【点评】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键．15．（2026•连云港）我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP形象．小明将关于地域特产的4个IP形象（A云雾茶、B豆丹、C沙光鱼、D东海水晶），制作成4个玩具盲盒，每个盲盒中只有1个IP形象玩具．（1）若从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是②（填序号）；①必然事件②随机事件③不可能事件（2）若从这4个盲盒中随机抽取2个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率．【考点】列表法与树状图法；随机事件．【专题】统计与概率；数据观念．【答案】（1）②；（2）16【分析】（1）根据题意可知，从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是随机事件；（2）先画出相应的树状图，即可计算出盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率．【解答】解：（1）由题意可得，从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是随机事件，故答案为：②；（2）树状图下所示，，由上可得，一共有12种等可能性，其中盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的可能性有2种，∴盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率是212【点评】本题考查列表法与树状图法、随机事件，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．16．（2026•自贡）为促进学生积极参加体育活动，某校准备在八年级开展球类比赛．从“羽毛球”“排球”“乒乓球”“篮球”四类中，通过投票选出最受欢迎的项目．投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：（1）本次投票共500人参与，其中“乒乓球”所占百分比为40%，并补全条形统计图；（2）某班最喜欢乒乓球且又具实力的有4名同学（两男两女），从这4人中随机抽取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人为“一男一女”的概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；概率公式．【专题】统计的应用；概率及其应用；数据观念；运算能力．【答案】（1）500，40%，补全条形统计图如下：（2）23【分析】（1）根据最喜欢乒乓球的人数除以所占百分比得出本次投票参与的学生人数，即可解决问题；（2）列表得出共有12种等可能的结果，其中所抽取的两人为“一男一女”的结果有8种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次投票参与的学生人数为150÷30%＝500（人），∴最喜欢乒乓球的人数为500﹣150﹣60﹣90＝200（人），∴“乒乓球”所占百分比为200÷500×100%＝40%，故答案为：500，40%，补全条形统计图如下：（2）列表如下：男男女女男（男，男）（男，女）（男，女）男（男，男）（男，女）（男，女）女（女，男）（女，男）（女，女）女（女，男）（女，男）（女，女）共有12种等可能的结果，其中所抽取的两人为“一男一女”的结果有8种，∴所抽取的两人为“一男一女”的概率为812【点评】此题考查的是用树状图法、扇形统计图和条形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．（2026•南充）为落实五育并举，培养学生良好的审美情趣和艺术素养，某校举办了“庆五四”系列艺术展演活动．现对歌唱比赛成绩进行统计，将参赛的m名队员的成绩，分成以下五组：A组（50≤x＜60），B组（60≤x＜70），C组（70≤x＜80），D组（80≤x＜90），E组（90≤x≤100）．并绘制出了两幅不完整的统计图（如图）．根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：m＝20；m名队员比赛成绩的中位数落在C组（选填组名）．（2）从E组的甲、乙、丙、丁四名队员中随机选择两名担任校园合唱队领唱，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名队员恰好被选中的概率．【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数．【专题】统计与概率；数据观念．【答案】（1）20，C；（2）16【分析】（1）根据统计图中的数据，可以计算出m的值和中位数所在的组别；（2）先画出相应的树状图，然后即可计算出甲、乙两名队员恰好被选中的概率．【解答】解：（1）由统计图可知，m＝7÷35%＝20，m名队员比赛成绩的中位数落在C组，故答案为：20，C；（2）树状图如下所示，，由上可得，一共有12种等可能性，其中甲、乙两名队员恰好被选中的可能性有2种，∴甲、乙两名队员恰好被选中的概率为212【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．18．（2026•遂宁）某校团委计划在“心理健康日”组织学生开展心理健康活动，根据活动形式分为四组：A．心理专题讲座、B．心理健康电影、C．心理疗愈音乐会、D．心理健康情景剧．为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，在全校随机抽取学生，对其进行“我最喜欢的一种心理健康活动”问卷调查，依据样本数据绘制了如下两幅统计图．请结合调查信息，完成下列问题：（1）本次调查共抽取了50名学生，扇形统计图中m＝24，心理疗愈音乐会对应扇形圆心角的度数为28.8度；（2）被调查学生最喜欢的心理健康活动是B；（请选择填写A、B、C、D）（3）请估计全校1000名学生中喜欢心理专题讲座的人数；（4）学校从B、D小组选了4名代表（每组各两名），决定从这4名代表中选2名作活动感悟分享．请用画树状图或列表的方法，求选出的2名代表来自不同组的概率．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【专题】统计的应用；概率及其应用；数据观念；运算能力．【答案】（1）50，24，28.8；（2）B；（3）估计全校1000名学生中喜欢心理专题讲座的人数为240人；（4）23【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出本次调查共抽取的学生人数，即可解决问题；（2）比较被调查学生最喜欢的四组的人数，即可得出结论；（3）由全校学生人数乘以喜欢心理专题讲座的人数所占的比例即可；（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名代表来自不同组的结果有8种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次调查共抽取学生18÷36%＝50（名），∴m%=12∴m＝24，心理疗愈音乐会对应扇形圆心角的度数为360°×4故答案为：50，24，28.8；（2）∵4＜12＜16＜18，∴被调查学生最喜欢的心理健康活动是心理健康电影，故答案为：B；（3）1000×12答：估计全校1000名学生中喜欢心理专题讲座的人数为240人；（4）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中选出的2名代表来自不同组的结果有8种，∴选出的2名代表来自不同组的概率812【点评】此题考查的是用列表法与树状图法、扇形统计图以及条形统计图等知识．列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

考点卡片1．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．2．全面调查与抽样调查1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．3．总体、个体、样本、样本容量（1）定义①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．（2）关于样本容量样本容量只是个数字，没有单位．4．用样本估计总体用样本估计总体是统计的基本思想．1、用样本的频率分布估计总体分布：从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差）．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．5．频数（率）分布表1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．2、列频率分布表的步骤：（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说