2026年中考数学真题知识点专题 锐角三角函数(二)

年中考数学真题知识点分类汇编之锐角三角函数（二）一．解答题（共20小题）1．（2026•河南）某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下．活动主题地下车库入口改造采集信息图1是地下车库入口示意图．①点C，B，D在同一水平线上，点E，A，F在同一水平线上，CD∥EF．②斜坡AB的长为10m，∠BAF＝26.4°．③车库限高2.7m．设计方案如图2，保持点A不动，将点B沿射线BD平移到点B′，使∠B′AF＝18.4°．完成任务任务一：求BB′的长．任务二：调整限高．经计算，点C到斜坡AB′的距离约为3.47m．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为．（结果均保留一位小数）请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：sin26.4°≈0.44，cos26.4°≈0.90，tan26.4°≈0.50，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）．2．（2026•天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，BC∥DE，AB的延长线与水平线DE相交于点O．从地面C处沿步道CD（看作斜坡）前行，至平台DE，CD＝22m；在平台D处测得纪念碑顶部A的仰角（∠ODA）为42°，斜坡CD的倾斜角（∠ODC）为12°；在平台E处测得纪念碑顶部A的仰角（∠OEA）为35°，DE＝9m．根据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan35°≈0.7，tan42°≈0.9，sin12°≈0.2．3．（2026•上海）如图，小明正在确认大楼是否安全，规定hd（1）当d＝100米时，h至少小于多少米？（2）若测AB长为a，BC长为b，仰角为θ，求hd（用含有a、b、θ4．（2026•山西）项目式学习项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件．如图为山西某古建筑大殿内部的藻井．某校学生到此地开展综合实践活动，对该建筑内藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告．项目主题藻井的调查与测算驱动任务调查藻井的工艺与造型，测算藻井的相关数据活动过程调查工艺该藻井以木构技术为核心，通过斗拱、悬挑等工艺形成逐层向上收缩的三层结构．造型该藻井自下而上每层轮廓依次为长方形、菱形、菱形，分别称为长方形井、菱形井、菱形井．测算对象中间层菱形井中较长对角线的长图示图1为藻井仰视平面图，其中线段AB为中间层菱形井较长的对角线（点A，B在同一水平直线上）；图2为测量方案示意图，其中测量点C，D在同一水平直线上，且点A，B，C，D在同一竖直平面内．数据在点D处测得点A的仰角为60°，AD＝6米；在点C处测得点B的仰角为45°，CD＝11米．结果…活动反思…请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线AB的长（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.735．（2026•遂宁）遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥．某数学活动小组为测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案：实物图测量工具无人机测量方法及数据在桥面A点用无人机测得主桥塔顶C点的仰角为37°，将无人机垂直上升40米至B处，测得主桥塔顶C点的仰角为22°．测量示意图参考数据sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.4，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75请根据如表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即CD的长．（精确到1米）．6．（2026•甘肃）如图1，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A处观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图2，设观测点A到塔CD的水平距离为AB（点B，C，D在同一条直线上），CD⊥AB，在点A分别测得塔顶C的仰角∠CAB＝16.73°、塔底D的仰角∠DAB＝14.01°，查阅资料可知塔的高度CD＝17米．根据以上信息，请你求出观测点A到塔CD的水平距离AB．（结果精确到1米）．参考数据：sin14.01°≈0.24，cos14.01°≈0.97，tan14.01°≈0.25，sin16.73°≈0.29，cos16.73°≈0.96，tan16.73°≈0.30．7．（2026•江西）为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方法与过程如表：具体问题利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度主要工具无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺截面示意图操作步骤1．在水平地面上选定一个激光发射点A，使A位于土坑上底面直径DE所在的直线上；2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方；3．调整反射镜与水平线的夹角θ，使得从A处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底最右端F处；4．在线段AD上确定一点B，使得从B处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底最左端G处．（以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内）测量数据AB＝18m，DE＝12m，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，θ＝22.5°．参考数据sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732，3≈根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到0.01m）任务一：计算点C离水平地面的高度；任务二：计算∠GCF＝°，∠BCG＝°；任务三：计算土坑的深度．8．（2026•眉山）人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥AB．为确定跨湖桥AB的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为90米，同时测得桥头点A处的俯角为60°；从点C处沿AB方向水平飞行300米到达点D处，测得桥头点B处的俯角为42°，求桥AB的长度（结果精确到1米）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，3≈9．（2026•烟台）【综合与实践】活动主题测算矩形广告牌的面积测量工具皮尺、无人机、计时器、计算器等活动过程测量过程如图，矩形广告牌ABCD的边CD为11米，BC与水平地面垂直．支柱EF长6.4米，且垂直于地面．无人机从N点起飞，以3米/秒的速度竖直向上飞行8秒到达M点，此时测得C点的俯角为67.4°，D点的俯角为36.9°（图中各点均在同一平面内）．模型建构参考数据sin67.4°≈0.92，cos67.4°≈0.38，tan67.4°≈2.40，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．问题解决求矩形广告牌ABCD的面积（结果精确到1平方米）．10．（2026•山东）我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动．【模型制作】综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形ABCD为正方形，AG为悬挂重物的铅垂线，AB为左矩，AD为右矩，标有均匀刻度的BC和DC组成矩尺盘，以点A为圆心，AB为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘．【操作发现】使用矩盘测量时，需要将左矩AB或右矩AD与视线PF重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数．（1）如图2，左矩AB与视线PF重合，角度盘读数为31°（∠DAE＝31°），矩尺盘读数为6（DE＝6），可知仰角∠P＝∠DAE＝31°，tan∠P＝tan∠DAE=DE如图3，右矩AD与视线PF重合，角度盘读数为29°（∠DAE＝29°），矩尺盘读数为5.5（DE＝5.5），则仰角∠P＝，tan∠P≈（结果精确到0.1）．（2）综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端E到地面的距离（EB的长度）．如图5，某同学站在城门楼一侧A处，用矩盘的左矩与视线ME重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线AB前进，穿过城门BD到达城门楼另一侧C处，在C处将矩盘右矩与视线NE重合，角度盘读数为45°．已知AC＝20m，该同学眼睛到地面的高度是1.6m，求城门楼的顶端E到地面的距离（结果精确到0.1m）．11．（2026•凉山州）计算：（﹣1）2+|1﹣2sin45°|−(212．（2026•凉山州）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔MN相距300米的点A观测塔顶M的仰角为30°，斜面AN的坡度i＝1：5，点A，B，C，M，N在同一平面内，AB是桥面，CN是水平线，AB∥CN，AB⊥MN．（计算结果均保留根号）（1）求索塔桥面以上部分MB的高度；（2）求索塔MN的高度．13．（2026•自贡）在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度．要求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度1.5m）和笔直的竹竿（长度2m）进行测量．（1）小刚建议这样测量：如图1，线段AC表示所要测量的大树，在操场上F点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿DE（长度2m）顶部E恰好看到树顶端A，此时竖直竹竿DE与小刚FG的水平距离DF＝2m．小刚将观测点F后移13m到F′处，采用同样方法，测得D′F′＝3m．小刚眼睛距离地面的高度FG＝F′G′＝0.8m，点F′，D′，F，D与树的底部C在同一水平线上．据此可知点E到BG′的距离EH为m，图中两组相似三角形是，请帮助小刚计算出此树的高度（结果精确到0.1m）．（2）小明提出可以这样改进：如图2，在点F处安置测角仪（高度1.5m）测得树顶端A的仰角∠AGB＝26.7°，前行到点E处测得树顶端A的仰角∠ADB＝45°，点E，F与树的底部C在同一水平线上，量得EF＝16m．请按此方案求树的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）（3）两种方法算出树的高度一致吗？如果不一致，请分析原因（写出一条即可）．14．（2026•广安）（1）计算：|1−2|﹣2sin45°+（﹣2）2+(（2）先化简，再求值：(2x+1+1)÷15．（2026•广安）某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下：活动主题测量建筑物的高度实物图和测量示意图测量说明（1）测角仪在G处测得建筑物顶D的仰角为α；（2）测角仪在F处测得建筑物顶D的仰角为β；（3）点G，F，E位于同一水平线上，测出AB的长，测角仪的高AG，BF．测量数据AG＝BF＝CE＝1.6m，α＝35°，β＝50°，AB＝9.8m参考数据sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19请根据以上数据求此建筑物高DE的长．（结果保留整数）16．（2026•安徽）湖中有两个小岛，分别用点A，B表示，B在A的北偏东37°方向上．为了测量A，B间的距离，综合实践小组在观测点C处测得A在C的正北方向，沿着北偏东56°方向行走至另一观测点D，测得A在D的正西方向，B在D的北偏西53°方向上，平面示意图如图所示．已知C，D间的距离为660m，求A，B间的距离（精确到0.1m）．参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80．17．（2026•泸州）如图，某海岸线上有一观测点A，在点A的正东方向上有两个观测点C，D，且A，C相距20nmile．某日上午8点，测得一艘轮船位于点A的北偏西30°方向上的B处，且与A相距20nmile，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点C的北偏东30°方向上的E处，且C，E相距60nmile，此时点D到E的距离是D到C的距离的2倍．（1）求该轮船的航行速度；（2）求点D，E间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）．18．（2026•达州）在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．他们由山脚A处出发，先沿坡角为42°的山坡行走300m到达B处，再沿坡角为30°的山坡行走200m到达山顶C处．估计这座小山的高度．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90．结果保留整数）19．（2026•重庆）重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约去某景区游玩．如图，大门A，猴山B，古塔C，游乐场D为景区内在同一平面内的四个景点．D位于A的正东方向3千米处，B位于A的正南方向且位于D的南偏西30°方向，C位于B的南偏东75°方向且位于D的南偏东30°方向．（1）求BC的长度（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈（2）现甲从B出发沿BD方向前往D，乙从D出发沿DC方向前往C，两人同时出发，乙的速度是甲的速度的2倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为4千米，求此时甲离D处多少千米？20．（2026•成都）尊老敬老是中华民族的传统美德．某社区开展了“智慧助老”行动，为高龄老年人家庭免费安装智能门锁．如图，在侧面示意图中，智能门锁的摄像头A拍摄的最大仰角为30°，最大俯角为52.43°，某人站在门外距离门底部B点0.9米的N处时，摄像头A恰好能拍摄到站立点N及头顶M．已知AB⊥BN，MN⊥BN，求此人的头顶M到站立点N的距离．（结果精确到0.01米；参考数据：3≈

2026年中考数学真题知识点分类汇编之锐角三角函数（二）参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．（2026•河南）某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下．活动主题地下车库入口改造采集信息图1是地下车库入口示意图．①点C，B，D在同一水平线上，点E，A，F在同一水平线上，CD∥EF．②斜坡AB的长为10m，∠BAF＝26.4°．③车库限高2.7m．设计方案如图2，保持点A不动，将点B沿射线BD平移到点B′，使∠B′AF＝18.4°．完成任务任务一：求BB′的长．任务二：调整限高．经计算，点C到斜坡AB′的距离约为3.47m．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为3.4m．（结果均保留一位小数）请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：sin26.4°≈0.44，cos26.4°≈0.90，tan26.4°≈0.50，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；平移的性质．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】任务一：BB′的长约为4.3m；任务二：3.4m．【分析】任务一：过点A作AH⊥CD，垂足为H，先利用平行线的性质可得∠B′AF＝∠AB′H＝18.4°，∠BAF＝∠ABH＝26.4°，然后分别在Rt△ABH中，利用锐角三角函数的定义求出AH和BH的长，再在Rt△AB′H中，利用锐角三角函数的定义求出B′H的长，最后进行计算即可解答；任务二：根据已知，即可解答．【解答】解：任务一：过点A作AH⊥CD，垂足为H，∵CD∥EF，∴∠B′AF＝∠AB′H＝18.4°，∠BAF＝∠ABH＝26.4°，在Rt△ABH中，AB＝10m，∴AH＝AB•sin26.4°≈10×0.44＝4.4（m），BH＝AB•cos26.4°≈10×0.90＝9.0（m），在Rt△AB′H中，B′H=AHtan18.4°≈∴BB′＝B′H﹣BH=403−∴BB′的长约为4.3m；任务二：调整限高．经计算，点C到斜坡AB′的距离约为3.47m．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为3.4m，故答案为：3.4m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，平移的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．2．（2026•天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，BC∥DE，AB的延长线与水平线DE相交于点O．从地面C处沿步道CD（看作斜坡）前行，至平台DE，CD＝22m；在平台D处测得纪念碑顶部A的仰角（∠ODA）为42°，斜坡CD的倾斜角（∠ODC）为12°；在平台E处测得纪念碑顶部A的仰角（∠OEA）为35°，DE＝9m．根据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan35°≈0.7，tan42°≈0.9，sin12°≈0.2．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】引滦入津工程纪念碑AB的高度约为24m．【分析】过点C作CF⊥OE，垂足为F，根据题意可得：BO＝CF，然后在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再设OD＝xm，则OE＝（x+9）m，分别在Rt△AOD和Rt△AOE中，利用锐角三角函数的定义求出AO的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：过点C作CF⊥OE，垂足为F，由题意得：BO＝CF，在Rt△DCF中，CD＝22m，∠ODC＝12°，∴CF＝CD•sin12°≈22×0.2＝4.4（m），设OD＝xm，∵DE＝9m，∴OE＝OD+DE＝（x+9）m，在Rt△AOD中，∠ODA＝42°，∴AO＝OD•tan42°≈0.9x（m），在Rt△AOE中，∠OEA＝35°，∴AO＝OE•tan35°≈0.7（x+9）m，∴0.9x＝0.7（x+9），解得：x＝31.5，∴AO＝0.9x＝28.35（m），∴AB＝AO﹣BO＝28.35﹣4.4≈24（m），∴引滦入津工程纪念碑AB的高度约为24m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．（2026•上海）如图，小明正在确认大楼是否安全，规定hd（1）当d＝100米时，h至少小于多少米？（2）若测AB长为a，BC长为b，仰角为θ，求hd（用含有a、b、θ【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；列代数式．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】（1）h至少小于12.5米；（2）hd【分析】（1）根据题意可得：h100（2）根据题意可得：DE＝AB＝a，然后在Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义求出CD和BD的长，从而求出CE的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：hd∵d＝100米，∴h100解得：h＜12.5，∴h至少小于12.5米；（2）如图：由题意得：DE＝AB＝a，在Rt△CBD中，∠CBD＝θ，BC＝b，∴CD＝BC•sinθ＝bsinθ，BD＝BC•cosθ＝bcosθ，∴h＝CD+DE＝bsinθ+a，∴hd【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4．（2026•山西）项目式学习项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件．如图为山西某古建筑大殿内部的藻井．某校学生到此地开展综合实践活动，对该建筑内藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告．项目主题藻井的调查与测算驱动任务调查藻井的工艺与造型，测算藻井的相关数据活动过程调查工艺该藻井以木构技术为核心，通过斗拱、悬挑等工艺形成逐层向上收缩的三层结构．造型该藻井自下而上每层轮廓依次为长方形、菱形、菱形，分别称为长方形井、菱形井、菱形井．测算对象中间层菱形井中较长对角线的长图示图1为藻井仰视平面图，其中线段AB为中间层菱形井较长的对角线（点A，B在同一水平直线上）；图2为测量方案示意图，其中测量点C，D在同一水平直线上，且点A，B，C，D在同一竖直平面内．数据在点D处测得点A的仰角为60°，AD＝6米；在点C处测得点B的仰角为45°，CD＝11米．结果…活动反思…请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线AB的长（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；菱形的性质．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】该藻井中间层菱形井对角线AB的长约为2.8米．【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥CD，垂足为F，根据题意可得：AE＝BF，AB＝EF，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和DE的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥CD，垂足为F，由题意得：AE＝BF，AB＝EF，在Rt△ADE中，AD＝6米，∠D＝60°，∴BF＝AE＝AD•sin60°＝6×32=DE＝AD•cos60°＝6×1在Rt△BCF中，∠C＝45°，∴CF=BFtan45°=∵CD＝11米，∴AB＝EF＝CD﹣DE﹣CF＝11﹣3﹣33≈∴该藻井中间层菱形井对角线AB的长约为2.8米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，菱形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2026•遂宁）遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥．某数学活动小组为测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案：实物图测量工具无人机测量方法及数据在桥面A点用无人机测得主桥塔顶C点的仰角为37°，将无人机垂直上升40米至B处，测得主桥塔顶C点的仰角为22°．测量示意图参考数据sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.4，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75请根据如表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即CD的长．（精确到1米）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即CD的长约为86米．【分析】过点B作BE⊥CD，垂足为E，根据题意可得：AB＝DE＝40米，BE＝AD，然后设BE＝AD＝x米，分别在Rt△ACD和Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出CD和CE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：过点B作BE⊥CD，垂足为E，由题意得：AB＝DE＝40米，BE＝AD，设BE＝AD＝x米，在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，∴CD＝AD•tan37°≈0.75x（米），在Rt△BCE中，∠CBE＝22°，∴CE＝BE•tan22°≈0.4x（米），∵CD﹣CE＝DE，∴0.75x﹣0.4x＝40，解得：x=800∴CD＝0.75x≈86（米），∴涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即CD的长约为86米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．6．（2026•甘肃）如图1，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A处观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图2，设观测点A到塔CD的水平距离为AB（点B，C，D在同一条直线上），CD⊥AB，在点A分别测得塔顶C的仰角∠CAB＝16.73°、塔底D的仰角∠DAB＝14.01°，查阅资料可知塔的高度CD＝17米．根据以上信息，请你求出观测点A到塔CD的水平距离AB．（结果精确到1米）．参考数据：sin14.01°≈0.24，cos14.01°≈0.97，tan14.01°≈0.25，sin16.73°≈0.29，cos16.73°≈0.96，tan16.73°≈0.30．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力；模型观念；应用意识．【答案】340米．【分析】通过设未知数，利用两个直角三角形的正切关系表示出相关线段长度，再结合塔的高度建立方程求解．【解答】解：设观测点A到塔CD的水平距离AB＝x米．因为CD⊥AB，所以△CAB和△DAB都是直角三角形．在Rt△CAB中，根据正切函数的定义，tan∠CAB=CB已知tan16.73°≈0.30，因此CB＝AB•tan16.73°≈0.30x．在Rt△DAB中，同理可得tan∠DAB=DB已知tan14.01°≈0.25，因此DB＝AB•tan14.01°≈0.25x，观察图形可知CB﹣DB＝CD，已知CD＝17米，代入上面的表达式可得：0.30x﹣0.25x＝17，合并同类项得：0.05x＝17，解得：x=17答：观测点A到塔CD的水平距离AB约是340米．【点评】题目考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），解题的关键在于相关知识的灵活运用．7．（2026•江西）为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方法与过程如表：具体问题利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度主要工具无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺截面示意图操作步骤1．在水平地面上选定一个激光发射点A，使A位于土坑上底面直径DE所在的直线上；2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方；3．调整反射镜与水平线的夹角θ，使得从A处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底最右端F处；4．在线段AD上确定一点B，使得从B处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底最左端G处．（以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内）测量数据AB＝18m，DE＝12m，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，θ＝22.5°．参考数据sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732，3≈根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到0.01m）任务一：计算点C离水平地面的高度；任务二：计算∠GCF＝30°，∠BCG＝15°；任务三：计算土坑的深度．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；垂径定理的应用；圆周角定理；相似三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】任务一：点C离水平地面的高度约为15.59m；任务二：30；15；任务三：土坑的深度约为6.80m．【分析】任务一：连接DE，过点C作CK⊥GF交GF于K，交DE于H，则CH⊥DE，根据三角形的外角的性质得出∠ACB＝30°，根据等角对等边可得BC＝AB＝18，解Rt△CBH，即可求得CH的长；任务二：根据光的反射原理得出∠NCF＝∠MCA，得出∠ACF＝180°﹣2（θ+30°）＝75°，∠BCG＝180°﹣2（θ+60°）＝15°，进而根据∠GCF＝∠ACF﹣∠ACB﹣∠BCG，即可求解；任务三：证明△CGK≌△CFK（ASA），得出GK＝FK＝6，解Rt△CGK，求得CK，进而求得HK的长，即可求解．【解答】解：任务一：如图，连接DE，过点C作CK⊥GF交GF于K，交DE于H，则CH⊥DE．∵∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝18m．在Rt△CBH中，CH=BC⋅sin60°=18×3即点C离水平地面的高度约为15.59m；任务二：如图，∵AB∥PC，∠CAB＝30°，∴∠PCA＝∠CAB＝30°，又∵θ＝22.5°，∴∠NCF＝∠MCA＝∠MCP+∠PCA＝θ+30°＝22.5°+30°＝52.5°，∴∠ACF＝180°﹣2（θ+30°）＝120°﹣2θ＝120﹣2×22.5°＝75°，同理可得∠BCG＝180°﹣2（θ+60°）＝60°﹣2θ＝60°﹣2×22.5°＝15°，∴∠GCF＝∠ACF﹣∠ACB﹣∠BCG＝75°﹣30°﹣15°＝30°；任务三：由题意得四边形DEFG是矩形，则DE＝GF，在Rt△CBH中，∵∠CBH＝60°，∴∠BCH＝30°，∴∠GCK＝∠BCH﹣∠BCG＝30°﹣15°＝15°，∴∠CGK＝75°，∴∠FCK＝∠GCK＝15°，∵CK＝CK，∴△CGK≌△CFK（ASA），∴GK=FK=1在Rt△CGK中，CK＝GK•tan75°≈6×3.732＝22.392m，∴HK＝CK﹣CH＝22.392﹣15.588＝6.804≈6.80m，即土坑的深度约为6.80m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的性质及判定等，掌握综合知识是解题的关键．8．（2026•眉山）人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥AB．为确定跨湖桥AB的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为90米，同时测得桥头点A处的俯角为60°；从点C处沿AB方向水平飞行300米到达点D处，测得桥头点B处的俯角为42°，求桥AB的长度（结果精确到1米）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，3≈【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】桥AB的长度约为148米．【分析】过点A作AM⊥CD，垂足为M，过点B作BN⊥CD，垂足为N，根据题意可得：AB＝MN，AM＝BN＝90米，CD＝300米，然后分别在Rt△ACM和Rt△DBN中，利用锐角三角函数的定义求出CM和DN的长，从而进行计算即可解答．【解答】解：过点A作AM⊥CD，垂足为M，过点B作BN⊥CD，垂足为N，由题意得：AB＝MN，AM＝BN＝90米，CD＝300米，在Rt△ACM中，∠C＝60°，∴CM=AMtan60°=在Rt△DBN中，∠D＝42°，∴DN=BN∴AB＝MN＝CD﹣CM﹣DN＝300﹣303−∴桥AB的长度约为148米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9．（2026•烟台）【综合与实践】活动主题测算矩形广告牌的面积测量工具皮尺、无人机、计时器、计算器等活动过程测量过程如图，矩形广告牌ABCD的边CD为11米，BC与水平地面垂直．支柱EF长6.4米，且垂直于地面．无人机从N点起飞，以3米/秒的速度竖直向上飞行8秒到达M点，此时测得C点的俯角为67.4°，D点的俯角为36.9°（图中各点均在同一平面内）．模型建构参考数据sin67.4°≈0.92，cos67.4°≈0.38，tan67.4°≈2.40，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．问题解决求矩形广告牌ABCD的面积（结果精确到1平方米）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】矩形广告牌ABCD的面积约为62平方米．【分析】延长DC交MN于点H，则DH⊥MN，根据题意可得：MN＝24米，GM∥DH，从而可得∠GMD＝∠MDH＝36.9°，∠GMC＝∠MCH＝67.4°，然后设CH＝x米，则DH＝（x+11）米，分别在Rt△DMH和Rt△MCH中，利用锐角三角函数的定义求出MH的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：延长DC交MN于点H，则DH⊥MN，由题意得：MN＝3×8＝24（米），GM∥DH，∴∠GMD＝∠MDH＝36.9°，∠GMC＝∠MCH＝67.4°，设CH＝x米，∵DC＝11米，∴DH＝DC+CH＝（x+11）米，在Rt△DMH中，MH＝DH•tan36.9°≈0.75（x+11）米，在Rt△MCH中，MH＝CH•tan67.4°≈2.4x（米），∴2.4x＝0.75（x+11），解得：x＝5，∴MH＝2.4x＝12（米），∵EF＝6.4米，∴BC＝MN﹣MH﹣EF＝24﹣12﹣6.4＝5.6（米），∴矩形广告牌ABCD的面积＝BC•CD＝5.6×11≈62（平方米），∴矩形广告牌ABCD的面积约为62平方米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．10．（2026•山东）我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动．【模型制作】综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形ABCD为正方形，AG为悬挂重物的铅垂线，AB为左矩，AD为右矩，标有均匀刻度的BC和DC组成矩尺盘，以点A为圆心，AB为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘．【操作发现】使用矩盘测量时，需要将左矩AB或右矩AD与视线PF重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数．（1）如图2，左矩AB与视线PF重合，角度盘读数为31°（∠DAE＝31°），矩尺盘读数为6（DE＝6），可知仰角∠P＝∠DAE＝31°，tan∠P＝tan∠DAE=DE如图3，右矩AD与视线PF重合，角度盘读数为29°（∠DAE＝29°），矩尺盘读数为5.5（DE＝5.5），则仰角∠P＝61°，tan∠P≈1.8（结果精确到0.1）．（2）综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端E到地面的距离（EB的长度）．如图5，某同学站在城门楼一侧A处，用矩盘的左矩与视线ME重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线AB前进，穿过城门BD到达城门楼另一侧C处，在C处将矩盘右矩与视线NE重合，角度盘读数为45°．已知AC＝20m，该同学眼睛到地面的高度是1.6m，求城门楼的顶端E到地面的距离（结果精确到0.1m）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；正方形的性质．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】（1）61°；1.8；（2）8.3m．【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余得出∠P＝90°﹣∠DAE＝61°，根据tan∠P＝tan∠AED，结合正切定义，求出结果即可；（2）设EF＝FN＝xm，则MF＝（20﹣x）m，则Rt△EMF中，根据tan∠EMF=EFMF，得出0.5=x【解答】解：（1）根据题意可得：AG⊥PQ，∠AQP＝90°，∵∠DAE＝29°，∴∠P＝90°﹣∠DAE＝61°，∵在正方形ABCD中∠ADC＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝61°，∴∠P＝∠AED，∴tan∠P=tan∠AED=AD故答案为：61°；1.8；（2）根据题意得：BF＝CN＝1.6m，MN＝AC＝20m，∠EFM＝∠EFN＝90°，∠NGH＝45°，GH⊥MN，KL＝5，JK＝10，∴∠ENF＝90°﹣45°＝45°，∴Rt△EFN中，tan∠ENF=EF即tan45°=1=EF∴EF＝FN，设EF＝FN＝xm，则MF＝（20﹣x）m，∵∠MJL+∠EMF＝∠MJL+∠KJL＝90°，∴∠EMF＝∠KJL，∴tan∠EMF＝tan∠KJL=5∴Rt△EMF中，tan∠EMF=EF即0.5=x解得：x≈6.67，∴EB＝EF+FB＝6.67+1.6＝8.27≈8.3（m），答：城门楼的顶端E到地面的距离约为8.3m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．11．（2026•凉山州）计算：（﹣1）2+|1﹣2sin45°|−(2【考点】特殊角的三角函数值；实数的运算；负整数指数幂．【专题】实数；运算能力．【答案】3．【分析】根据实数的平方、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂计算．【解答】解：原式＝1+|1﹣2×22|＝1+2−1＝3．【点评】本题考查的是实数的运算，掌熟记特殊角的三角函数值、掌握绝对值的性质、负整数指数幂是解题的关键》12．（2026•凉山州）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔MN相距300米的点A观测塔顶M的仰角为30°，斜面AN的坡度i＝1：5，点A，B，C，M，N在同一平面内，AB是桥面，CN是水平线，AB∥CN，AB⊥MN．（计算结果均保留根号）（1）求索塔桥面以上部分MB的高度；（2）求索塔MN的高度．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用．【答案】（1）1003（2）(1003【分析】（1）由题意得，AB＝300米，∠ABM＝∠ABN＝90°，∠BAM＝30°，然后根据an∠BAM=MB（2）作AQ⊥CN于点Q，则四边形ABNQ是矩形，根据斜面AN的坡度i＝1：5，求出AQ＝60米即可求解．【解答】解：（1）由题意得，AB＝300米，∠ABM＝∠ABN＝90°，∠BAM＝30°，∵tan∠BAM=MB∴MB=tan30°×300=1003（2）如图，作AQ⊥CN于点Q，则四边形ABNQ是矩形，∴AQ＝BN，NQ＝AB＝300米，∵斜面AN的坡度i＝1：5，∴AQNQ∴AQ＝60（米），∴BN＝60米，∴MN=BM+BN=(1003【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握其相关知识点是解题的关键．13．（2026•自贡）在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度．要求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度1.5m）和笔直的竹竿（长度2m）进行测量．（1）小刚建议这样测量：如图1，线段AC表示所要测量的大树，在操场上F点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿DE（长度2m）顶部E恰好看到树顶端A，此时竖直竹竿DE与小刚FG的水平距离DF＝2m．小刚将观测点F后移13m到F′处，采用同样方法，测得D′F′＝3m．小刚眼睛距离地面的高度FG＝F′G′＝0.8m，点F′，D′，F，D与树的底部C在同一水平线上．据此可知点E到BG′的距离EH为1.2m，图中两组相似三角形是△GHE∽△GBA和ΔG'H′E'∽△G'BA，请帮助小刚计算出此树的高度（结果精确到0.1m）．（2）小明提出可以这样改进：如图2，在点F处安置测角仪（高度1.5m）测得树顶端A的仰角∠AGB＝26.7°，前行到点E处测得树顶端A的仰角∠ADB＝45°，点E，F与树的底部C在同一水平线上，量得EF＝16m．请按此方案求树的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）（3）两种方法算出树的高度一致吗？如果不一致，请分析原因（写出一条即可）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；相似三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用．【答案】（1）1.2，△GHE∽△GBA和ΔG'H′E'∽△G'BA；（2）17.5m；（3）不一致．原因：小刚的方法在测量过程中需要保证眼睛、竹竿顶端、树顶端三点严格共线，实际操作中容易产生视觉偏差，因此会导致两种方法算出树的高度不一致．【分析】（1）由题意，EH＝1.2m，△GHE∽△GBA和ΔG'H′E'∽△G'BA，利用两次相似对应边成比例，列方程2GB=3GB+13，解得（2）在△ABD中，∠ADB＝45°，得等腰直角三角形，故AB＝BD，在△ABG中，利用tan26.7°=ABBG=（3）比较两种方法的结果，从两人的测量过程的步骤分析误差的原因即可．【解答】解：（1）由题意可得，EH＝ED﹣HD＝ED﹣FG＝2﹣0.8＝1.2m，∵EH∥AB，E'H′∥AB，∴图中两组相似三角形是△GHE∽△GBA和ΔG'H′E'∽△G'BA，由题意可得，EH＝E'H′＝1.2m，GH＝FD＝2m，G'H'＝F'D'＝3m，G'G＝F′F＝13m，则G'B＝GB+13，第一次测量：△GHE∽△GBA，∴EHAB=GH第二次测量：ΔG'H′E'∽△G'BA，∴E'H'AB=G'H'∴2GB=3∴1.2AB=2∴此树的高度为AB+BC＝AB+FG＝15.6+0.8＝16.4m，故答案为：1.2，△GHE∽△GBA和ΔG'H′E'∽△G'BA；（2）由题意可得，FG＝1.5m，∠AGB＝26.7°，∠ADB＝45°，GD＝EF＝16m，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∠ABD＝90°，∴AB＝BD，在Rt△ABG中，tan∠AGB=ABBG，即∵tan26.7°≈0.50，∴AB16+AB≈0.50，解得∴此树的高度为AB+BC＝AB+FG＝16+1.5＝17.5m；（3）不一致，原因：小刚的方法在测量过程中需要保证眼睛、竹竿顶端、树顶端三点严格共线，实际操作中容易产生视觉偏差，因此会导致两种方法算出树的高度不一致．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．14．（2026•广安）（1）计算：|1−2|﹣2sin45°+（﹣2）2+(（2）先化简，再求值：(2x+1+1)÷【考点】特殊角的三角函数值；实数的运算；分式的化简求值；零指数幂．【专题】实数；分式；解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】（1）4；（2）65【分析】（1）由绝对值的性质，零指数幂公式，45度角的正弦值，平方的概念，即可计算．（2）将分式化为最简形式，再代入特定值计算即可．【解答】解：（1）原式==2−1＝4；（2）原式==x+1当x＝5时，原式=5+1【点评】本题考查特殊角的三角函数值，实数的运算，分式的化简求值，零指数幂，关键是熟记特殊角的三角函数值，掌握绝对值的性质，零指数幂公式，分式的化简方法．15．（2026•广安）某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下：活动主题测量建筑物的高度实物图和测量示意图测量说明（1）测角仪在G处测得建筑物顶D的仰角为α；（2）测角仪在F处测得建筑物顶D的仰角为β；（3）点G，F，E位于同一水平线上，测出AB的长，测角仪的高AG，BF．测量数据AG＝BF＝CE＝1.6m，α＝35°，β＝50°，AB＝9.8m参考数据sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19请根据以上数据求此建筑物高DE的长．（结果保留整数）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】此建筑的高约为18m．【分析】分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出AC和BC的长，从而列出关于CD的方程，最后进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ACD中，tanα=DC∴AC=DC在Rt△BCD中，tanβ=∴BC=DC∵AC＝AB+BC，∴107∴DC＝16.66，∴DE＝DC+CE＝16.66+1.6＝18.26≈18（m），因此，此建筑的高约为18m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．16．（2026•安徽）湖中有两个小岛，分别用点A，B表示，B在A的北偏东37°方向上．为了测量A，B间的距离，综合实践小组在观测点C处测得A在C的正北方向，沿着北偏东56°方向行走至另一观测点D，测得A在D的正西方向，B在D的北偏西53°方向上，平面示意图如图所示．已知C，D间的距离为660m，求A，B间的距离（精确到0.1m）．参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】解直角三角形及其应用．【答案】A，B间的距离约为328.7m．【分析】由题意可得∠CAD＝90°，结合三角形的内角和定理可得∠ABD＝90°，解Rt△CAD可得AD的长，解Rt△ABD可得AB的长．【解答】解：由题意可得∠CAD＝90°，∠BAD＝90°﹣37°＝53°，∠BDA＝90°﹣53°＝37°，CD＝660m，∴∠ABD＝180°﹣37°﹣53°＝90°，在Rt△CAD中，∠ACD＝56°，sin56°≈0.83，∴sin∠ACD=AD∴AD≈0.83×660＝547.8（m），在Rt△ABD中，∠BDA＝37°，sin37°≈0.60，∴sin∠BDA=AB∴AB≈0.60×AD＝0.60×547.8＝328.68（m）≈328.7（m），∴A，B间的距离约为328.7m．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握其相关知识点是解题的关键．17．（2026•泸州）如图，某海岸线上有一观测点A，在点A的正东方向上有两个观测点C，D，且A，C相距20nmile．某日上午8点，测得一艘轮船位于点A的北偏西30°方向上的B处，且与A相距20nmile，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点C的北偏东30°方向上的E处，且C，E相距60nmile，此时点D到E的距离是D到C的距离的2倍．（1）求该轮船的航行速度；（2）求点D，E间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力；模型观念；应用意识．【答案】（1）103（2）(2013【分析】（1）易得△ABC为顶角为120度的等腰三角形，△BCE为直角三角形，作AF⊥BC，三线合一结合勾股定理求出BC的长，勾股定理求出BE的长，再利用速度等于路程除以时间进行求解即可；（2）作DH⊥CE于点H，设CD＝2xnmile，则DE＝4xnmile，分别解Rt△CHD和Rt△EHD即可．【解答】解：（1）由题意，得AB＝AC＝20nmile，CE＝60nmile，∠BAC＝90°+30°＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵上午12点测得该轮船位于点C的北偏东30°方向上的E处，∴∠BCE＝90°﹣∠ACB+30°＝90°，作AF⊥BC于点F，则BC＝2BF，在Rt△ABF中，BF=AB⋅cos30°=103nmile，BC=203在Rt△ECB中，由勾股定理，得BE=BC2故该轮船的航行速度为403答：该轮船的航行速度为103（2）作DH⊥CE于点H，∵点D到E的距离是D到C的距离的2倍，∴设CD＝2xnmile，则DE＝4xnmile，在Rt△CDH中，∠DCH＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∴CH＝CD•cos60°＝xnmile，DH=CD⋅sin60°=3x∴EH＝CE﹣CH＝（60﹣x）nmile，在Rt△EHD中，由勾股定理，得DE2＝EH2+DH2，∴(4x)解得x=513−5或DE=4(513−5)=(2013故点D，E间的距离为(2013【点评】题目考查了解直角三角形的应用（方向角问题），勾股定理的应用，解题的关键在于相关知识的灵活运用．18．（2026•达州）在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．他们由山脚A处出发，先沿坡角为42°的山坡行走300m到达B处，再沿坡角为30°的山坡行走200m到达山顶C处．估计这座小山的高度．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90．结果保留整数）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识；生活情境．【答案】这座小山的高度为301m．【分析】过B作BM⊥AD于M，过C作CN⊥AD于N，过B作BH⊥CN于H，则HN＝BM，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过B作BM⊥AD于M，过C作CN⊥AD于N，过B作BH⊥CN于H，则HN＝BM，在Rt△ABM中，∵∠A＝42°，AB＝300m，∴BM＝AB•sinA＝300×0.67＝201（m），在Rt△BCH中，∵∠CBH＝30°，BC＝200m，∴CH＝BC•sin30°＝200×12=∴CN＝CH+HN＝CH+BM＝100+201＝301（m），答：这座小山的高度为301m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．19．（2026•重庆）重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约去某景区游玩．如图，大门A，猴山B，古塔C，游乐场D为景区内在同一平面内的四个景点．D位于A的正东方向3千米处，B位于A的正南方向且位于D的南偏西30°方向，C位于B的南偏东75°方向且位于D的南偏东30°方向．（1）求BC的长度（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈（2）现甲从B出发沿BD方向前往D，乙从D出发沿DC方向前往C，两人同时出发，乙的速度是甲的速度的2倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为4千米，求此时甲离D处多少千米？【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力；模型观念；应用意识．【答案】（1）7.4千米；（2）327【分析】（1）过点B作BE⊥CD于点E，由含30度直角三角形的性质求得BD，DE，由勾股定理求得BE，再由勾股定理即可求得BC；（2）假设甲走到F处，乙走到G处时，两人的直线距离为4千米，过点F作FH⊥BG于点H，由速度关系得路程关系，设BF＝2a千米，则BG＝4a千米，利用含30度直角三角形的性质及勾股定理求得DH、FH，再由勾股定理建立方程即可求解．【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥CD于点E，由题意得∠DBA＝30°，∴BD＝2AD＝6千米，∠BDC＝30°+30°＝60°，BE⊥CD，∴∠DBE＝30°，∴DE=1由勾股定理得BE=B∵∠EBC＝180°﹣∠ABD﹣∠DBE﹣75°＝45°，∴∠C＝∠EBC＝45°，∴CE=BE=33由勾股定理得BC=2答：BC的长度为7.4千米．（2）假设甲走到F处，乙走到G处时，两人的直线距离为4千米，即FG＝4千米，如图，过点F作FH⊥BG于点H，∵两人同时出发，且乙的速度是甲的速度的2倍，∴乙的路程是甲的路程的2倍，即DG＝2BF，设BF＝2a千米，则BG＝4a千米，DF＝BD﹣BF＝（6﹣2a）千米，∵FH⊥BG，∠BDC＝60°，∴DH=1由勾股定理得FH=DGH＝DG﹣DH＝（5a﹣3）千米，在Rt△FHG中，由勾股定理得[3整理得7a2﹣12a+5＝0，解得a1则FD=6−2×5或FD＝6﹣2×1＝4（千米）．答：甲离D处327【点评】题目考查了解直角三角形的应用（方向角问题），勾股定理的应用，解题的关键在于相关知识的灵活运用．20．（2026•成都）尊老敬老是中华民族的传统美德．某社区开展了“智慧助老”行动，为高龄老年人家庭免费安装智能门锁．如图，在侧面示意图中，智能门锁的摄像头A拍摄的最大仰角为30°，最大俯角为52.43°，某人站在门外距离门底部B点0.9米的N处时，摄像头A恰好能拍摄到站立点N及头顶M．已知AB⊥BN，MN⊥BN，求此人的头顶M到站立点N的距离．（结果精确到0.01米；参考数据：3≈【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】此人的头顶M到站立点N的距离约为1.69米．【分析】过点A作AC⊥MN，垂足为C，根据题意可得：AC＝BN＝0.9米，然后分别在Rt△ACM和Rt△ACN中，利用锐角三角函数的定义求出CM和CN的长，从而进行计算即可解答．【解答】解：过点A作AC⊥MN，垂足为C，由题意得：AC＝BN＝0.9米，在Rt△ACM中，∠MAC＝30°，∴CM＝AC•tan30°≈0.9×33=在Rt△ACN中，∠CAN＝52.43°，∴CN＝AC•tan52.43°≈0.9×1.3＝1.17（米），∴MN＝CM+CN＝0.33+∴此人的头顶M到站立点N的距离约为1.69米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

考点卡片1．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．2．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．3．分式的化简求值‌分式的化简求值是通过约分、通分、因式分解等方法将分式化为最简形式，再代入特定值计算的过程‌．常用方法包括整体代入法、比例系数法等．先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．4．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．