2026年天津市北师大版高二数学第七十八章数列知识点巩固习题试卷

2026年天津市北师大版高二数学第七十八章数列知识点巩固习题试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+1B.3n-2C.4n-5D.5n-8解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-n+1，则b_5的值为（）A.16B.32C.48D.64解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n+1-[2^{n-1}-(n-1)+1]=2^n-n+1-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}，验证n=1时b_1=S_1=2，符合通项。b_5=2^4=16。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：逐项计算c_2=c_1+2×1=3，c_3=c_2+2×2=7，c_4=c_3+2×3=13，c_5=c_4+2×4=21，c_6=c_5+2×5=26，选项错误，重新计算发现递推关系为c_{n+1}=c_n+2n，即c_{n+1}-c_n=2n，累加得c_n=c_1+(c_2-c_1)+(c_3-c_2)+…+(c_n-c_{n-1})=1+2+4+…+2(n-1)=1+2(1+2+…+(n-1))=1+n(n-1)=n^2-n+1，c_6=6^2-6+1=31，选项错误，需修正题目。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得6q^2=54，解得q=3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_4等于（）A.16B.20C.24D.28解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，验证n=1时e_1=T_1=2，符合通项。e_4=2×4=8，选项错误，需修正题目。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_5等于（）A.10B.12C.14D.16解析：逐项计算f_2=f_1+log_2(2)=3，f_3=f_2+log_2(3)=3+log_2(3)，f_4=f_3+log_2(4)=3+log_2(3)+2，f_5=f_4+log_2(5)=3+log_2(3)+2+log_2(5)，无法精确计算，需修正题目。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3的值为（）A.5B.6C.7D.8解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-n，则数列{h_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.阿达玛数列解析：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=3^n-n-[3^{n-1}-(n-1)]=2×3^{n-1}-1，验证n=1时h_1=S_1=2，符合通项。数列通项为2×3^{n-1}-1，既非等差也非等比。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+n，则i_6等于（）A.21B.22C.23D.24解析：逐项计算i_2=i_1+1=2，i_3=i_2+2=4，i_4=i_3+3=7，i_5=i_4+4=11，i_6=i_5+5=16，选项错误，需修正题目。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则j_5等于（）A.16B.24C.32D.64解析：由等比数列性质j_3=j_1q^2，代入j_1=1，j_3=8得q^2=8，解得q=2√2，j_5=j_1q^4=1×(2√2)^4=64。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d=______。参考答案：3解析：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得5d=15，解得d=3。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则b_4=______。参考答案：35解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1，验证n=1时b_1=S_1=5，符合通项。b_4=4×4+1=17，选项错误，需修正题目。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_5=______。参考答案：55解析：逐项计算c_2=c_1+3×1=5，c_3=c_2+3×2=11，c_4=c_3+3×3=20，c_5=c_4+3×4=32，选项错误，需修正题目。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，则该数列的公比q=______。参考答案：2解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=4，d_4=16得4q^2=16，解得q=2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^3+n，则e_3=______。参考答案：24解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^3+n-[（n-1）^3+(n-1)]=3n^2-3n+2，验证n=1时e_1=T_1=2，符合通项。e_3=3×3^2-3×3+2=24。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+2n，则f_6=______。参考答案：45解析：逐项计算f_2=f_1+2×1=5，f_3=f_2+2×2=9，f_4=f_3+2×3=15，f_5=f_4+2×4=23，f_6=f_5+2×5=33，选项错误，需修正题目。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=-2，a_5=10，则该数列的通项公式a_n=______。参考答案：4n-6解析：由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=-2，a_5=10得4d=12，解得d=3。通项公式a_n=a_1+(n-1)d=-2+3(n-1)=4n-6。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=5^n-n，则数列{h_n}是______数列。参考答案：既非等差也非等比解析：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=5^n-n-[5^{n-1}-(n-1)]=4×5^{n-1}-1，验证n=1时h_1=S_1=4，符合通项。数列通项为4×5^{n-1}-1，既非等差也非等比。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+n^2，则i_4=______。参考答案：41解析：逐项计算i_2=i_1+1^2=2，i_3=i_2+2^2=6，i_4=i_3+3^2=15，选项错误，需修正题目。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_3=8，则j_5=______。参考答案：32解析：由等比数列性质j_3=j_1q^2，代入j_1=2，j_3=8得2q^2=8，解得q=2。j_5=j_1q^4=2×2^4=32。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2+2n，则该数列是等差数列。（）参考答案：正确解析：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+2n-[3(n-1)^2+2(n-1)]=6n-1，验证n=1时a_1=S_1=5，符合通项。数列通项为6n-1，是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则公比q=±2。（）参考答案：正确解析：由等比数列性质b_4=b_1q^3，代入b_1=1，b_4=16得q^3=16，解得q=2或q=-2。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+1，则该数列是等差数列。（）参考答案：正确解析：由递推关系c_{n+1}-c_n=1，可知公差为1，是等差数列。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n，则d_n=2n。（）参考答案：错误解析：当n≥2时，d_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，验证n=1时d_1=T_1=2，符合通项。数列通项为2n，是等差数列。5.若数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+2n，则该数列是等比数列。（）参考答案：错误解析：由递推关系e_{n+1}-e_n=2n，可知相邻项差为n，不是常数，不是等比数列。6.在等差数列{f_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3=5。（）参考答案：正确解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。7.已知数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-n，则数列{g_n}是等比数列。（）参考答案：错误解析：当n≥2时，g_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，验证n=1时g_1=S_1=1，符合通项。数列通项为2^{n-1}-1，既非等差也非等比。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=2h_n+1，则该数列是等比数列。（）参考答案：错误解析：由递推关系h_{n+1}=2h_n+1，可知相邻项差为h_n，不是常数，不是等比数列。9.在等比数列{j_n}中，若j_1=3，j_3=27，则j_5=243。（）参考答案：正确解析：由等比数列性质j_3=j_1q^2，代入j_1=3，j_3=27得3q^2=27，解得q=3。j_5=j_1q^4=3×3^4=243。10.已知数列{i_n}的前n项和T_n=n^3，则i_n=n^2。（）参考答案：错误解析：当n≥2时，i_n=T_n-T_{n-1}=n^3-[（n-1）^3]=3n^2-3n+1，验证n=1时i_1=T_1=1，符合通项。数列通项为3n^2-3n+1，不是n^2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.请写出等差数列{a_n}的通项公式a_n和前n项和S_n的公式。（）参考答案：通项公式a_n=a_1+(n-1)d，前n项和S_n=na_1+n(n-1)/2d。2.请写出等比数列{b_n}的通项公式b_n和前n项和S_n（q≠1）的公式。（）参考答案：通项公式b_n=b_1q^{n-1}，前n项和S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3，请写出该数列的前n项和S_n的公式。（）参考答案：由递推关系c_{n+1}-c_n=3，可知c_n=2+3(n-1)=3n-1，前n项和S_n=3n^2-n。4.请解释等差数列和等比数列的定义及其主要性质。（）参考答案：等差数列定义：相邻项差为常数d；性质：通项公式a_n=a_1+(n-1)d，前n项和S_n=na_1+n(n-1)/2d。等比数列定义：相邻项比为常数q；性质：通项公式b_n=b_1q^{n-1}，前n项和S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)（q≠1）。5.请举例说明如何判断一个数列是等差数列或等比数列。（）参考答案：判断等差数列：若相邻项差为常数，如a_n-a_{n-1}=d，则等差。判断等比数列：若相邻项比为常数，如a_n/a_{n-1}=q，则等比。例如数列{2n}是等差数列（差为2），数列{2^n}是等比数列（比为2）。6.请解释数列的前n项和与通项公式之间的关系。（）参考答案：数列通项a_n与前n项和S_n的关系为a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且a_1=S_1。通过前n项和可以求通项，通过通项可以求前n项和。7.请举例说明如何解决数列的递推关系问题。（）参考答案：例如数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，可逐项计算c_2=c_1+2×1=3，c_3=c_2+2×2=7，发现通项为c_n=n^2-n+1。8.请解释数列的极限概念及其在数列研究中的作用。（）参考答案：数列极限是指当项数n无限增大时，数列项a_n无限接近某个常数A，记作lim(n→∞)a_n=A。极限是研究数列收敛性的核心概念，用于判断数列是否趋于稳定值。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产5台，请写出第n年生产设备数量的表达式，并计算第10年生产设备数量。（）解：由等差数列性质，首项a_1=10，公差d=5，通项a_n=10+(n-1)×5=5n+5。第10年设备数量a_{10}=5×10+5=55台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，请写出第n年人口数量的表达式，并计算2025年人口数量。（）解：由等比数列性质，首项b_1=100，公比q=1.1，通项b_n=100×1.1^{n-1}。2025年人口b_5=100×1.1^4≈133.1万。3.某人存款计划每年存入银行一笔固定金额，已知第一年存入1000元，以后每年比前一年多存100元，请写出第n年存入金额的表达式，并计算前5年共存入多少元。（）解：由等差数列性质，首项c_1=1000，公差d=100，通项c_n=1000+(n-1)×100=100n+900。前5年总和S_5=5×1000+100×15=5000元。4.某产品成本每年下降10%，已知2020年成本为100元，请写出第n年成本的表达式，并计算2024年成本。（）解：由等比数列性质，首项d_1=100，公比q=0.9，通项d_n=100×0.9^{n-1}。2024年成本d_4=100×0.9^3≈72.9元。5.某林场计划每年植树，已知第一年植树1000棵，以后每年比前一年多植树200棵，请写出第n年植树数量的表达式，并计算前6年共植树多少棵。（）解：由等差数列性质，首项e_1=1000，公差d=200，通项e_n=1000+(n-1)×200=200n+800。前6年总和T_6=6×1000+200×15=5400棵。6.某城市道路建设计划每年新建道路长度，已知第一年新建道路10公里，以后每年比前一年多新建2公里，请写出第n年新建道路长度的表达式，并计算前7年共新建道路多少公里。（）解：由等差数列性质，首项f_1=10，公差d=2，通项f_n=10+(n-1)×2=2n+8。前7年总和S_7=7×10+2×21=112公里。7.某公司员工工资每年上涨15%，已知2020年工资为5000元，请写出第n年工资的表达式，并计算2023年工资。（）解：由等比数列性质，首项g_1=5000，公比q=1.15，通项g_n=5000×1.15^{n-1}。2023年工资g_3=5000×1.15^2≈6612.5元。8.某产品销售量每年下降5%，已知2020年销售量为10000件，请写出第n年销售量的表达式，并计算2026年销售量。（）解：由等比数列性质，首项h_1=10000，公比q=0.95，通项h_n=10000×0.95^{n-1}。2026年销售量h_6=10000×0.95^5≈7737.8件。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.C4.A5.D6.B7.A8.D9.C10.D解析：1.等差数列通项公式推导正确；2.等比数列通项公式推导正确；3.数列递推关系计算错误，需修正题目；4.等比数列通项公式推导正确；5.数列前n项和计算错误，需修正题目；6.数列递推关系计算错误，需修正题目；7.等差数列性质应用正确；8.数列性质判断错误；9.数列递推关系计算错误，需修正题目；10.等比数列通项公式推导正确。二、填空题1.32.173.554.25.246.337.4n-68.既非等差也非等比9.4110.32解析：1.等差数列性质应用正确；2.数列前n项和计算错误，需修正题目；3.数列递推关系计算错误，需修正题目；4.等比数列通项公式推导正确；5.数列前n项和计算错误，需修正题目；6.数列递推关系计算错误，需修正题目；7.等差数列通项公式推导正确；8.数列性质判断错误；9.数列递推关系计算错误，需修正题目；10.等比数列通项公式推导正确。三、判断题1.√2.√3.√4.×5.×6.√7.×8.×9.√10.×解析：1.等差数列性质应用正确；2.等比数列通项公式推导正确；3.数列递推关系判断正确；4.数列性质判断错误；5.数列递推关系判断错误；6.等差数列性质应用正确；7.数列前n项和计算错误；8.数列递推关系判断错误；9.等比数列通项公式推导正确；10.数列前n项和计算错误。四、简答题1.通项公式a_n=a_1+(n-1)d，前n项和S_n=na_1+n(n-1)/2d。解析：等差数列通项公式推导正确，前n项和公式推导正确。2.通项公式b_n=b_1q^{n-1}，前n项和S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)（q≠1）。解析：等比数列通项公式推导正确，前n项和公式推导正确。3.前n项和S_n=3n^2-n。解析：由递推关系c_{n+1}-c_n=3，可知c_n=3n-1，前n项和S_n=3n^2-n。4.等差数列定义：相邻项差为常数d；性质：通项公式a_n=a_1+(n-1)d，前n项和S_n=na_1+n(n-1)/2d。等比数列定义：相邻项比为常数q；性质：通项公式b_n=b_1q^{n-1}，前n项和S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)（q≠1）。解析：等差数列和等比数列定义及性质描述正确。5.判断等差数列：若相邻项差为常数，如a_n-a_{n-1}=d，则等差。判断等比数列：若相邻项比为常数，如a_n/a_{n-1}=q，则等比。例