数列考试各类题型及详尽答案解析

数列考试各类题型及详尽答案解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.若数列`{a_n}`满足`a_1=1,a_{n+1}=a_n+3`，则`a_5`的值为（）。A.8B.10C.13D.152.已知等差数列`{a_n}`中，`a_3=5,a_7=9`，则该数列的公差`d`为（）。A.1B.2C.3D.43.已知等比数列`{b_n}`满足`b_1=2,b_4=16`，则该数列的公比`q`为（）。A.2B.-2C.4D.-44.等差数列`{a_n}`的首项`a_1=-5`，公差`d=3`，则其前10项和`S_{10}`的值为（）。A.80B.100C.120D.1405.等比数列`{c_n}`的首项`c_1=1`，公比`q=-3`，则其前5项和`S_5`的值为（）。A.121B.-121C.120D.-1206.已知数列`{a_n}`满足`a_{n+1}=2a_n+1`，且`a_1=1`，则`a_4`的值为（）。A.7B.9C.15D.177.已知数列`{a_n}`的通项公式为`a_n=n^2-2n+3`，则该数列是（）。A.等差数列B.等比数列C.既是等差数列也是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列8.已知数列`{a_n}`满足`a_n=n/(n+1)`，则`a_5`的值为（）。A.1/2B.5/6C.1/3D.5/119.若数列`{a_n}`的前n项和`S_n`满足`S_n=2n^2+n`，则`a_3`的值为（）。A.7B.8C.9D.1010.下列数列中，其前n项和`S_n`可以用公式`S_n=n^2`表示的是（）。A.`1,3,5,7,...`（奇数数列）B.`2,4,8,16,...`（等比数列）C.`1,0,1,0,1,...`（交替数列）D.`1,-1,1,-1,1,...`（交替数列）二、多选题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。）11.下列说法正确的有（）。A.等差数列的通项公式一定是关于n的一次函数（当公差不为0时）B.等比数列的通项公式一定是关于n的指数函数（当公比不为1时）C.若数列`{a_n}`是等差数列，则数列`{c*a_n+d}`（c,d为常数）也是等差数列D.若数列`{a_n}`是等比数列，则数列`{c*a_n+d}`（c,d为常数）也是等比数列12.已知数列`{a_n}`满足`a_{n+1}=a_n+n`，且`a_1=2`，则下列结论正确的有（）。A.`a_n=n^2+1`B.`a_5=17`C.该数列是等差数列D.该数列的前n项和`S_n=n(n+3)/2`13.下列数列中，可以通过“累加法”求得通项公式的有（）。A.`a_{n+1}=a_n+2n`，`a_1=1`B.`a_{n+1}=a_n*(n+1)`，`a_1=1`C.`a_{n+1}=a_n+n^2`，`a_1=1`D.`a_{n+1}=2*a_n+1`，`a_1=1`14.在等差数列`{a_n}`中，若`a_1+a_3+a_5=12`，`a_2+a_4+a_6=18`，则（）。A.公差`d=2`B.首项`a_1=2`C.前6项和`S_6=42`D.`a_4=8`15.下列关于等比数列`{b_n}`的前n项和`S_n`的说法中，正确的有（）。A.若`q=1`，则`S_n=n*a_1`B.若`q≠1`，则`S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)`C.若`|q|<1`，则`S_n`随n增大而增大D.若`S_n=80`，`S_{2n}=320`，则`S_{3n}=640`三、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。将答案填在题中横线上。）16.已知等差数列`{a_n}`中，`a_5=10,a_10=25`，则其公差`d=`__________。17.已知等比数列`{b_n}`中，`b_2=6,b_4=54`，则其公比`q=`__________。18.已知数列`{a_n}`满足`a_{n+1}=3a_n-2`，且`a_1=2`，则`a_3=`__________。19.已知数列`{a_n}`的前n项和`S_n=n^2-n+1`，则`a_4=`__________。20.若数列`{a_n}`的通项公式为`a_n=(-1)^(n+1)*n`，则该数列的前8项和`S_8=`__________。四、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）21.（本小题满分12分）已知数列`{a_n}`是等差数列，且`a_3=7,a_7=15`。（1）求该数列的通项公式`a_n`；（2）若该数列的前n项和为`S_n`，求`S_10`的值。22.（本小题满分12分）已知数列`{b_n}`满足`b_{n+1}=2b_n+3`，且`b_1=1`。（1）求`b_4`的值；（2）求该数列的通项公式`b_n`。23.（本小题满分14分）已知数列`{a_n}`的前n项和`S_n=n^2+2n`。（1）求该数列的通项公式`a_n`；（2）求该数列的前5项和`S_5`。24.（本小题满分15分）已知数列`{c_n}`的通项公式为`c_n=n*(-2)^(n-1)`。（1）求该数列的前n项和`S_n`；（2）求`S_10`的值。25.（本小题满分17分）已知数列`{a_n}`满足`a_1=1,a_{n+1}=(n+1)*a_n/n`。（1）求`a_3,a_4`的值；（2）猜测该数列的通项公式`a_n`，并加以证明；（3）若该数列的前n项和为`S_n`，求`S_5`的值。试卷答案一、选择题1.C2.B3.A4.D5.B6.D7.D8.B9.C10.A二、多选题11.A,C12.A,B,D13.A,C14.A,B,C,D15.A,B,C三、填空题16.317.318.419.720.-16四、解答题21.解：（1）设等差数列`{a_n}`的公差为`d`。由`a_3=7`，得`a_1+2d=7`。由`a_7=15`，得`a_1+6d=15`。解得`a_1=1,d=2`。所以通项公式`a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)*2=2n-1`。（2）前n项和`S_n=n/2*(a_1+a_n)=n/2*(1+(2n-1))=n/2*2n=n^2`。所以`S_10=10^2=100`。22.解：（1）由`b_1=1`，得`b_2=2*b_1+3=2*1+3=5`。由`b_2=5`，得`b_3=2*b_2+3=2*5+3=13`。由`b_3=13`，得`b_4=2*b_3+3=2*13+3=29`。所以`b_4=29`。（2）方法一（构造法）：`b_{n+1}+3=2(b_n+3)`。令`c_n=b_n+3`，则`c_{n+1}=2*c_n`，且`c_1=b_1+3=1+3=4`。所以`{c_n}`是首项为4，公比为2的等比数列，`c_n=4*2^(n-1)`。即`b_n+3=4*2^(n-1)`。所以`b_n=4*2^(n-1)-3=2^(n+1)-3`。方法二（通项公式法）：设通项公式为`b_n=An^n+B`。代入递推式`b_{n+1}=2b_n+3`，得`An^(n+1)+B=2(An^n+B)+3`。比较系数，得`A=2,B=-3`。所以`b_n=2n^n-3`。验证`b_1=2*1^1-3=-1`，与`b_1=1`矛盾。故方法二不适用。应使用方法一。通项公式为`b_n=2^(n+1)-3`。23.解：（1）`a_n=S_n-S_{n-1}`（`n≥2`）。`S_n=n^2+2n`，`S_{n-1}=(n-1)^2+2(n-1)=n^2-2n+1+2n-2=n^2-1`。所以`a_n=(n^2+2n)-(n^2-1)=2n+1`(`n≥2`)。当`n=1`时，`a_1=S_1=1^2+2*1=3`。发现`a_1=3`不满足`a_n=2n+1`（此时`n=1`，`2*1+1=3`）。所以通项公式为：`a_n={3,n=1``2n+1,n≥2`（2）求`S_5`。方法一（分组求和）：`S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=3+(2*2+1)+(2*3+1)+(2*4+1)+(2*5+1)=3+5+7+9+11=35`。方法二（利用`S_n`公式）：`S_5=5^2+2*5=25+10=35`。24.解：（1）方法一（错位相减法）：设`S_n=sum(c_i)fromi=1ton=1*(-2)^0+2*(-2)^1+3*(-2)^2+...+n*(-2)^(n-1)`。①式两边乘以`-2`，得`-2*S_n=1*(-2)^1+2*(-2)^2+3*(-2)^3+...+n*(-2)^n`。②式减去①式，得`(-2-1)*S_n=(2-1)*(-2)^1+(4-2)*(-2)^2+(6-3)*(-2)^3+...+(n*(-2)^n-(n-1)*(-2)^(n-1))-n*(-2)^n``-3*S_n=-2+2*4+3*8+...+n*(-2)^n-(n-1)*(-2)^(n-1)-n*(-2)^n``-3*S_n=-2+2*4+3*8+...+(n-n)*(-2)^n-(n-1)*(-2)^(n-1)``-3*S_n=-2+8+24+...-(n-1)*(-2)^(n-1)``-3*S_n=-2+sum((i-1)*(-2)^i)fromi=2ton``-3*S_n=-2+[sum((-2)^i)fromi=2ton]-sum(i*(-2)^i)fromi=2ton``-3*S_n=-2+[sum((-2)^i)fromi=1ton-(-2)^1]-sum(i*(-2)^i)fromi=2ton``-3*S_n=-2-2-sum((-2)^i)fromi=1ton+2-sum(i*(-2)^i)fromi=2ton``-3*S_n=-4-(-2)-sum((-2)^i)fromi=2ton-sum(i*(-2)^i)fromi=2ton``-3*S_n=-2-sum((-2)^i)fromi=1ton-sum(i*(-2)^i)fromi=2ton``-3*S_n=-2-(-2)-sum(i*(-2)^i)fromi=2ton``-3*S_n=-2+2-sum(i*(-2)^i)fromi=2ton``-3*S_n=0-sum(i*(-2)^i)fromi=2ton``-3*S_n=-sum(i*(-2)^i)fromi=2ton``S_n=sum(i*(-2)^i)fromi=2ton/3`方法二（裂项相消法，若通项为`-i*2^(i-1)`）：`c_n=n*(-2)^(n-1)`。`c_n=(-1)^(n-1)*(n/(-2))^n`。观察`n/(-2)^n`的形式。尝试`d_n=i/(-2)^i`。`d_{n+1}=(i+1)/(-2)^(i+1)`。`d_{n+1}-d_n=(i+1)/(-2)^(i+1)-i/(-2)^i=(i+1)/(-2)*(-2)^i-i/(-2)^i=(-2*i-2+i)/(-2)^i=(-i-2)/(-2)^i=(i+2)/(-2)^i`。发现直接裂项不易。尝试`d_n=(-1/2)^i*i`。`d_{n+1}=(-1/2)^(i+1)*(i+1)=(-1/2)*(-1/2)^i*(i+1)=(-1/2)*i*(-1/2)^i+(-1/2)*(-1/2)^i=-i/(-2)^i-1/(-2)^i=(i+1)/(-2)^i`。所以`d_{n+1}-d_n=1/(-2)^i`。即`(-1/2)^{i+1}*(i+1)-(-1/2)^i*i=1/(-2)^i`。所以`c_n=n*(-2)^(n-1)=sum(1/(-2)^i)fromi=1ton`。`S_n=sum(n*(-2)^(n-1))fromi=1ton=sum(sum(1/(-2)^j)fromj=1toi)fromi=1ton`。这个方法复杂度较高。还是方法一更常用。最终得到`S_n=sum(i*(-2)^i)fromi=1ton/3`。需要计算这个和。`S_n=(1*(-2)^1+2*(-2)^2+3*(-2)^3+...+n*(-2)^n)/3``-2*S_n=(1*(-2)^2+2*(-2)^3+3*(-2)^4+...+(n-1)*(-2)^n+n*(-2)^(n+1))/3``S_n-(-2*S_n)=(1*(-2)^1)/3+(2*(-2)^2-1*(-2)^2)/3+(3*(-2)^3-2*(-2)^3)/3+...+(n*(-2)^n-(n-1)*(-2)^n)/3-n*(-2)^(n+1)/3``3*S_n=(-2/3)+(4-2)/3+(8-4)/3+...+(n*(-2)^n-(n-1)*(-2)^n)/3-n*(-2)^(n+1)/3``3*S_n=(-2/3)+2/3+4/3+...+(-2)^n/3-n*(-2)^(n+1)/3``3*S_n=(-2/3)+sum((-2)^i/3)fromi=2ton-n*(-2)^(n+1)/3``3*S_n=(-2/3)+(sum((-2)^i)fromi=1ton-(-2)^1)/3-n*(-2)^(n+1)/3``3*S_n=(-2/3)+((-2)-(-2))/3-n*(-2)^(n+1)/3``3*S_n=(-2/3)+0-n*(-2)^(n+1)/3`